先破后立，让多维的思考

【教学思考】

圆柱与圆锥是人教版教材六年级下册第三单元的学习内容，教材根据图形的特征将圆柱、圆锥分开编排，基于图形认知的一致性和概念建构的整体性思考，现对某校六年级90名学生进行抽样调研，前测题目与结果如下。

一、前测目标

1.学生对于圆柱和圆锥特征的了解情况。

2.学生对于“二维”平面与“三维”立体之间的转化水平。

3.学生通过类比、推理实现三维与二维经验转化和迁移的水平。

二、前测题目

1.下面两个立体图形，左边是圆柱，右边是圆锥。你认为圆柱、圆锥分别由哪几部分组成？请在图1中标出。

2.选择合适的卡纸围成一个圆柱或圆锥。（如图2）

（1）（ ）个（ ）号和（ ）个（ ）号可以围成一个圆柱。

（2）（ ）个（ ）号和（ ）个（ ）号可以围成一个圆锥。

3.根据长方体、正方体体积的研究经验，（如图3）请你尝试推导圆柱的体积计算公式，并说明理由。

三、前测结果

通过分析得知：学生对圆柱与圆锥并不陌生，但已有的认知经验更多的是基于视觉的观察，缺乏操作与推理，并且利用二维与三维的转化研究图形的意识和能力比较薄弱，难以迁移到度量维度的猜想与发现。而立足于“经验的迁移和图形建构的一致性”，则将这两个图形的学习内容调整为以“图形的认识”和“图形的测量”两大主题推进。两种图形同步研究，旨在促使学生通过维度的转变、动与静的转变来深度探究图形，进而发展学生的空间观念。

【教学设计】

一、唤醒经验，明确研究思路

师：这节课我们来认识圆柱和圆锥。你能从下列物体（如图4）中找到它们吗？

生：②③④⑧是圆柱，①⑥⑦是圆锥。

师：如果去掉它们的外衣，就能得到这样的直观图。（如图5）

师：我们能直观辨认圆柱和圆锥，那么还有哪些问题值得我们研究呢？

生：我想知道圆柱和圆锥有什么特点。

生：我想研究它们的体积和表面积怎么求。

生：我想知道圆柱和圆锥的展开图分别是怎样的。

师：我们可以借助已有的学习经验来认识新的图形，如果这节课重点研究特征，请你们回忆一下，长方体和正方体的特征我们是怎样研究的？

生：是从顶点、棱、面三个方面来研究的。

师：其实就是从点、线、面的角度来研究，那么圆柱和圆锥是否也可以这样来研究呢？

生：可以的。

【设计意图】唤醒学生关于立体图形认知的经验，明确探索图形特征是认识图形的起点，通过对研究角度的梳理，为研究圆柱与圆锥的特征指明方向，也为后续学习新的立体图形提供支架，有利于知识的整体建构和经验的有效迁移。

二、任务驱动，探究图形特征

（一）任务一：“破坏”圆柱和圆锥。

同桌活动：从点、线、面的角度观察圆柱和圆锥，探寻它们的特征，想象它们展开后的样子，并通过剪一剪进行验证。

1.探究面的特征。

得出：圆柱有3个面，其中2个底面是完全相同的圆、1个侧面是曲面。圆锥有2个面，有1个底面是圆，还有1个侧面。

2.认识高和顶点。

师：经历想象、操作和验证得出了圆柱的侧面展开图是一个长方形，圆锥的侧面展开图是一个扇形。刚才你们是怎样操作的呢？

生：竖着剪。

师：像这样沿着这条线竖着剪开，这条线就是圆柱的高。数学上，把圆柱两个底面之间的距离，叫作圆柱的高。你们知道圆锥的高在哪里吗？

生：从圆锥的顶点到底面圆心之间的这条线段叫作圆锥的高。

师：圆柱和圆锥的高有什么相同点和不同点？

生：圆锥只有1条高，而圆柱有无数条。

生：它们都和底面垂直。

师：为什么圆柱有无数条高，而圆锥只有1条？

生：因为圆锥只有1个顶点，这个顶点到底面的垂直线段只有1条，所以圆锥的高只有1条；而圆柱上下是两个完全相同的圆，两个圆面上都有无数个点，这些点之间会有无数条垂直于底面的线段，所以就有无数条高。

3.认知侧面展开图。

师：沿着圆柱的高剪开，侧面展开后是一个长方形，你们的操作结果都是这样吗？

生：不一定，我们组剪出来是一个正方形。比较后，我们发现这个圆柱的高与底面圆的周长是一样的。

生：我们是斜着剪的，侧面展开是一个平行四边形。

师：刚才通过剪一剪，我们把立体图形转化成了平面图形，剪的方法不同，得到的平面图形也不同。

4.反例辩证，完善概念。

师：我们从点、线、面的角度认识了圆柱和圆锥，知道了它们的特征。圆柱上下两个面是完全相同的圆，且有无数条高，符合这些特征的一定是圆柱吗？

生：不一定，那种中间凹进去的就不是，比如沙漏。

生：像腰鼓这样中间凸出来的也不行，圆柱上下是一样粗的。

师：通过观察和操作我们不仅认识了圆柱和圆锥的特征，还发现了藏在里面的很多不同的平面图形，真可谓“体中有面，面藏体中”。

【设计意图】任务一让学生在“观察→想象→操作→验证”中经历“体→面→线→点”的维度转化，基于“直观操作”突破圆锥侧面展开图的想象难点，适时进行圆柱、圆锥高的特征对比，从而加深对这两个图形特征的深度理解，有助于感悟平面图形与立体图形的内在关联，发展空间观念。

（二）任务二：创造圆柱和圆锥。

同桌研究：如图6，选择其中一个平面图形创造一个圆柱（圆锥），想一想，创造出来的立体图形与平面图形之间有什么关系？

反馈：

1.通过“围”来创造。

生：用⑤号长方形可以围成一个圆柱，长方形的宽是圆柱的高，长是圆柱底面圆的周长。

生：用④号扇形可以围成一个圆锥，扇形弧的长度是底面圆的周长。

2.通过“旋转”来创造。

生：我选择⑤号长方形，以长为轴进行旋转得到一个圆柱，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱底面圆的半径。

生：⑤号长方形也可以宽为轴进行旋转得到一个圆柱，长方形的宽就是圆柱的高，长就是圆柱底面圆的半径。

生：⑤号长方形还可以沿着中间的对称轴旋转，长就是圆柱的高，宽是圆柱底面圆的直径。

师：由运动的视角想到3种不同的旋转方法，（如图7）借助想象得到圆柱，我们还发现了旋转前的平面图形与旋转后的立体图形之间的关系。生活中有没有这样类似的现象？

生：宾馆大堂的旋转门。

师：圆锥呢？

根据学生反馈得到3种情况。（如图8）

3.通过“平移”来创造。

生：我选择⑥号圆，我们可以想象一下，将它上下竖直地平移，运动后留下的痕迹也可以看作一个圆柱。（学生动手演示）

师：同学们能想象出来吗？圆锥可以通过某一个平面图形的平移得到吗？

生：不可以，因为圆锥上下不一样大。平移前后图形的大小、形状是不变的。

师：看来平面图形和立体图形之间是可以相互转化的，还能帮助我们从动态的视角理解图形特征的本质。

【设计意图】任务二旨在引导学生从运动的视角认识圆柱与圆锥的特征，感悟面动成体。将静态的平面图形通过旋转、平移等运动方式形成立体的圆柱和圆锥，充分调动学生的空间想象力，勾连了面与体之间的内在关联，为后续研究度量做好铺垫。

三、回顾总结，迁移知识方法

师：回顾一下今天的学习过程，我们是怎样研究的？

知识回顾和方法提炼。（附板书，如图9）

师：今天的研究对于之后我们研究表面积和体积有什么启发？

生：表面积是由一个一个面的面积加起来得到的，这节课我们知道了圆柱、圆锥有哪几个面，到时候只要把这些面的面积加起来就可以了。

生：我们知道长方体的体积是由一个一个小正方体的体积加起来得到的，可是圆柱、圆锥的体积呢？

生：圆的平移可以得到圆柱，那么圆柱的体积是不是也可以用底面积乘高来计算呢？

师：同学们基于联系的视角展开思考，这些想法很有意思，留待我们后续研究中逐一验证吧！

【设计意图】本环节除了对知识和方法进行总结与回顾，还引导学生思考本节课学到的知识与研究的方法与后续学习之间是否存在关系，旨在培养学生站在图形认知一致性的视角来审视立体图形的学习，让学生获得带得走的数学思考与数学方法。

（作者单位：浙江宁波市海曙区教育局教研室） J