一题承载一课，融通数学思维

受教育功利化倾向的裹挟，部分教师采用“短”“平”“快”的方式进行教学，过度夸大“题海战术”，要求学生大量训练各种不同题型，从而实现“熟能生巧”。这样既增加学生的学习负担，又降低学生的学习品质。本文以人教版教材五年级下册“总复习”中的一道题（如图1）为例，聚焦一题，深度挖掘其价值，开发一节课，融通一类，以期提升学生的学习效率和核心素养。

为了更好地了解学生的真实起点，笔者对本校五年级4个班203个学生进行前测。前测内容如下：

如图2，一块正方形卡纸，边长18分米。在四个角上各剪掉一个相同的小正方形后，可以翻折成一个无盖的长方体盒子。

（1）翻折的长方体盒子的容积是多少立方分米？

（2）你还能提出有价值的问题吗？请提出一个。（不必解答）

前测结果及分析：

1.第一问的正确率为77%，大部分学生通过空间想象关联数据，算出18-2-2=14（dm）就是盒子的长，能正确找出盒子的长、宽、高，计算出容积。但也有空间想象能力弱的学生，对于长和宽的分析不准确。这需要教师在教学过程中，创设情境，让学生更直观地观察由平面卡纸到立体盒子的翻折过程，从而顺利关联数据，帮助这部分学生找准盒子的长、宽、高。

2.第二问的答题情况不理想：47%的学生提出的问题是“长方体盒子的表面积是多少平方分米”，或者改动小正方形的边长（如3分米、4分米等），然后提出求长方体的容积的问题；只有3个学生提出了“要使盒子容积最大，要剪去多大的小正方形”。

为什么学生提不出有价值的问题呢？细细思考，笔者认为原因主要有两个：其一，素材中包含的信息太少，学生难以由此发散思维、引发联想，提出有价值的问题；其二，只算了一次容积，就让学生提问，学生的学习认知体验不够深刻，的确很难在此时想到有价值的问题。当然，对“有价值”三个字的不理解或害怕心理，也可能是原因。

一、初步感知，掌握计算方法

师：同学们，瞧！今天我们学习什么呀？盒子有什么奥秘呢？想知道吗？今天我们一起探究盒子的奥秘！（板书：盒子的奥秘）

1.理解、想象。

师：同学们，这是一张正方形卡纸，（如图2）注意看，从四个角上分别剪掉一个完全相同的小正方形，接着沿着虚线向上翻折，想一想，它会变成什么？

生：长方体，无盖长方体的盒子。

（教师翻折演示）

师：老师也带来了这样的卡纸，我们一起看看，沿着虚线翻折这条长，再翻折这条宽，这是长方体的高。跟你想象的一样吗？

师：这样盒子的容积你会求吗？

生：长方体的容积=长×宽×高。

2.尝试计算。

师：根据这两个数据你们能求出这个盒子的容积吗？拿出草稿纸开始吧！

3.汇报、关联。

多媒体演示，对比不同做法，重点理解数据之间的关联，指明长、宽、高。

师：盒子的长相当于原来卡纸的哪一部分？用18减掉左边的2，还要减掉右边的2。因为正方形四条边相等，所以宽也是14，高相当于原来剪掉的小正方形的边长。（如图3）所以你的算式是14×14×2=392（平方分米），同意吗？

【设计意图】教师演示实物翻折成盒子的过程，引领学生完成空间想象，为数据关联做铺垫。学生尝试计算盒子的容积并反馈，教师用课件演示、讲解，帮助学生理解数据间的关联，掌握计算方法，发展空间观念。

4.巩固计算方法，孕伏认知冲突。

师：如果这样切呢？（如图4）跟刚才有不一样吗？

生：这样多切了1分米，刚才切掉的小正方形边长是2分米。

师：想象一下翻折tqQRQSOR7eKnf6wxP0X8hA==后的盒子和刚才的盒子有什么不同。

生：这个更高一点。

（学生独立计算盒子的容积）

二、首次发问，探寻“最大”

任务一：怎么剪，容积最大？

1.提出问题。

师：对比两种剪法，（如图5）你们有什么想问的吗？

生：为什么剪去的多，盒子的容积却比原来大？是不是剪得越多，容积会越大？什么时候容积最大？

【设计意图】回顾学习过程，课件出示两次情况，引导学生观察、思考，并提出问题。

2.猜想。

师：什么时候盒子的容积最大？

生：长、宽、高最接近的时候，正方体，剪8分米的时候。

3.验证。

师：这些都是我们的猜想，那么到底什么时候盒子的容积最大呢？要知道猜想对不对，怎么办？

生：逐个算一下。

师：一个一个验证，数学上叫作枚举法。

4.肢体语言，加深认知。

师：盒子的容积，先慢慢变大，然后，从哪里开始变小？你能用手做动作表示出它们的变化趋势吗？是这样的波浪线吗？（课件展示，如图6、图7）

5.总结回应。

师：我们解决了什么问题？是不是剪得越多，盒子的容积就越大呢？为什么？讨论一下，剪掉的小正方形的边长跟谁有关？

小结：通过验证发现，当卡纸边长是18分米的时候，剪去3分米，跟你原来的猜想一样吗？看来用经验猜想，不一定灵，还得验证。我们提出问题，大胆猜想，通过验证发现结论，这是学习数学的好方法。

【设计意图】核心问题“怎么剪，容积最大”从提出到引领，通过“猜想—验证—发现”，让学生经历问题的完整探究过程，渗透不完全归纳思想。呈现所有情况，用肢体动作加深学生对容积大小变化的认识，形成清晰感知。

三、二次发问，探究奥秘

任务二：盒子的奥秘是什么？

1.提出问题。

师：学到这里，我们再联想一下，你还有什么想问的吗？

生：为什么小正方形的边长是3的时候最大？

生：再联想一下，别的——是不是所有的卡纸都是剪掉3分米时容积最大？

师：你想到了本质的问题，你会从一张卡纸联想到所有的卡纸是不是都有这样的规律或者奥秘。

2.方法引领。

师：要研究所有的卡纸是不是都有这样的奥秘，我们得换另外的卡纸。

师：这里有两张卡纸，边长分别是24分米和12分米，咱们分工合作，这边的同学研究24分米的，那边的研究12分米的。

3.汇报展示，整理数据。

师：跟你们想的一样吗？还可以往下剪吗？

4.观察数据，发现奥秘。

课件呈现三幅图，（如图8）引导学生观察、比较，发现共同点：盒子容积最大时，剪掉小正方形的边长=卡纸边长÷6。（板书：容积最大）

【设计意图】坚持让学生先质疑发问，再猜一猜怎么剪容积最大，再动手验证。这样，就不只是让学生小心求证，还要学生动脑思考发问，有效地培养了学生的空间想象能力，以及勤于思索的习惯。

四、深度质疑，融通思想

师：学到这，你还有其他问题要问吗？

师：爱因斯坦曾经说过，提出一个问题比解决一个问题更重要。那么，我们带着问题、思考和研究方法，课后有兴趣就可以继续研究下去。

【设计意图】通过猜想—验证，最终发现规律，又对规律再次质疑，再次猜想……让学生在不知不觉中，体验运用不完全归纳思想的过程，一次又一次感受数学的魅力。课件呈现爱因斯坦的名言“提出一个问题比解决一个问题更重要”，告知学生发现问题和提出问题的重要意义。

（作者单位：广东东莞市大朗镇中心小学）