新课标理念下两位数乘法教学的探究

（上接本刊2024年第5期）

3.关键课怎样体现主题的大观念？

教学过程中怎样以“数与运算”主题的大观念为统领，突显整数运算的本质呢？用符号和计数单位表达数量、计算是计数单位个数的运算、运算律是初等运算的依据等可以作为“数与运算”主题的大观念。整数的十进制表达、乘法运算与加法运算之间的关联、在运算中体现的运算律都会在14×12这个问题的解决过程中运用。教学过程中如何体现这些大观念？怎样使学生在学习过程中体会它们的重要性？这些是教学设计和实施中应重点考虑的问题。将12分解成10与2的和就是利用整数的十进制表达，不同数位上的数表达的数值不同，这是在数的认识和数的计算时反复运用和强化的观念，也是引发认知迁移的重要依托。充分利用这样的观念帮助学生理解其中的算理是这节课的重点。运算律蕴含在将12分解后，分别乘14的过程中（教学过程中，有的学生将14分解成10与4的和，分别乘12，也是同样的道理），需要借助原有的知识与方法，或者直观模型来帮助学生理解。

如图1，俞正强老师充分运用学生关于乘法运算的前概念，从4×2、14×2、14×10这样的已知知识与解决方法入手，帮助学生理解14×12的算理，从已知到未知，建立前后知识之间的关联，以及乘法运算中竖式与横式之间的关联。

如图2，朱国荣老师利用横式与竖式之间的关联帮助学生理解算理。横式体现算理，竖式体现算法，二者之间有密切关联。利用这种关联，使学生理解竖式中算法的每一步都是有道理的，进而理解算理与算法之间的关系。朱国荣老师在三个有联系的问题情境基础上，回应学生不同的想法，呈现横式与竖式之间的对应关系，帮助学生理解算理、掌握算法。

同样，可以用点子图或其他直观的方式帮助学生理解算理和算法之间的关系。如图3，在第三轮一位青年教师的课中，老师开始时没有用点子图呈现算理，多数学生可以借助算式中不同数位上的数相乘得出相应的结果，也有学生对于为什么先求2个14、再求10个14就可以得出正确的结果有疑惑。这时老师结合直观展示进行引导：一共是12本书，每本书14元，一共是12个14元；先找出2个14元，再找出10个14元，加在一起就是12个14元，也就是说，先用2乘14，再用10乘14，最后把得到的结果相加，就是14×12的结果。

无论以什么方式引导学生理解算理，建立算理与算法之间的关系，最后都要归结为抽象的数的运算，并结合数的特征理解算理，因为这里的计算是关于数的计算，具体情境中的书的价钱、排队的人数都是数量，而点子图是半抽象的起支撑作用的直观工具。从横式到竖式的推理，或将竖式拆分成若干个横式（如以冒泡的形式解释竖式中每一步的道理），都是在抽象的数的运算的意义上理解算理和算法之间的关系。计算教学的复杂性也许就体现在这里。

4.怎样激活和利用前概念？

对数学关键内容的理解和掌握，必须充分利用学生的前概念，这个道理似乎很多人都了解，但在具体的教学实践中，针对某个特定内容，其前概念是什么？怎样在教学中利用学生的前概念？怎样通过迁移引发真正的学习活动？这些是教学设计和实施时必须认真思考和处理的问题，也是教师专业素养的集中体现。前概念引起的迁移有正迁移，也有负迁移。14×12这个内容的前概念是什么？怎样利用其解决学生学习中的困惑？这可以从几位老师不同的教学设计中看出来。例如，俞老师从4×2到14×2再到14×12，这是激活学生的相关知识与方法，使新内容的学习水到渠成。再如，朱老师从三个横式，到三个横式向竖式的搬家，都利用了前概念。几位青年教师在第一轮上课时这方面的意识不够，没有很好地提示和利用学生的前概念。在导师的指导下，在第三轮上课时两位青年教师明显关注了学生的前概念，注重利用学生以往的经验引入和思考新内容的学习。

学生的前概念有时还体现在现场生成的各种不同的解题方式上，例如，有学生这样理解14×12：把14分解为10+4，12分解为10+2，10×10=100，4×2=8，100+8=108，所以14×12=108。这显然是受加法运算时个位与个位上的数相加、十位与十位上的数相加这样的算法所影响，将个位与个位上的数相乘、十位与十位上的数相乘，然后合起来得到结果。这种算法看起来有一定的道理，但是把乘法和加法混淆了，是加法运算中的算法产生的负迁移。学生之所以会产生这样的负迁移，归根结底还是在学习加法时没有很好地理解相同数位上的数相加的道理，也就是没有更好地理解算理，而只是在形式上懂得了算法，将加法中的运算形式迁移到乘法，而不是探究它们算理上的差异。可见，教学中既要运用学生的正迁移，也要关注可能出现的负迁移，才能恰当地理解学生的想法，解决学生出现的困惑。

5.如何选择和运用脚手架？

在三轮课的上课、说课、议课过程中，讨论最多的是关于点子图的呈现和利用。在两位数乘两位数算理的理解中是否用点子图、什么时候用点子图，成为讨论的焦点，也一度引起争论。仔细分析这个问题的争论，结合六节课的教学过程，可以发现核心的问题是教学中直观手段的选择和运用问题，也就是通常所说的怎样选择和运用脚手架的问题。

首先，需要弄清点子图（包括起相似作用的替代物）在学习过程中的作用。以直观的方式帮助学生理解和掌握特定的知识与方法，一直是教学设计时的重要策略，这也是众多教学理论提倡的帮助学生理解抽象的概念和方法的有效方式，也称其为学生搭建脚手架，使学生“跳一跳”可以达到学习目标。重要的是，教师是教学活动的设计者和组织者，要清楚学生是否需要这个脚手架，什么时候给学生提供什么样的脚手架更合适。一种教学策略和方法只有在适当的时候用于解决需要的问题才是有效的，反之会适得其反。这节课的核心问题是如何计算14×12，可以将其分解为几个要点来理解。14×12就是求12个14的和，这个道理结合具体的情境可以这样理解：1本书14元，12本书多少元，可以把12本书分为10本书和2本书，先求10本书多少钱（14×10）和2本书多少钱（14×2），再合起来就是12本书的价钱（或者用其他的方式分解12，如2与6的积、3与4的积）。将12分解成10与2的和的原因在于数的表达是十进制，整数是用计数单位个数表达的。此时的14×10和14×2是学生学过的计算问题。新的问题是：为什么将12分解成10与2的和，再分别与14相乘，得到的积相加就是14×12的结果？从数学角度看，这是在用乘法分配律，但教学中显然不能直接用乘法分配律讲算理。那么，就要考虑以什么样的方式使学生明白这个道理。

其次，根据实际需要选择和呈现脚手架。一些教材上选择用点子图帮助学生理解14×12就是10个14和2个14相加。这样展示并不是没有道理，将情境中的14元用14个点子表示，有这样的12个，一共是多少。直接将图中2个数相乘的关系展示出来，学生也容易通过画一画表示出10个14和2个14。而问题在于，面对14×12这个问题，是否应该马上用点子图表示？或者说，除了点子图，是否还有其他的方法解决这个问题？无论是教材还是学习单上给学生的明确指示“借助点子图说明其道理”，都是明确给学生提供了这个脚手架，但没有考虑此时学生是否真的需要这个脚手架，除了这个脚手架是否还有另外的脚手架。面对这个问题时，学生首先想到的是这幅点子图，还是其他的与这个问题相关的前概念，如前面列举的14×10和14×2？于是就产生了教学中是否需要点子图，以及什么时候呈现点子图的争论。这就回到了问题的原点：面对14×12，学生会怎样想？前面学的哪些知识与方法可以迁移到这个内容的解决过程中？从现场展示的三轮六节课中似乎可以回答如何选择和运用脚手架的问题。

第一轮两位青年教师的课中，教师一开始就试图用点子图帮助学生理解算理，或直接向学生提供带有点子图的学习单，让学生在学习单上标出相应的计算过程；或在学生写出第一步14×2=28，接下来不知如何计算时，出示点子图，引导学生在点子图中找到2个14和10个14。而对学生来说，2个14是多少他们已经会计算了，这时还要在点子图中找，有的学生感觉麻烦，有的学生一时对不上号。况且，在解释竖式中每一步的道理时，要求学生再回到点子图，他们会感觉更加烦琐。

第二轮两位特级教师的课中，没有用点子图，但有一些类似的脚手架呈现给学生。俞正强老师用前期学过的计算问题作为铺垫和准备，直接从4×2、14×2、14×10这几个问题中的算理和算法，过渡到14×12这个问题如何解决。前面几个问题的解决方法，蕴含了新问题中的算理，这样的迁移有利于学生理解新问题中的算理。整个过程中基本没有用到点子图，只是开始时有一个地方用点子图说明4×2。朱国荣老师的课采取问题递进的方式，从情境的简单到复杂，到计算问题的简单到复杂，再通过不同情境帮助学生理解横式与对应的竖式之间的关系，建立算理与算法之间的关联。

在第三轮的两节课中，两位青年教师没有把点子图作为必选项呈现给学生，但根据教学过程的进展，适时呈现脚手架帮助学生理解算理。例如，第二位老师的团队在第一轮上课时事先准备好点子图呈现给学生，在第三轮上课时计划不用点子图，但当学生不能很好地理解2个14和10个14，以及为什么将其相加时，需要有一定的直观支撑帮助学生理解，这时如果事先准备好了点子图，拿出来就可以解决这个问题，这就是脚手架出现的时机。面对这种情况，老师选择用另外一种直观的方式，如图3，在黑板上画出12个14，请学生圈出2个14和10个14，同样起到直观的作用。能够抓住时机恰当运用脚手架解决学生的困惑，体现了教师的教学机智。

最后，有时不用点子图也可以解决问题。两位特级教师的课中基本没有用点子图，但不等于没有脚手架。教学中为学生提供脚手架是必要的，特别是对于一些较难理解的问题，更需要在必要的时候为学生提供适当的帮助，使学生能够摸到“桃子”。点子图只是为学生提供直观支撑的一种方式，具体的教学设计可能选择多种直观模型或支撑学生理解的方式。两组青年教师之所以都选择点子图作为支撑，主要是由于教材中提供的直观模型是点子图，并且在这个内容的学习过程的前段以明显的方式呈现。在观摩研究的过程中，青年教师以教材中用的是这种呈现方式，并且学生的学习也需要一定的直观支撑，说明这样做的合理性，这不无道理。而问题的关键在于是否应该一开始就以点子图的方式给学生提供支撑，并将其贯穿于理解算理的始终。在观摩教学实践中我们看到这样的情况：许多学生可能并不需要点子图，特别是用学过的方法就可以解决的部分，例如，14×2是学生学过的，只是在这里要说明先用12中的2乘14，再用10乘14就可以解决问题。在点子图上找到2个14，甚至找到2乘4，可能让许多学生感到烦琐，同时没有真正从计数单位的大观念理解算理。也许并不是所有学生都可以在这个水平上理解算理，当有学生出现理解困难时，提供一定的支撑才是必要的。俞正强老师和朱国荣老师的课中并没有直接用点子图说明算理，而是采取事先提供所需要的前概念，或将问题分解成几个横式的方式，给学生指引，也同样实现了教学目标。当然，是否用类似点子图这样的直观支撑，不能一概而论，不同的教师教学设计的逻辑有所不同，不能以此否认点子图的作用，关键在于是否在恰当的时候提供必要的支撑。

6.如何关注学生的课堂生成？

为学生提供思考的空间，就会发现学生独特的思考方式和解决问题策略。学生有自己看问题的视角和思维的逻辑，如果不真正了解学生的思维方式，并采取有效的策略解决学生的困惑，一些迷思可能会始终伴随学生，成为其学习过程中的障碍。只有充分关注学生的不同表现，特别是有代表性的困惑，并及时采取恰当的方式为学生释疑解惑，才能使学习真正发生。有些问题看似是个别学生出现的问题，其实很可能是一部分学生的共性问题。那些典型的、有代表性的、反映学生思维卡点的，并与当前学习中涉及的关键思考方式和大观念有关的问题，需要教师及时发现，并给予学生点拨。往往解决一个学生的典型问题，相当于解决一批具有类似困惑学生的问题。前面展示的六节课，虽然设计的思路不同，教学过程也有差异，但都为学生提供了思考的空间和时间，因而暴露出学生不同的思考方式和解决问题的方案。分析这些不同的解决方案，能使我们了解学生的想法，以及教师的应对策略。如图4～9，是解决14×12这个问题时学生的典型答案，当然，其中有正确的，也有错误的。从学生这些不同类型的解答中我们能得到一些启示。

我们发现给出不同答案的学生都能说出自己的道理。学生有自己的思维逻辑，有自己解决问题的思路，也有自己运用前概念解决当前问题的方法。教师的任务是弄清这些学生是怎样想的，了解他们的思维方式是怎样的。最好的方法是请学生自己说道理，在他们说的过程中，教师才能知道学生是怎样想的，也才能确定学生的思维方式和解决问题的逻辑是怎样的。只是简单地请解答正确的学生说出道理，再问其他学生“能听懂他说的吗”，通常他们会回答“听懂了”，但很可能没有解决心中的疑惑。

笔者在课堂观察中发现一个女生得到的结果是14×12=18，她的算法如图10所示。以下是笔者和这个学生的交流：

笔者：你是怎样想的？

学生：2[×]4=8，个位上写8；1[×]1=1，十位上写1。所以14[×]12=18。

笔者：这里的1表示多少？

学生：10。

笔者：10×10等于多少？

学生：10×10=10。

笔者：10[×]2等于多少？

学生：20。

笔者：10×4等于多少？

学生：40。

笔者：10×10呢？

学生想了想，不说话了，这时她对自己的想法似乎产生了动摇。直到下课，她才走到笔者面前怯生生地说：“老师，我知道了，10×10=100。”

虽然这里可能还有没能完全解决的问题，但她的想法已经有了很大进步。学生之所以有这样的算法，很明显是从加法运算的算法迁移而来的：在加法中个位与个位上的数相加，结果写在个位上，十位与十位上的数相加，结果写在十位上。这里也如法炮制，个位与个位上的数相乘，十位与十位上的数相乘，结果分别写在个位和十位上，在形式上与加法一样。只懂算法，不理解算理，就可能产生这样的负迁移，这恰恰说明运算教学中使学生理解算理的重要性。

上述另类的同课异构教研活动带来的发现和启示，对我们深入了解小学数学教学改进有多方面的启发。教研活动的形式可以是多样的，研究的问题也可以是不同的，但重要的是要关注学习内容的本质特征，把握学生学习该内容的基础和可能产生的问题，聚焦学习内容的学科本质和大观念，采取有效的策略和方法，为学生提供思考与探究的机会，真正解决学生学习中的困惑，促进学生对核心内容的理解与掌握，进而形成和发展核心素养。

（作者单位：东北师范大学）