深度学习视域下数学公式教学研究

数学公式遍布于初中数学数与代数、图形与几何、统计与概率等各领域，在初中数学教学中占有一定的比例。本文以深度学习为指导，立足公式的教与学，以“平方差公式”为例，从如何引课，怎样抓住公式中学生认知的生长点，怎样突出重点、突破难点等方面，对如何实现对发展学生数学思维、提升学生数学素养进行了探索。

平方差公式是整式乘法中第一个公式，本节课的教学对学生该如何学习数学公式有方法论意义，对“数学公式课”该如何上有一定的示范引领作用。本文结合平时下校调研中所发现的公式教学中存在重结果轻生成、重模仿轻算理、重记忆轻思维等现象，梳理出初中数学公式教学的关键问题，并提出相应的改进建议。

一、理解公式本质的结构性——建构知识

美国教育心理学家布鲁纳提出：“每门学科都有它的基本结构，掌握结构是教师的第一要务。”数学的本质是结构，数结构、式结构、形结构，结构化是认识数学对象、研究数学问题的关键。

理解平方差公式的关键是理解公式的结构特征。平方差公式的实质就是整式乘法中具有特殊结构特征的两个多项式相乘，其结果具有一般规律性。掌握和运用这一规律，能够简化运算，提高运算的准确性。

很多教师把如何理解公式中字母符号的代表性定位为教学的重点与难点，先是在公式探究中所列举的多项式相乘的例子中进行有层次、有代表的渗透，再加上教师适时的点拨引领，学生认知公式中字母a、b的代表性、一般性、整体性，实际难度不大。学生真正的认知难点是判断下列式子（-a+b）（a+b）、（a-b）（b+a）、（a-b）（-a-b）、（-a-b）（-a+b）是否符合“平方差”公式运用条件。学生既要理解公式中字母的可变性，又要认识公式结构的不变性。这里也体现了学生思维的进阶，从具体实例归纳出文字表述（两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差），到抽象出公式符号表征（a+b）（a-b）=a2-b2，再到提炼出“相同项”与“相反项”揭示公式本质，其中如何启发学生想到从项的视角概括公式结构的本质特征是教学的难点。认识对象的性质就是对组成元素、相关元素及其关系的理解，代数思维是对数、式的结构特征的理解，平方差公式中（a+b）（a-b）=a2-b2等号左边是两个多项式的积，等号右边是多项式，多项式的组成要素刚好是“项”，把（a+b）（a-b）转化为［a+（+b）］［a+（-b）］，进而从“相同项”与“相反项”的角度来揭示公式的结构特征也就自然水到渠成。

深度学习是理解性学习。学生学习平方差公式的易错点是理解两数和与这两数差的积，等于这两个数的平方差中“两数”差是谁与谁之差。学生透过公式的表象，以结构的视角开展从具体到抽象的思维认知，把握公式的本质特征，真正实现从公式的浅层表征走向深度理解。

二、掌握公式应用的灵活性——学以致用

对公式的灵活运用既是教学重点，也是学生学习的难点。教学的关键是要让学生理解数学的符号语言与几何特征所表达的数学本质。

乘法公式教学的一个重要环节是引导学生识别公式结构特征，悟透公式的适用条件。学生只有准确辨识公式结构特征，才能正确灵活运用公式解决问题，才能体会公式的优越性，感悟数学的简洁美。首先，教师应引导学生梳理运用平方差公式进行运算的步骤，强调程序性知识的操作过程，养成言必有据、算必有理的理性精神。其次，教师要让学生掌握代数式变式策略，通过“系数变、符号变、位置变、指数变、因式变、项数变”的现象，让学生从变化中认清变化的规律，抓住不变的本质，感悟字母的可变性和结构的不变性。教师还要让学生关注对公式的运用，从直接运用到构造应用，如利用平方差公式求下列各式的值：99×101、（2+1）（22+1）（24+1）；再到拓展应用，创设开放题目，如在括号内填上一个多项式（2x-3y），能用平方差公式计算，或直接由学生自主编题，检测学生对公式本质、结构的理解和掌握情况。这一系列由浅入深的数学活动，其目的是优化学生认知结构，破解公式灵活运用之难。

深度学习让学生在运用中实现知识的内化、思想的升华、能力的提升、素养的落实。这里彰显了初中数学学习的一个典型特征——学以致用这是最有效的学习方式。

三、体验公式学习的迁移性——触类旁通

举一反三、触类旁通是数学学习能力的表现，也是数学教学的追求，它考验学生面对新问题、新情境能否运用已有知识、提炼一般观念实现有效迁移。

如何上好公式法则课？感悟公式引入的必要性—提出探究问题—梳理归纳公式—证明验证公式—感悟公式思想—把握公式结构特征—灵活运用，这是公式课教学的基本结构与流程。学生经历平方差公式学习的过程，积累公式学习的经验，可类比迁移学习完全平方公式。教师对完全平方公式的教学设计，也不是简单的重复，而是在学生已有认知基础上的再建构。研究对象在变，但研究问题的思路方法不变，教师用相似的方法解决不同的问题。这既是数学的本质，也应是我们学习数学的方法。这或许就是数学给予我们的最本质的思维观点，学生不但可以类比平方差公式学习完全平方公式，也可以类比公式课学习定理、概念课。教师真正弄懂一节课，进而上好一类课，就能上好一门课。

深度学习过程着眼于学生在经历探究过程中自主建构知识和迁移方法，这就是人们常说的举一反三、触类旁通，这既是数学的魅力，又彰显数学的学科价值。

四、品悟公式蕴含的思想性——发展思维

数学教育的价值不仅仅在于让学生获得一些数学知识与技能，更是要教会学生思考，培养学生的代数思维、几何思维，进而提升学生的数学素养。

在平方差公式的教学中，真正的教学难点是如何引导学生自然地想到以拼图方法证明公式及具体的拼图方法，这既是教师教的难点，又是学生学的思维断点，更是教师在教学设计中的一个困惑点。这里的由“数”想“形”是一个思维难点，应该是由“数”到“数”再到“形”，中间的这个“数”是对前一个“数”的代数特征的分析，是得到“形”这个几何结论的思维连接点。这里教师可引导学生思考看到a2、b2联想到什么几何图形的面积，看到（a+b）（a-b）联想到什么几何图形的面积，并尝试画图进行验证。学生在这一过程经历由数构形，突出数形转化思想，提升构图能力，为今后勾股定理证明奠定认知的基础，真正实现思维的进阶。

五、梳理公式学习的丰富性——落实素养

在梳理平方差公式的学习过程中我们发现，从特殊、具体的引例中多项式相乘抽象出平方差公式，学生数学核心素养得到了显著性提升。

教师让学生在学习数学的过程中，具备数学眼光、养成数学意识，开展数学思维、提炼数学方法，进行数学交流、形成数学文化。深度学习是发展素养的学习，其实这里彰显了数学学习的本质是发展学生的数学思维，让他们学会用数学的观点认识世界，理解生活，真正发展关键能力、必备品格，提升核心素养。

教师要引导学生亲历公式的生成过程，渗透从具体到抽象、从特殊到一般再到特殊的数学思想，经历公式的验证、辨析与应用，实现对学生数学经验的积累、方法的迁移、思维的进阶、能力的提升和数学素养的落实。深度学习过程着眼于学生从整体的视角理解所学内容，在经历探究过程中自主建构知识和迁移方法，实现数学思维向高阶思维的发展，让学生在学以致用的过程中学会思考数学，学会数学的思考，真正化知识为能力、化能力为素养。

（李 辉）