数学为什么是必修课？

“秦子同学为什么会在这儿？”

学校体育馆里，秦子正搓手准备攀上岩壁，突然听到身后传来荒白教授的声音，于是转头说：“教授，我试试新线路。”

教授搓着手上的镁粉，说：“秦子同学，现在这个时间，你应该在高数课堂上吧？”

秦子笑了一声，回头紧了紧安全带，说：“没有必要。”可他刚要发力，就被教授拽了回来。教授问：“什么没有必要？”

秦子一脸不耐烦地说：“我说去上高数课没有必要。”

教授摇头道：“秦子同学，这句话不像一个大学生该说的。”

“我不是数学专业的学生，又不搞物理和精算，我学高数干吗？别说高等数学，依我看，数学这玩意儿其实学到初中水平就够了。”秦子抬头看了一眼教授，又补充道：“是是是，我知道您能说会道，更高层次的数学在各行各业都有什么意义，您能随口说几个小时，所以我仅就个人情况表态。我说我自己，在今后的人生中，数学学到初中水平就够了。”

教授却说：“不，不够，秦子同学不能就这么放弃对自己的要求。即使不谈社会应用，光是在个人成长方面，数学也是极有价值的。”

秦子问：“有什么价值？”

教授说：“很多，比如，学数学能扩充你的词汇量。”

秦子“哼”了一声，说：“这叫什么价值？我要是想扩充词汇量，去背词典不行吗？”

“不行，有些词语只能在学习数学的过程中积累，因为那些词语蕴含的其实是一套复杂的思维方式乃至世界观，而这是背词典所做不到的。”教授一边说，一边摘下眼镜擦了擦，“秦子同学，你知道第一次数学危机吗？”

秦子摇头道：“数学危机不知道，我就知道《生化危机》。”

教授没有理睬秦子的打岔，继续说：“公元前470年前后，数学差点儿完蛋了。”

“数学完蛋？什么意思？”

“就是说，数学作为一门学科在理论上出现了重大矛盾，就仿佛大家在一起编一个故事，但编着编着，大家惊讶地发现这个故事圆不回来了。”

秦子一听这个，脸上就露出了看热闹不嫌事大的笑容。“您具体说说，数学怎么就完蛋了？”

教授说：“公元前5世纪，古希腊有一个影响力很大的学派，叫毕达哥拉斯学派。这个学派虽然以学术成就闻名于世，比如发现了勾股定理，但是也搞一些神秘主义和政治活动，所以这个学派的领袖毕达哥拉斯的身份很复杂，他既是学术领袖，又像是‘教主’和‘帮派老大’。”

秦子说：“嚯，这身份还挺酷。所以，是毕达哥拉斯引发了数学危机？”

“不，是他的学生引发的，但毕达哥拉斯也需要为此负责。在公元前5世纪，毕达哥拉斯声称，世间的一切数都可以被归纳为整数和整数之比，而数也恰恰是世界的本源，是一切事物运转的根本原则。”

“我怎么觉得神神秘秘的，真有点儿教主的劲头了。”

“确实，那时候数学理论还非常浅陋，而且科学远未昌明，所以人们在研究抽象概念时，很容易滑到神秘主义的旋涡里去。另外，因为当时的数学主要是古希腊人对生产实践的总结归纳，这使得毕达哥拉斯的理论基础，即世间一切数都可以用整数和整数之比来表示，也是符合直觉和经验的，大家看不出有什么破绽。”

秦子问：“后来呢？到底是什么引发了危机？”

“后来，毕达哥拉斯有个学生，名叫希伯斯，他发现了一件非常可怕的事……”教授说到这儿，嗓音都低沉了下来。

秦子也慢慢凑过去，小声问：“到底是什么可怕的事？”

教授说：“他发现，一个边长为1的正方形，其对角线长度无法用整数或整数之比表示。”

秦子听完，肩膀都快耸到耳朵上边去了，摊开双手，道：“边长为1的正方形的对角线长度？那不就是根号2吗？”

教授说：“是的，但是当时的古希腊还没有人知道根号是什么东西，更没有无理数的概念，所以，正方形的对角线长度引发了一些人的恐慌。”

“恐慌？”

“是的，特别是毕达哥拉斯本人，简直惶惶不可终日，因为正方形对角线的长度问题是他无论如何都无法解释清楚的。可以说，他之前的所有理论都因为这个小小问题崩塌了。这就是第一次数学危机。”

秦子说：“那赶紧把理论改一改，圆回来不就行了？”

“没那么简单。”教授摆摆手，“毕达哥拉斯对于自己的数学理论有一种宗教式的狂热崇拜，不容亵渎，所以当他发现希伯斯指出了自己理论的问题所在时，他要求自己的学生闭嘴，不许对外界透露这件可怕的事。”

“但他的学生还是对外披露了这个秘密，对吧？”

“是的，在历史传说里，毕达哥拉斯也因此陷入狂怒之中，命人把这个背叛自己的学生扔进大海淹死了。”

秦子倒吸了一口凉气。“好家伙，古希腊‘学阀’还能直接杀人灭口呢。”

教授说：“虽然希伯斯被杀了，但他揭露的问题却已然为公众所知，所以古希腊人不得不硬着头皮去应对。正是吸取了这场危机的惨痛教训后，古希腊学者才明白，来自生活的经验和直觉是不可靠的，严谨的逻辑推理才是真知的基石，这也在后世成为自然科学的基本原则。所以，如今有很多专家表示科学孕育自‘两希’文化，即古希腊和希伯斯。”

秦子点了点头，道：“但您说了这么多，我依然没看出数学对个人能力的提升有什么帮助。”

教授说：“维特根斯坦说过一句名言，语言的边界即世界的边界。你可以将其理解为：如果一个概念对于某人是无法言说的，那么在此人的世界观里，这个概念即是不存在的。”

秦子说：“教授，您说得太抽象了，我没明白。”

教授说：“结合刚才的例子来看，在第一次数学危机爆发时，毕达哥拉斯的脑海中还没有无理数和根号2这样的词，这使得他根本无法描述正方形对角线的长度，因为他脑内是没有相应概念的。”

秦子低着头，捏着下巴，一边思考一边说：“好像是啊……无法用词语表达出来的概念，就很难对其进行分析推理，有种大脑使不上劲儿的感觉。”

教授点头道：“这样的例子在当代也有。1987年，有个人类学家深入菲律宾雨林中的矮黑人部落，他发现这些矮黑人的文明水平依然处于石器时代，语言中没有3以上的数词。”

秦子问：“他们只能数到3吗？”

教授点点头。“人类学家曾问一个矮黑人女性有几个孩子，那个女性的孩子超过了3个，于是她就不知道该怎么表达了，只能依次说出孩子的名字。凡是大于3的数字，他们都无法理解，所以这些原住民无法使用大面值货币，在和外界做交易时只能以物换物，这便是难以理解、不能言说的概念。”

秦子说：“我大概明白您的意思了，但我依然觉得这些离我很远，毕竟我能数到3以上。”

教授又一次摇起头来。“然而，在数学的世界中，并不只有整数和无理数的概念，还有很多词是完全超出生活经验范围的，如果没有学习过相应的数学知识以掌握相应词语，人们就很难甚至无法表达一些概念。”

秦子问：“您能举几个例子吗？”

教授说：“当然。比如，你如何靠日常用语表达补集这个概念？”

“嗯……这个我知道，大概是一定范围内的元素组合中……某一个相对小范围内的元素之外所有其他元素的总和？”秦子说完这一大串，忍不住喘了口气。

教授笑道：“且不说你刚才的表达是否严谨，就光说这么长一串啰唆的话，费劲不费劲？麻烦不麻烦？你不妨再说说，逆否是什么意思？周延是什么意思？共轭、递归、期望、离散、积分又都是什么意思？”

秦子红着脸张了张嘴，但什么都没说出来，脑门儿上还浮出一层虚汗。

教授摊开双手，说：“就算你能给出一个不甚严谨，甚至啰唆的解释，在思考中，如果不能把复杂抽象且自带前提和限制条件的概念压缩成简单词语，那么人的大脑内存将很快被占满，思考和推理就会变成一件特别低效且痛苦的事。特别是那些根本没接触过的数学词语所对应的概念，你根本就不能理解，就像菲律宾热带雨林中的矮黑人原住民不能理解8是什么意思一样。”

秦子吸了一口气，点了点头。

教授抬起头看着高高的岩壁，说：“做个类比的话，思考一个复杂问题就好像攀岩，而一个个数学词语就仿佛岩壁上的凸起。如果没有这些数学词语，你就仿佛在爬一面光滑的玻璃墙，有一种大脑使不上劲的感觉，而有了这些数学词语，你就可以踩着它们、抠着它们，以让自己的大脑充分发力，进退有据，在岩壁上又快又稳地攀爬。秦子同学，如果一个人在思考时又快又稳，那我们通常会用一个词来形容此人。”

秦子问：“聪明？”

教授点头道：“所以，回去上数学课。”

（蒹葭摘自中信出版集团《教授与年轻人》）