星地链路中基于毫米波大规模MIMO的混合预编码算法研究

摘 要： 为了提升星地链路通信系统频谱效率，针对毫米波（ｍｉｌｌｉｍｅｔｅｒ Ｗａｖｅ，ｍｍＷａｖｅ） 大规模多输入多输出（Ｍａｓｓｉｖｅ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｉｎｐｕｔ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ） 系统，在正交匹配追踪（Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ Ｍａｔｃｈｉｎｇ Ｐｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ） 算法的基础上，提出了一种改进的ＯＭＰ （Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ） 混合预编码算法。针对星地链路间通信的特定场景，引入了基于扩展的Ｓａｌｅｈ-Ｖａｌｅｎｚｕｅｌａ （Ｓ-Ｖ） 信道模型；针对ＯＭＰ 算法中求解模拟预编码矩阵时存在迭代次数过多的问题，在结合多步长思想的基础上，从天线阵列响应集合中选取与射频链路（Ｒａｄｉｏ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｃｈａｉｎｓ，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ） 相等的前多列作为模拟预编码矩阵；为了克服ＯＭＰ 算法中的伪逆运算复杂度较高的问题，结合矩阵分解和Ｈ-ｌｄｅｒ 不等式简化了数字预编码的求解。仿真结果表明，在理想的信道状态信道条件下，当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的数量和数据流的数量之间的差距较小时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法可以获得更优的性能。Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 方案有效地降低了计算复杂度。

关键词：星地链路；大规模多输入多输出；毫米波；混合预编码；ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法

中图分类号：ＴＮ９２９． ５ 文献标志码：Ａ 开放科学（资源服务）标识码（ＯＳＩＤ）：

文章编号：１００３－３１０６（２０２４）０５－１０６３－１１

０ 引言

卫星网络具有覆盖面广、基础设施独立和抗破坏能力强等突出优势，与地面网络具有极强的互补关系，近年来受到学术界和工业界的广泛关注［１］。卫星网络能够为偏远地区和非陆地地区等区域提供冗余覆盖［２］，实现全球无缝通信覆盖。卫星覆盖范围大，但单星容量受限，单位面积能够提供的通信容收稿量较低。因此，如何提升频谱效率、实现更大的通信容量是当前卫星网络的热点研究问题。

提高系统容量的一种方法是通过物理层技术提高频谱效率，如以大规模多输入多输出（ＭａｓｓｉｖｅＭｕｌｔｉｐｌｅ Ｉｎｐｕｔ Ｍｕｌｔｉｐｌｅ Ｏｕｔｐｕｔ，Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ）［３］为代表的空分复用技术［４］。预编码作为一种基于Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 天线阵列的信号预处理技术，通过调整天线阵列中阵元的加权系数，可以产生具有指向性的波束，能够补偿无线信号的衰落和失真，有效地提升通信系统的质量，对于提高信道增益和保障通信质量具有十分重要的意义，已经在地面移动通信系统中得到广泛的研究和应用［５］。

文献［５］提出了混合预编码架构，只需要较少的射频链路（Ｒａｄｉｏ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｃｈａｉｎｓ，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ）和移相器，就能够有效降低系统功耗和硬件成本，并能达到接近全数字预编码的性能［６－７］。此外，根据ＲＦＣｈａｉｎｓ 到天线的映射方式不同，混合预编码架构可分为全连接和部分连接结构。全连接结构的每条ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 连接到所有天线，能够享有每条ＲＦＣｈａｉｎｓ 的全部波束赋形增益，具有较好的系统性能，但复杂度较高；部分连接结构中每一根ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ仅与部分天线相连接，以牺牲一部分系统性能来换取较低的复杂度，但系统性能相对较差。

针对地面网络场景的混合预编码，国内外学者已经进行了广泛研究。文献［８］在充分考虑毫米波（ｍｉｌｌｉｍｅｔｅｒ Ｗａｖｅ，ｍｍＷａｖｅ）通信的稀疏散射特性和大规模天线阵列相关性的基础上，将频谱效率优化问题转化为一个含有约束的稀疏矩阵重构问题，提出了基于正交匹配追踪（Ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌ ＭａｔｃｈｉｎｇＰｕｒｓｕｉｔ，ＯＭＰ）的混合预编码算法，有较好的系统性能的ＯＭＰ 算法采用发射天线的阵列响应矢量作为模拟预编码矩阵的候选矢量集，在迭代过程中存在大量伪逆运算，计算复杂度较高。为此，文献［９］提出了一种低复杂度混合预编码方案，通过对ＯＭＰ 的码本集合进行奇异值分解（Ｓｉｎｇｕｌａｒ Ｖａｌｕｅ Ｄｅｃｏｍｐｏｓｉｔｉｏｎ，ＳＶＤ），并选择分解后的右奇异矩阵较大特征值的特征向量作为码本，在此基础上获得更多相关向量来扩大码本，从中获取模拟预编码矩阵的相位信息，避免了迭代搜索。文献［１０］借助ＯＭＰ 算法直接求出模拟预编码矩阵，然后通过均值迭代计算数字预编码矩阵，而不需要进行ＳＶＤ 运算，在提升了系统频谱效率的同时降低了复杂度。文献［１１］针对ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量和数据流数量之间的关系进行了研究，当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量大于２ 倍的数据流时，证明了在单用户和多用户Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统中，基于全连接架构的混合预编码理论上能够达到理想全数字预编码系统的性能。与文献［８ －９］不同，喻翔浩等［１２］提出了一种基于相位提取的交替最小化（Ｐｈａｓｅ Ｅｘｔｒａｃｔｅｄ Ａｌｔｅｒｎａｔｉｎｇ Ｍｉｎｉｍｉｚａｔｉｏｎ， ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ）混合预编码算法。该算法在每次迭代中交替优化数字和模拟预编码器直到收敛，通过对数字预编码矩阵增加一个正交约束来降低算法复杂度，在ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量与数据流数相同时，系统达到最优性能，但仍然具有一定的局限性。

鉴于混合预编码技术在地面移动网络中的成功应用［８－１２］，如何拓展到卫星通信网络中，对于卫星－地面融合网络的建设具有重要意义［１３］。文献［１４］针对卫星通信场景，研究了Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 传输的可行性，就全连接和部分连接结构分别提出了用于卫星机载处理的混合预编码方案。文献［１５］针对相控阵天线在卫星通信场景中的发展趋势进行了展望。在此基础上，文献［１６］提出了一种适用于低轨（Ｌｏｗ Ｅａｒｔｈ Ｏｒｂｉｔ，ＬＥＯ）卫星通信系统的混合预编码架构。文献［１７］针对ＬＥＯ 卫星通信场景，提出了基于能效最大化的混合预编码方案，实现了下行Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ ＬＥＯ 卫星高效传输，但没有考虑系统频谱效率的优化问题。文献［１８］针对５Ｇ 卫星集成网络（Ｓａｔｅｌｌｉｔｅ Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ Ｎｅｔｗｏｒｋ，ＳＩＮ）场景，研究了ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统中的混合预编码问题，以较少的迭代次数提高整体频谱效率，实现了性能和复杂性之间的平衡，但系统性能仍有待提升。此外，文献［１９］探讨了卫星系统预编码的发展概况，就不同场景下预编码理论的发展提供了新的见解。

为避免卫星网络与地面网络之间的同频干扰，卫星网络需要采用频率更高的ｍｍＷａｖｅ 频段实现星地链路间的通信［２０］。由于星地链路与地面移动通信网络的通信频段和信道条件不同，地面网络中基于Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 的传统预编码技术无法直接应用于星地链路通信场景［１８］。本文针对星地链路ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统的单用户场景，提出了一种改进的ＯＭＰ （Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ ）混合预编码算法，在有效降低复杂度的基础上，当数据流为１、２ 和４时，系统性能分别提升了１． ６６％ 、３． ５５％ 和１２． ８％ 。

１ 系统模型

１． １ 混合预编码系统模型

考虑星地链路ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统的下行链路场景，即卫星发送信号至地面用户的场景，假设卫星侧配备Ｎｔ 根发射天线和ＮＲＦｔ 根ＲＦＣｈａｉｎｓ，发送Ｎｓ 路数据流到地面用户，接收端配备Ｎｒ 根发射天线和ＮＲＦｒ 根ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ。与传统的ＭＩＭＯ 系统不同，ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统中ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的数目应小于天线数目，即Ｎｓ ≤ ＮＲＦｔ ≤Ｎｔ。连接结构ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统如图１所示。

在通信过程中，从卫星侧发送Ｎｓ 条数据流，依次经过数字预编码器ＦＢＢ 和模拟预编码器ＦＲＦ 后，调相到天线发射单元，经过处理后的发射信号ｘ 可以表示为：

ｘ ＝ ＦＲＦ ＦＢＢ ｓ， （１）

式中：ｓ 为Ｎｓ ×１ 维的数据流。

Ｅ［ｓｓＨ ］ ＝ ＩＮｓ ／ Ｎｓ 。（２）

为了满足发送功率限制，数字预编码矩阵和模拟预编码矩阵应满足：

｜｜ＦＲＦ ＦＢＢ｜｜２Ｆ ＝ Ｎｓ 。（３）

假设信道状态信息（Ｃｈａｎｎｅｌ Ｓｔａｔｕｓ Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ＣＳＩ）已知，则接收信号ｓ 可以表示为：

式中：ｎ 为加性高斯噪声，且ｎ ～CN （０，σ２ｎ ＩＮｓ ）；ＷＲＦ和ＷＢＢ 分别为模拟组合矩阵和数字组合矩阵。此时，系统的频谱效率可以表示为：

式中：Ｒｎ ＝ σ２ｎ ＷＨＢＢ ＷＨＲＦ ＷＲＦ ＷＢＢ 为噪声协方差矩阵。

１． ２ 信道模型

对于星地链路中的ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统而言，由于ｍｍＷａｖｅ 在自由空间存在严重的路径损耗，导致有限空间的选择性或稀疏的散射特性。同时卫星侧部署的大规模天线阵列使得天线阵元之间高度相关。因此，本文采用扩展ＳａｌｅｈＶａｌｅｎｚｕｅｌａ（ＳＶ）窄带簇信道模型，该模型已经被证明可提供精确的窄带ｍｍＷａｖｅ 信道数学模型［２１］。信号从卫星侧发出传播到地面用户，则卫星与地面用户之间的信道矩阵可以表示为：

式中：αｉ，ｊ 为第ｉ 个簇中的第ｊ 条径的信道复增益，服从复高斯分布CN（０，σ２α，ｉ ）的独立同分布的随机变量，且ΣＮ ｃｌｉ ＝ １ σ２α，ｉ ＝ Ｎｃｌ，从而归一化信道矩阵使其满足Ｅ［ ||Ｈ|| ２Ｆ］＝ Ｎｔ Ｎｒ［２２］；ａｒ（Φｒｉ，ｊ，θｒｉ，ｊ）和ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ）分别为接收端和发射端天线阵列响应向量，为Ｎｒ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ和Ｎｔ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 维矩阵；Φｒｉ，ｊ（θｒｉ，ｊ）和Φｔｉ，ｊ（θｔｉ，ｊ）分别为第ｉ 个簇中第ｊ 条径的到达和离开的水平（垂直）角，且服从拉普拉斯分布［２３］；Λｒ（Φｒｉ，ｊ，θｒｉ，ｊ ）和Λｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ）分别对应接收天线和发射天线在到达角（Ａｎｇｌｅ ｏｆＡｒｒｉｖａｌ，ＡｏＡ）和离开角（Ａｎｇｌｅ ｏｆ Ｄｅｐａｒｔｕｒｅ，ＡｏＤ）时的增益，假定每个天线单元具有单位增益。因此，Ｓ-Ｖ 信道模型可以简化为：

对于星地链路通信场景，卫星与用户之间不存在任何障碍物，一般可以视为视距传输，自由空间损耗是影响星地链路中最主要的因素。因此，通常用自由空间传播模型表征星地链路中的损耗，根据Ｆｒｉｉｓ 公式，有：

式中：Ｐｔ 和Ｐｒ 分别为发射功率和接收功率，λ 为波长，Ｇｔ 和Ｇｒ 分别为发射天线增益和接收天线增益，Ｌ 为与传播环境无关的系统损耗参数，ｄ 为传播距离。在星地链路模型中，假设Ｌ ＝ １，即无系统损耗的自由空间路径损耗ＰＬｆｓ 计算如下：

式中：ａ 表示当Ｇｔ ＝ Ｇｒ ＝ １。

设γ 为星地链路中的衰减系数，包括自由空间路径损耗ＰＬｆｓ、大气损耗ＰＬａｔ 和雨衰影响ＰＬｒａ 等，因此γ 可以表示为：

γ ＝ ＰＬｆｓ ＋ ＰＬａｔ ＋ ＰＬｒａ 。（１０）

对于γ，其与卫星轨道高度ｄ、电磁波波长λ、发射天线增益Ｇｔ、接收天线增益Ｇｒ 以及大气损耗ＰＬａｔ和雨衰ＰＬｒａ 相关。对于单用户星地链路可以视为点对点通信，在轨道高度一定的前提下，其传输过程属于远距离传输，到达用户端的时间唯一确定，多经效应并不明显。在用户端的接收功率因γ 的不同而不同，衰减系数γ 可以视为常数进行处理，在仿真对参数进行设置即可。因此，可以得到基于ＳＶ 扩展的星地链路信道模型：

Ｈｓｔ ＝ γ·Ｈ。（１１）

１． ３ 天线阵列模型

在ｍｍＷａｖｅ 通信系统中，使用均匀平面阵列（Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｐｌａｎａｒ Ａｒｒａｙ，ＵＰＡ）天线更为适合，主要有以下原因［８］：

① 将天线单元在平面进行部署，可以减小天线阵列的尺寸；

② 平面天线阵列更有利于天线单元的封装；

③ 平面阵列能够在水平方向和垂直方向实现波束赋形，而均匀线性阵列（Ｕｎｉｆｏｒｍ Ｌｉｎｅａｒ Ａｒｒａｙ，ＵＬＡ）只能在单一方向上实现波束赋形。ＵＰＡ 天线示意如图２ 所示。

对于ＵＰＡ，在ｘｙ 平面内，若在ｘ 轴和ｙ 轴分别有Ｗ 和Ｈ 个天线阵元，则ＵＰＡ 天线阵列响应矢量可以表示为：

式中：ｍ 和ｎ 分别表示ＵＰＡ 天线阵列的行、列索引变量，满足１≤ｍ≤Ｗ，１≤ｎ≤Ｈ，且Ｎ ＝ ＷＨ；ｄ 表示天线间距，λ 表示波长。

为了形象地展示ＵＰＡ 天线的性质和优点，本文给出了不同天线阵列配置下的仿真结果。图３ 给出了天线阵列配置为（８，８）时波束指向为（４５°，１８０°）的波束正视图，俯仰角和方位角的范围分别为（０°，１８０°）和（０°，３６０°）。作为对比，图４ 给出了天线阵列配置分别为（８，８）和（１６，１６）时波束指向为（４５°，１８０°）的波束正视图和波束俯视图，俯仰角和方位角的范围分别为（－１８０°，１８０°）和（０°，３６０°）。

由图３ 和图４ 可以看出，随着天线阵列中阵元数量的增加，波束变得细窄且更具有指向性，同时方向图幅度也随着阵元数量增加而明显提升。

２ 问题建模

基于上述模型，星地链路ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系统下行链路的数字预编码和模拟编码的联合设计问题可以描述为：

式中：Ｒ 为系统频谱效率，ＦＲＦ 和ＦＢＢ 分别为数字预编码矩阵和模拟预编码矩阵，ＷＲＦ 和ＷＢＢ 分别为模拟组合矩阵和数字组合矩阵。约束条件Ｃ１ 和Ｃ２表示恒模约束，Ｃ３ 表示发射端功率约束。针对式（１３）中的优化问题，由于ＦＲＦ 和ＷＲＦ 具有恒模约束，要联合优化极为困难。假设接收端能够实现完美译码，该问题可以解耦为混合预编码设计和混合合并设计问题［８］。本文主要关注发射端混合预编码的设计，则数字预编码器和模拟编码器的联合设计可以重述如下：

进一步，为了寻找最优的模拟预编码矩阵和数字预编码矩阵，转化为最大化卫星发送侧的互信息量：

并对信道矩阵Ｈ 进行ＳＶＤ。

Ｈ ＝ ＵΣＶＨ 。（１６）

根据文献［８］，对奇异值矩阵Σ 和Ｖ 替换后，目标函数可以进一步简化为：

由式（１７）可知，要使卫星侧互信息量最大，需要使ｔｒ （ＶＨ１ ＦＲＦ ＦＢＢ ）最大。对于此类问题，通过使||Ｆｏｐｔ －ＦＲＦ ＦＢＢ||Ｆ 最小来最大化ｔｒ（ＶＨ１ ＦＲＦ ＦＢＢ ），因此上述问题可以进一步等价为：

由式（１８）可知，对于单用户ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系统，混合预编码就是寻求最优的模拟预编码矩阵和数字预编码矩阵，使其尽可能接近于纯数字预编码矩阵，即满足：

Ｆｏｐｔ ≈ ＦＲＦ ＦＢＢ 。（１９）

针对此问题，已经有相关研究人员和学者从不同角度，给出了相应的解决方案，接下来主要介绍ＯＭＰ［８］和基于ＯＭＰ 改进的混合预编码算法以求解上述问题。

３ 混合预编码算法设计

３． １ 基于ＯＭＰ 的混合预编码算法

针对类似优化问题，文献［８］提出了基于ＯＭＰ的稀疏空间混合预编码算法，该算法利用ｍｍＷａｖｅ信道的稀疏特性，将数字预编码的设计转化为稀疏约束矩阵重构问题。

ＯＭＰ 算法的本质是在ＦＲＦ 的码本集合约束下，求解Ｆｏｐｔ 在混合预编码器集合构成的子空间上的最佳逼近。因此，基于ＯＭＰ 算法的混合预编码问题表述如下：

由式（２０）可以看出，ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ）幅度恒定且是一个仅与相位有关的向量，这与模拟预编码器所要求的恒模约束相符合，因此可以利用ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ）的线性组合来实现模拟预编码器，上述问题可以进一步转化为：

式中：Ａｔ ＝ ［ａｔ（Φｔ１，１ ，θｔ１，１ ），…，ａｔ（ΦｔＮｃｌ，Ｎｒａｙ，θｔＮｃｌ，Ｎｒａｙ ）］∈ＣＮｃｌ×Ｎｒａｙ为天线阵列响应向量，模拟预编矩阵中的元素都从Ａｔ 其中选取；～Ｆ ＢＢ ∈Ｎｃｌ Ｎｒａｙ ×Ｎｓ 为混合预编码矩阵的数字预编码部分， 稀疏约束||ｄｉａｇ（ＦＢＢ～Ｆ ＨＢＢ ）|| ０ ＝ ＮＲＦｔ 表明限制ＦＢＢ 的非零行不能大于ＮＲＦｔ ，即当ＦＢＢ 中含有ＮＲＦｔ 个非零行时，Ａｔ 中有ＮＲＦｔ 列被选中。因此可得，ＦｏｐｔＢＢ 由Ｆ ～ ｏｐｔＢＢ 中的ＮＲＦｔ 个非零行构成，ＦｏｐｔＲＦ 为Ａｔ 中对应的ＮＲＦｔ 列。基于ＯＭＰ的混合预编码算法如下。

需要注意的是，ＯＭＰ 算法需要预先设计好模拟预编码矩阵的候选集，计算量较大。此外，当数据流较多的时候，会引起数据流之间的干扰，不适合多数据流传输的情况。

３． ２ 基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合预编码算法

上文提出的基于ＯＭＰ 的混合预编码算法，无法同时兼顾系统频谱效率和复杂度，主要体现在：一方面，ＯＭＰ 算法需要提前知道发射端的天线阵列响应向量，在求解混合预编码矩阵时需要进行复杂的迭代更新，并且该算法仅仅适用于数据流较少的情况，当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量小于２ 倍Ｎｓ 时，ＯＭＰ 性能较差，无法推广至数据流较大的场景；另一方面，存在大量迭代运算，算法的复杂度较高。

因此，本文在综合考虑系统性能和算法复杂度的前提下，提出了一种基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合预编码算法。由于发射端和接收端的情况类似，因此，本文只考虑发送端的混合预编码设计。

Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的主要思想：对模拟预编码矩阵和数字预编码矩阵进行解耦，即先固定数字预编码矩阵求解模拟预编码矩阵，然后利用所求解的模拟预编码矩阵来设计数字预编码矩阵。ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 结合了多步长的思想，从天线阵列响应集合中选取与ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 相等的前ＮＲＦｔ 列构成模拟预编码矩阵；然后，结合矩阵分解和Ｈ-ｌｄｅｒ 不等式简化了数字预编码的求解过程。

基于扩展的Ｓ-Ｖ 信道模型和ｍｍＷａｖｅ ＭａｓｓｉｖｅＭＩＭＯ 系统传输模型，给出优化目标函数：

３． ２． １ 模拟预编码器设计

为了使混合预编码矩阵在最优全数字预编码矩阵上的投影最大，首先给出引理１［１０］：最优预编码矩阵Ｆｏｐｔ 的列向量是ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），∀ｉ，ｊ 的线性组合，天线阵列响应矢量ａｔ （Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），∀ｉ，ｊ 为Ｎｔ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 维矩阵。

根据引理１ 和ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 信道模型的特性，ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），∀ｉ，ｊ 与模拟预编码矩阵具有相似结构，同时ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ），∀ｉ，ｊ 和最优混合预编码矩阵的列相关。因此，选取ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ ），∀ｉ，ｊ的前ＮＲＦｔ 列作为最优模拟预编码矩阵，从而使其与最优混合预编码矩阵前ＮＲＦｔ 列的相关性最强。这样避免了复杂的迭代更新运算，大大降低了系统实现复杂度。所以，上述问题可以转化为：

３． ２． ２ 数字预编码器设计

根据Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范数的定义，首先对式（２３）中的目标函数进行化简：

式中：模拟预编码矩阵ＦＲＦ 已经在上一步的设计中通过ａｔ（Φｔｉ，ｊ，θｔｉ，ｊ），∀ｉ，ｊ 获得，同时预编码矩阵需要满足功率约束ＦＲＦ ＦＢＢ２Ｆ ＝ Ｎｓ，且最优预编码矩阵Ｆｏｐｔ２Ｆ ＝ Ｎｓ。因此，进一步将目标函数进行改写：

为了得到数字预编码矩阵，本文根据Ｈoｌｄｅｒ 不等式和数字预编码矩阵的正交特性，对式（２５）进一步化简。为此，给出引理２：给定ｐ＞１，假设１/ｐ ＋１/ｑ＝１，则有：

根据Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范数及Ｈｌｄｅｒ 不等式，式（２５）可以进一步化简为：

式中：Σ 为由前Ｎｓ 个非零奇异值组成的对角阵。

在式（２７）中，当且仅当ＦＢＢ ＝ Ｖ１ ＵＨ 时，等号成立，不等式转变为等式，此时式（２７）获得最大值。即通过Ｈｌｄｅｒ 不等式和Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ 范数逼近优化目标函数的最优值，得到最优的数字预编码矩阵。

综上可知，基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合预编码算法结合多步长的思想，通过选取与ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量相等的最优列构成模拟预编码矩阵，将步长从１ 增加为ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 路数，整体迭代次数降低；此外，利用Ｈｌｄｅｒ 不等式和矩阵范数的正交特性逼近最优目标函数，求解最优数字预编码矩阵。ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法具体如下。

３． ３ 接收端基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的合并设计

通常情况下，接收端的合并矩阵包括模拟合并矩阵和数字合并矩阵的设计，一般可以通过最小化发射信号与接收信号之间的均方误差进行设计合并矩阵ＷＲＦ ＷＢＢ 。

因此，接收端合并矩阵的设计问题可以表述为：

在式（３２）中，由于发射端的ＦＲＦ 和ＦＢＢ 是在假设接收端组合器是完美状态下进行求解的，发射端与接收端是保持解耦状态，因此接收端的优化问题可以通过采用与混合预编码器相同的方法进行设计。为此，进一步将上式进行展开得到：

式中：Ａｒ ＝ ［ａｒ（Φｒ１，１ ，θｒ１，１ ），…，ａｒ（ΦｒＮｃｌ，Ｎｒａｙ，θｒＮｃｌ，Ｎｒａｙ ）］是维度为Ｎｒ ×Ｎｃｌ Ｎｒａｙ 的接收端天线阵列响应矩阵，Ｗ～ＢＢ维度为Ｎｃｌ Ｎｒａｙ ×Ｎｓ。综合上述分析，可以得到接收端合并矩阵的设计过程如下。

４ 仿真结果与分析

４． １ 仿真参数说明

在本小节中，将对全连接结构下单用户ｍｍＷａｖｅ Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 混合预编码算法进行仿真分析。仿真参数表１ 所示。

验证基于ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 的混合预编码算法的性能，并将所提出的算法与最优全数字预编码、基于ＯＭＰ 的混合预编码算法、基于ＰＥＡｌｔＭｉｎ 的混合预编码算法进行对比分析。

４． ２ 算法复杂度分析

在本小节中，将提出的ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法的复杂度与其他几种算法进行评估，即算法中所涉及的计算量。

Ｆｕｌｌ-Ｄｉｇｉｔａｌ 算法的复杂度主要来源于获取最优预编矩阵，即通过对信道Ｈ 进行ＳＶＤ 可得，因此其复杂度为Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ）。ＯＭＰ 算法主要分为三部分：一是通过Ａｔ 和Ｆｒｅｓ 相关性的计算Ｏ（Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ）；二是ＦＲＦ 的获取，即伪逆运算Ｏ（Ｎｔ（ＮＲＦｔ ） ２ ）；三是对ＦＢＢ进行归一化Ｏ（Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。因此，经过循环ＮＲＦｔ 次后，ＯＭＰ 算法的整体复杂度可以近似为Ｏ （Ｎ２ｔＮｒ ＋ＮＲＦｔ （Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ＋Ｎｔ（ＮＲＦｔ ） ２ ）＋Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。本文提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的复杂度来自于Ａｔ 和Ｆｒｅｓ 相关性的计算，即为Ｏ （Ｎ２ｔＮＲＦｔ Ｎｓ ），同时涉及ＦＲＦ 的获取Ｏ（Ｎｔ ＮＲＦｔ ），最后是对ＦＢＢ 归一化Ｏ（Ｎｔ ＮＲＦｔ ），因此，经过循环ＮＲＦｔ 次后，ＯＭＰ 算法的复杂度近似为Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ ＋Ｎ２ｔ（ＮＲＦｔ ） ２ Ｎｓ ＋２Ｎｔ ＮＲＦｔ ）。ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法的复杂度主要来自于ＦＲＦ 的计算，通过提取ＦＢＢ 的相位来更新ＦＲＦ，因此复杂度较高，近似为Ｏ（Ｎ２ｔＮｒ ＋Ｎ２ｔＮＲＦ ＋Ｎｔ ＮＲＦｔ Ｎｓ ＋（ＮＲＦｔ ） ２ Ｎｓ ＋Ｎ３ｔ）。

在Ｍａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统中，由于Ｎｔ ＞Ｎｒ -ＮＲＦ，算法的复杂度与Ｎｔ 天线数量相关度最强。为了更清晰地展示以上分析结果，并且突出Ｎｔ 和ＮＲＦｔ 对复杂度的贡献，除去共有的Ｎ２ｔＮｒ 部分，本文将算法复杂度总结如表２ 所示。

此外，本文也给出了几种算法的单次运行时间与发射天线数量之间的关系，如图５ 所示。由图５可以看出，各种算法的单次运行时间随着天线数量的增加而增加，本文ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ 算法运行时间最短，表明该算法的复杂度最低。

４． ３ 算法性能分析

仿真１：当ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ ＝ ４，Ｎｓ ＝ ｛１，２，４｝时，图６ 和图７ 分别给出了ＵＰＡ 配置为６４ ×１６ 和１４４ ×３６，全数字预编码、ＯＭＰ 和基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法在传输不同数据流时系统频谱效率与信噪比的关系。

由图６ 可以看出，随着信噪比的增加，４ 种算法的系统频谱效率都响应随之增加。当传输数据流较小时，４ 种算法并没有明显的性能差异，但是随着Ｎｓ的增加，４ 种算法的性能差异随之增加。

相比较于ＯＭＰ 算法，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能更优。这是因为本文所提算法，对ＯＭＰ 算法中存在的迭代次数过多和矩阵求逆复杂２ 个缺点进行了改进，优化了算法性能。同时，由图６ 和图７ 对比可以发现，当天线阵列配置从６４×１６ 增加为１４４×３６ 时，频谱效率有明显提升，这也验证了ＵＰＡ 天线阵列的性质。

此外，由图６ 和图７ 可以发现，当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量与传输数据流数量相等时，所提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，为了寻找具体原因和进行验证，在仿真２ 中对该情形进行了仿真和分析。

仿真２：当Ｎｓ ＝ ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ ＝ ｛１，２，４｝，图８ 展示了配置为１４４×３６ 的ＵＰＡ 天线阵列中，４ 种预编码算法系统频谱效率与信噪比之间的关系。

由图８ 可以看出：① 随着信噪比的增加，４ 种算法的频谱效率都随之增加；② 在ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 与数据流数相等情况下，当传输单数据流时ＯＭＰ 算法和Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能相同，但随着数据流的增加，即当数据流大于１ 时，４ 种算法之间的性能差异变得较大，且传输的数据流越大，系统频谱效率提升的效果越明显；③ 当Ｎｓ ＝ ＮＲＦｔ ＝ ＮＲＦｒ 时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始终低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ，说明ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ算法更适合传输ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量与数据流相等的这种情形，这启发了本文对传输的数据流数、ＲＦＣｈａｉｎｓ 对系统性能影响的探讨。

此外，几种算法的系统频谱效率都随着数据流的增加而有所提升，说明本文所提出的基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合预编码算法更适合于传输多数据流的情况。

仿真３：从上面的仿真结果可以发现，ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ数量与数据流数之间的关系对系统性能有一定影响。因此，基于仿真２，本文研究了在相同信噪比情况（ＳＮＲ ＝ ０ ｄＢ）时，４ 种预编码算法的频谱效率随ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量和传输数据流数量变化的情况，如图９ 所示。

由图９ 可以看出：① 当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量大于传输数据流数量时，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能始终优于ＯＭＰ 算法和ＰＥ-Ａｌｔ 算法；② 随着ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ数量的增加，４ 种算法的频谱效率随之增加，这是由于ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量越多，可以提供更多的分集增益，获得更高的频谱效率，且Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的系统性能随着ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的增加更接近于全数字预编码的性能；③ 当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量等于数据流时，在传输的数据流较小时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始终低于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，而当传输的数据流较大时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法性能始终高于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法。

此外，当ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量比传输的数据流数量多１ 时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能就优于ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法，这是因为在传输数据流较大时，多出的一根射偏链路提供了额外的分集增益，且给系统保留冗余空间，即ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 路数量满足Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜２Ｎｓ时，可以实现性能和功耗的折中。同时，Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法的性能随着ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 的增加越来越趋近于全数字预编码算法。

仿真４：为了验证所提算法的有效性，在Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜ ２Ｎｓ 情况下，对Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法与ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ、ＯＭＰ 及全数字预编码算法进行对比分析，如图１０ 所示。

由图１０ 可以看出，在低ＳＮＲ 情况下，几种算法的性能接近，没有较大差异；随着ＳＮＲ 的增加，几种算法的性能逐渐表现出差异，所提出的算法性能始终优于ＯＭＰ 算法和ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法。此外，随着数据流与ＲＦ Ｃｈａｉｎｓ 数量的增多，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ的混合预编码算法比ＯＭＰ 和ＰＥ-ＡｌｔＭｉｎ 算法在性能上提升的更多，但与最优全数字预编码算法之间还有一定差距。

５ 结束语

本文针对卫星网络中全连接结构的ｍｍＷａｖｅＭａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统，研究了针对单用户场景的混合预编码算法。首先，介绍了星地链路ｍｍＷａｖｅＭａｓｓｉｖｅ ＭＩＭＯ 系统模型和信道模型；然后，针对ＯＭＰ 算法的不足，提出了一种基于ＯＭＰ 的改进算法ＩｍｐｒｏｖｅｄＯＭＰ，通过选取天线阵列响应矩阵中最优的前ＮＲＦｔ 列向量求解模拟预编码矩阵ＦＲＦ，同时以逼近目标函数为准则求解数字预编码矩阵ＦＢＢ ；最后，通过计算机仿真对本文所提出的Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 算法进行性能评估，结果表明在Ｎｓ ＜ＮＲＦｔ ＜２Ｎｓ情况下，基于Ｉｍｐｒｏｖｅｄ-ＯＭＰ 的混合预编码算法在系统性能上更优，且具有更低的计算复杂度。

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作者简介

胡家荣 男，（１９９４—），硕士研究生。主要研究方向：智能通信、预编码。

（*通信作者）李伊陶 男，（１９９１—），博士，副教授。主要研究方向：天空地一体化网络、智能通信等。

熊兴中 男，（１９７１—），博士，教授。主要研究方向：人工智能、物联网技术、无线通信技术等。

基金项目：四川省科技厅项目（２０２３ＮＳＦＳＣ１９８７）；人工智能四川省重点实验室开放基金（２０２１ＲＺＪ０１）；四川轻化工大学研究生创新基金（Ｙ２０２１０５５）