借集合之石攻充分条件和必要条件之玉

充分条件和必要条件作为高中数学的重要知识点，同时也是数学推理的重要依据，所涉及题型是难点，也是易错题型．在判断充分条件和必要条件时，包含了充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件和既不充分也不必要条件四种结果．本文基于多年的教学经验，对充分条件和必要条件相关题型进行梳理，借助集合关系将问题转化为取值范围问题，使问题具体化，以期帮助读者轻松快速求解此类问题．

１ 集合中的充分条件和必要条件

对于命题p 和q，若p ⇒q，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件;若p⇒q，且q ⇒/p，则p 是q的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件;若p⇔q，则p 与q 互为充要条件．

在集合中，设两个集合A 和B，若集合A 是集合B 的真子集，即A ⫋B，则有x∈A ⇒x∈B，也就是说“x∈A”是“x∈B”的充分条件，“x∈B”是“x∈A ”的必要条件．受此启发，若把集合A 看作一个命题，集合B 也看作一个命题，则当A ⫋B 时，A 是B 的充分不必要条件，B 是A 的必要不充分条件;当A ＝B 时，A与B 互为充要条件;当A 不包含于B，且B 不包含于A 时，A 与B 互为既不充分也不必要条件．

例１ （２０２０年天津卷２）设a∈R，则“a＞１”是“a２＞a”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析

根据上述的思想方法分析，设命题p 为a＞１，命题q 为a２＞a，而由不等式a２＞a，解得a＜０或a＞１，故命题q 可转化为a＜０或a＞１，所以p⇒q，且q ⇒/p，则p 是q 的充分不必要条件，故选A．

点评

这种题型体现数学核心素养中的数学抽象，通过上面的例题，不难发现利用这种思想方法解决这类问题的一般步骤：第一步，根据已知条件定好“元素”，这个“元素”是两个命题主要围绕的方面，前后要统一;第二步，设集合，两个命题涉及的“元素”各为一个集合;第三步，对集合进行化简，将两个集合化为最简形式;第四步，根据“小推大”确定关系，要根据元素明确两个集合之间的关系;第五步，下结论，即根据集合关系下结论．

２ 解题思想

充分条件和必要条件就是在集合的基础之上进行学习的，现在把这个问题放在集合问题上来讨论，相当于是回归基础．经过梳理发现，充分条件和必要条件题型均可以转化为取值范围的问题处理，即“小范围推大范围”，故在解决充分条件和必要条件问题时，030511e0a49b8116b7cfeb916acdfe9b只需要将问题研究的对象转化为一个统一方向的取值范围问题，再由“小范围推大范围”下定结论即可．

例２ （２０２３年全国甲卷理７）“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

由sin２α＋sin２β＝１，可得sin２α＝cos２β，即sinα＝±cosβ，所以α＝kπ＋π／２±β（k∈Z）．由sinα＋cosβ＝０，可得sinα＝－cosβ，即α＝２kπ＋３π／２±β（k∈Z），所以sinα＋cosβ＝０⇒sin２α＋sin２β＝１，但sin２α＋sin２β＝１⇒/cosα＋cosβ＝０，故选B．

点评

该题是三角函数问题，对命题进行化简后，不妨设

A ＝{α|α＝kπ＋π／２±β，k∈Z}，

B＝{α|α＝２kπ＋３π／２±β，k∈Z}，

很明显有B ⫋A ，所以“sin２α＋sin２β＝１”是“sinα＋cosβ＝０”的必要不充分条件．将原问题转化为集合之后，抽象问题具体化了，但其关键是要认定统一研究方向，即转化为同一类元素的集合．

３ 应用举例

经分析总结，考查充分条件和必要条件的题型主要有两类：一类是基本知识、概念、推理和定理，这类问题只要基础牢固，记住相关概念、定理和推论即可;另外一类是知识的应用，则可以利用本文提供的思想方法求解，该方法既快速又准确．下面将这一思想推广到其他知识与充分条件及必要条件相结合的情况．

３.１ 基础题型

例３ （２０２３年北京卷８）若xy≠０，则“x＋y＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

由xy≠０，以及yx ＋xy ＝－２，可得y２＋x２／xy ＝－２，即（x＋y）２ ＝０，所以“x ＋y ＝０”是“y／x ＋x／y ＝－２”的充要条件，故选C．

点评

该题型是对一些基础知识的直接考查，求解这类问题不需要过多解题技巧和策略，根据基础知识可以将题设中的两个命题进行化简，然后再根据集合关系判定结论即可．

３.２ 对知识的融合应用

１）与不等式相结合

例４ 对于实数a，b，“a＜b＜０”是“b／a ＜１”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

设命题p 为a＜b＜０，命题q 为b／a＜１．命题q可化为当a＜０时，a＜b，当a＞０时，a＞b．根据“小范围推大范围”，p⇒q 且q ⇒/p，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A．

２）与函数相结合

例５ “函数y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函数”是“实数a＞３”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

设命题p 为函数y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函数，命题q 为实数a＞３，因为函数y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函数，则当x ∈（０，１）时，y′≥０恒成立．因为y＝－x３＋ax，所以y′＝－３x２＋a．设g（x）＝－３x２＋a，则函数g（x）的图像是开口向下且对称轴为x＝０的抛物线，所以g（x）＝－３x２＋a 在（０，１）上单调递减，故gmin（x）＝g（１）＝－３＋a，则－３＋a≥０，解得a≥３．此时p 为{a|a≥３}，q 为{a|a＞３}，则根据“小范围推大范围”，有q⇒p，且p⇒/q，所以“函数y＝－x３＋ax 在（０，１）上是增函数”是“实数a＞３”的必要不充分条件，故选B．

３）与数列相结合

例６ （２０２３年全国Ⅰ卷７）记Sn 为数列{an }的前n 项和，设甲：{an }为等差数列;乙：{Sn／n }为等差数列，则（ ）．

A．甲是乙的充分不必要条件

B．甲是乙的必要不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

解析

对于甲，设数列{an}的首项为a１，公差为d，则{an}的前n 项和Sn ＝na１＋n（n－１）d／２ ，故Sn／n ＝a１＋（n－１）d／２．对于乙，{Sn／n }为等差数列，不妨设首项为p，公差为q，则Sn／n ＝p＋（n－１）q，即Sn ＝np＋n（n－１）q，所以甲是乙的充要条件，故选C．

４）与向量相结合

例７ （２０１７年北京卷文７）设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

“存在负数λ，使得m ＝λn”，说明向量m 与向量n 的方向相反，即两个向量的夹角为π．而根据向量数量积的定义，由“m ·n＜０”得到向量m与向量n 的夹角取值范围是（π／２，π]，所以该题应该以两个向量m 与n 的夹角为元素．显然，π∈（π／２，π]，所以“存在负数λ，使得m ＝λn”是“m ·n＜０”的充分不必要条件，故选A．

５）与三角函数相结合

例８ （２０２０年北京卷９）已知α，β∈R，则“存在k∈Z 使得α ＝kπ＋ （－１）kβ”是“sinα ＝sinβ”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

该题是充分条件和必要条件与三角函数相结合的题型，题目看似比较复杂，但是从两个命题看，可以看作以角α 和β 的关系为元素的集合．设集合A 为“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－１）kβ”．

因为k∈Z，所以当k 为偶数时，有

α＝２nπ＋β（n∈Z），

即α 与β 是终边相同的角．

当k 为奇数时，有

α＋β＝（２n－１）π（n∈Z）．

设集合B 为“sinα＝sinβ”，由sinα＝sinβ，可得α＝２nπ＋β（n∈Z）或α＋β＝（２n－１）π（n∈Z），所以有A ＝B，则“存在k∈Z 使得α＝kπ＋（－１）kβ”是“sinα＝sinβ”的充要条件，故选C．

６）与立体几何相结合

例９ （２０２０年浙江卷６）已知空间中不过同一点的三条直线m ，n，l，则“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 两两相交”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

根据题意，两个命题所讲的是三条直线m ，n，l 的位置关系，故可以把两个命题看作两个以三条直线m ，n，l 的位置关系为元素的集合．设“m ，n，l 在同一平面”为集合A ，则A 的元素包括m ，n，l 两两相交;m ∥n∥l，且共面;在m ，n，l 中，其中有两条直线平行，剩下的一条直线与这两平行直线相交．设“m ，n，l 两两相交”为集合B，则B ⫋A ，所以“m ，n，l 在同一平面”是“m ，n，l 两两相交”的必要不充分条件，故选B．

７）与对数、指数相结合

例１０ 设a，b 都是不等于１的正数，则“３a ＞３b＞３”是“loga３＜logb３”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

该题型实质和不等式一样，由“３a ＞３b ＞３”得a＞b＞１，由“loga３＜logb３”得０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b，从取值范围来说，０＜b＜a＜１或１＜b＜a 或０＜a＜１＜b 的范围比a＞b＞１大，则“３a ＞３b＞３”是“loga３＜logb３”的充分不必要条件，故选A．

８）与复数相结合

例１１ 设z１，z２∈C，则“z１，z２ 中至少有一个数是虚数”是“z１－z２ 是虚数”的（ ）．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析

设“z１，z２ 中至少有一个数是虚数”为集合A ，则集合A 的元素包括z１ 为实数，z２ 为虚数;z１ 为虚数，z２ 为实数;z１，z２ 均为虚数．设“z１－z２是虚数”为集合B，则集合B 中的元素包括z１ 为实数，z２ 为虚数;z１ 为虚数，z２ 为实数;z１，z２ 均为虚数，但虚部不相等．由此可知B ⫋A ，所以“z１，z２ 中至少有一个数是虚数”是“z１－z２ 是虚数”的必要不充分条件，故选B．

４ 小结

以上从不同的知识方面对方法进行推广应用，体现不同方式的转化方法，虽然不是所有这种题均能直接或转化为取值范围的问题来解决，但是梳理发现这种题目可以分为两类：一类是考查不同知识的基础，这类问题按照定义和定理进行推理就可以了，如２０１８年浙江卷第６题，考查立体几何中的线面平行的判定定理;另外一类就是考查对各个知识的理解和应用能力问题，这类问题可以用本文的方法解决．总而言之，解决这类问题的一般思想：一是题型识别，判断题目是不是考查基本定义、定理和推论，如果是，就根据相关知识判断即可;二如果考查的不是基本定义、定理和推论，那就按照提供的思想进行，找好集合的元素;三就是根据已知求出两个命题中确定的元素的取值范围;四是根据“小范围推大范围”确定关系，再根据集合关系下结论．

本文虽然只列举了部分不同知识与充分条件及必要条件相结合的题目，但是其他知识方面也是一样的情况，将命题转化为集合，利用集合关系判断充分条件和必要条件．求解这类问题的关键就是要准确地定好“元素”，把“元素”定好就可以将原问题完全转化为集合关系问题，则问题就具体化了．但也不能随意定“元素”，要根据题目要求和已知条件来定，两个集合所包含的“元素”应该是同一类．

综上，借集合之石攻充分条件和必要条件之玉，即利用集合思想求解与充分条件和必要条件有关的题目，思路更清晰、解题速度更快、准确率更高．

（完）