数列通项公式解法探究

【摘要】数列是高中数学教材选择性必修第二册第四章的重要内容，求解数列的通项公式是学习这部分知识的重点和难点，常用的方法主要有：递推关系法，累加法，累乘法，定义法（适用于an+1=anf（n）），数学归纳法等，而本文介绍的方法是以教材课后阅读与思考的“斐波那契数列”为模型，用二阶常系数线性齐次递归方程an+p1an－1+p2an－2=0求解数列的通项公式.以数学教材为本，以高考试题为范，结合“斐波那契数列”模型，介绍另外一种新的解法——特征值法，以拓展解题思路，更好的理解数列的本质和规律，同时增强数学教材的引领作用，提升数学学科核心素养.

【关键词】 数列；通项公式；斐波那契数列

1 知识溯源（数学教材选择性必修第二册P10）

意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘全书》中收录了一个有意思的兔子繁殖问题：

如果1对兔子每月能生1对小兔子（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后第3个月里，又生下1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少兔子？100个月后呢？

并且得到如下规律：

从第1个月开始，每月末的兔子总对数是

1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144 ……

如果用Fn表示第n个月的兔子总对数，可以看出，

Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.

这是一个由递推公式给出的数列，称为斐波那契数列.可以发现：斐波那契数列的后一项是前两项之和.

在实际的数学问题中，我们经常会遇到类似“斐波那契数列”模型的题型，并且所要求的项数很大，如果用递推的方式求解的话，就会变得很繁琐，计算量很大，这是不可取的，下面介绍的是求解“斐波那契数列”通项公式的一种新的方法：特征值法，并对斐波那契数列由Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）拓展到二阶常系数线性齐次递归方程an+p1an－1+p2an－2=0.

引理（特征值法）

求二阶常系数线性齐次递归方程an+p1an－1+p2an－2=0通解的主要思路是通过令an=xn代换，把上述方程转化为特征方程x2+p1x+p2=0.解此特征方程即得原方程的通解，对通解可分三种情况讨论：

①当Δ>0时，有两个相异的实根，x1=q1，x2=q2，则通解为：

an=c1q1n+c2q2n

②当Δ=0时，有两个相等的实根，x1=x2=q，则通解为：

an=c1+c2·nqn.

③当Δ<0时，有一对共轭复根，x1=r（cosθ+isinθ），x2=r（cosθ－isinθ），则通解为：

an=rn（c1cosnθ+c2sinnθ）.

这里的c1，c2为任意常数.利用这个引理和初始条件a1，a2我们很容易获得所求数列的通项公式.下面我从3个例子分别介绍这类数列问题的解法.

2 “斐波那契数列”通项公式

（2022·云南师范大学实验中学高三模拟）斐波那契数列an满足an+2=an+1+an，且a1=1，a2=1，求an的通项公式.

试题分析：题目已经明确an是斐波那契数列，且满足an+2=an+1+an，a1=1，a2=1，因此an符合“斐波那契数列”模型特点：Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）.并且可以看作

解法评析 特征值法是求解数列通项公式的重要方法，遇到有“斐波那契数列”特征的数列题型时，先观察题目条件是否符合Fn=Fn－1+Fn－2（n>2）的特点，如果符合，可以优先选用特征值法，按照引理中所介绍的解题步骤得到特征方程，结合初始条件a1，a2进行求解.这种方法可以快速地推导出数列的通项公式，从而更好地理解数列的性质和规律.

3 “an+1=2an+2an－1”型数列通项公式

（2023·江苏省灌云高级中学）已知数列an满足an+1=2an+2an－1（n≥2）.a1=0，a2=1.求通项公式an

试题分析：这个例题涉及同一个数列的相邻3项，并且已知初始条件a1=0，a2=1.如果我们用常规的递推法求解，会发现递推法太过繁琐，而且在猜想通项公式的过程中容易出错，而构造法需要以等差数列为基础依据，形式也十分复杂.结合题意条件，此题符合二阶常系数线性齐次递归方程an+p1an－1+p2an－2=0（p1=－2，p2=－2）特点，因此，可以结合上面的引理进行巧妙求解.

解法评析 在高中数学的学习过程中，数列主要分为两类：等差数列和等比数列，对于不规则数列（例：“斐波那契数列”模型）通项公式的求解方法讨论得比较少，而特征值法对求解这类数列的通项公式有很大的优势.数学知识呈现方式的多样性、解决数学问题方法的不唯一性和数学思维方式的开放性要求在学习数列这部分知识的过程中，要注重理解数列的本质，抓住二阶常系数线性齐次递归方程的特征，注重方法和技巧.

4 结语

这3个例子都有一个共性：涉及同一个数列的相邻三项，并且这三项具有和差系数关系，这都是“斐波那契数列”模型的拓展与推广.此外，“吃透教材”，首先要理解教材上的基本定义、概念，掌握例题的做题方法，课后完成练习务实基础知识.“超越教材”，在学有余力的情况下，不应拘泥于教材，根据自己的实际情况，进行课后阅读，对教材上阅读与思考部分进行延申，在增强学习能力，提升数学思维的同时激发学习兴趣和创新能力，做一个真正的数学学习者.

参考文献：

［1］吴华红.数列通项公式的求解策略[J].数理天地（高中版），2022，No.354（23）：19-21.

［2］潘敬贞，陈焕涛，张应楷.深度学习视域下的单元复习教学——以“构造常数列解决递推数列通项公式”单元复习教学为例[J].高中数学教与学，2023，No.518（02）：37-40.

［3］周志鹏.续说“斐波那契数列”[J].中学生数学，2023，No.699（03）：31-32.

［4］高焕江，高菲.斐波那契数列及其性质[J].数学通讯，2020，No.841（20）：40-42.