在关联与思辨中感悟运算的一致性

赵丽芳

【摘   要】基于学习路径对“分数加减法”进行单元整体教学分析，然后引导学生运用直观模型，通过将异分母分数转化为同分母分数，可以实现相同分数单位的加减运算。这样的学习过程有助于学生理解异分母分数加减法的算理，从而进一步认识到分数和整数、小数在数的意义和运算上的一致性。

【关键词】分数加减法；算理理解；运算的一致性

基于学习路径对“分数加减法”进行单元整体教学分析，可知本单元的核心目标是“理解分数加减法的算理，掌握算法，发展运算能力”。对学生学习起点的分析表明，学生已经熟练掌握同分母分数加减法，且大部分学生已能将异分母分数加减法转化为同分母分数加减法进行计算。然而，学生仅意识到可以利用通分使计算更加简便，或通过模仿进行简便计算，而不能解释“为什么分母不同就不能直接相加减”的算理。因此，在教学过程中，教师需重点引导学生理解异分母分数加减法的算理，即通过转化为同分母分数，实现相同分数单位相加减。同时，使学生明确同分母分数加减法的本质为“求相同分数单位个数的加减”，进而认识同分母分数加减与异分母分数加减的一致性，并通过与整数、小数加减法进行比较，揭示其运算本质上的一致性。

一、回顾旧知，深入探究同分母分数加减法的算理

学生在三年级时已学习过同分母分数加减法，但主要通过图形直观表征来理解算理，尚未真正认识同分母分数加减法的本质，即相同分数单位个数的加减。通过数形结合和对比辨析，唤醒学生对同分母分数加减法算理的记忆，并深入探究其本质，能够为他们后续学习异分母分数加减法奠定坚实的基础。

（一）直观阐释，明确同分母分数加减法的算理

对学生而言，分数概念往往比整数概念更为抽象。因此，需借助直观模型（数线、面积模型、集合等）来帮助学生深化理解，为学生提供丰富的学习体验，并将学生的思维可视化，使他们能够从多个角度深入理解同分母分数加减法的算理。在前测中，教师要求学生用自己的方式表征同分母分数加减法的算理，以唤醒他们已有的知识经验，并了解他们对同分母分数加减法算理的理解程度。

【教学片段1】

教师出示前测材料（如图1）。

师：这四名同学的方法都解释清楚了为什么“[ 38+18 ]”会得到“[ 48 ]”。那么，数形结合的三种方法（圆形、长方形、线段图）之间有什么共同点呢？

生：它们都是先表示出3份，再加上1份，就变成了4份。

生：它们都是在3个[ 18 ]的基础上加上1个[ 18 ]，变成4个[ 18 ]，也就是[ 48 ]。

（经过交流，学生达成共识：这些方法都是把东西平均分成8份，取这样的3份，与1份进行合并。由于平均分的份数始终没有变，所以分母保持不变，即分数单位相同。）

在这一教学环节，学生能借助直观模型表征运算，但对于运算前后的逻辑和原理，部分学生并未形成清晰的认知，一旦脱离直观模型，就难以清晰阐述算理。这表明他们尚未真正掌握同分母分数加减法的本质，即相同的分数单位进行累加或相减。

（二）对比辨析，揭示同分母分数加减法的本质

为了使学生深入领会同分母分数加减法的算理，教师需引导学生对不同的同分母分数加减算式进行对比辨析。学生通过不断寻找证据与思辨，逐步修正自己的理解，并达成共识，即只有相同分数单位的数才能直接相加或相减。这样的对比辨析不仅为算法提供了理论依据，而且使算法本身更加具体，更具有操作性。由此，学生在这一过程中所获得的算法，不再是枯燥的文字法则，而是基于深刻计算体验形成的智慧结晶，从而帮助他们更加牢固地掌握同分母分数加减法的本质。

【教学片段2】

让学生在“[ 38+18 ]=3个[ 18 ]+1个[ 18 ]=4个[ 18 ]=[ 48 ]”的基础上继续想象：除8以外，分母还可以是多少？表示什么意思？

生：[ 39+19 ]=3个[ 19 ]+1个[ 19 ]=4个[ 19 ]=[ 49 ]，表示把一个正方形平均分成9份，先取这样的3份即3个[ 19 ]，再取1份即1个[ 19 ]，合起来就是4个[ 19 ]，即[ 49 ]。

生：[ 311+111 ]=3个[ 111 ]+1个[ 111 ]=4个[ 111 ]=[ 411 ]，表示把一条线段平均分成11份，先取这样的3份即3个[ 111 ]，再取1份即1个[ 111 ]，合起来就是4个[ 111 ]，即[ 411 ]。

……

生：还可以用字母a（a不能为0）表示，[ 3a+1a ]=3个[ 1a ]+1个[ 1a ]=4个[ 1a ]=[ 4a ]，表示把一个物体平均分成a份，先取这样的3份即3个[ 1a ]，再取1份即1个[ 1a ]，合起来就是4个[ 1a ]，即[ 4a ]。

（经过交流思辨，学生达成共识：只要单位“1”被分成的份数相同，即分母相同，那么各自取的份数就可以直接相加或相减。这正是同分母分数加减时，分母保持不变，而分子进行加减的原理所在。）

本教学环节通过多次举例和思辨，让学生进一步巩固“相同分数单位个数的加减”的算理，从而在新旧知识之间搭建起稳固的桥梁。这不仅为学生后续学习异分母分数加减法奠定基础，还为他们理解“为何异分母分数进行加减需要转化为同分母分数，即统一分数单位”提供依据。

二、自主探索，明确异分母分数加减法的算理和算法

在教学中，为了体现异分母分数转化为同分母分数的必要性，教师应鼓励学生自主提出问题、分析问题和解决问题，自主探究异分母分数加减法的算理与算法，从而深化对算理的理解，提高自主学习及解决问题的能力。

（一）诠释转化，剖析异分母分数加减法的算理

理解异分母分数加减法算理的关键在于领悟转化思想，其要点是将异分母分数转化为同分母分数进行计算。为此，需引导学生运用面积模型、线段图等进行多元表征，深入剖析运算过程与结果，从而加深学生对异分母分数加减法算理与算法的理解。

【教学片段3】

1.引发提问，自主探究

根据[ 3a+1a=4a ]（a不能为0）可知，分数单位相同时，分子的个数可以直接相加。由此引发学生思考：分数单位不同的分数相加该怎么计算呢？

教师出示学习单，让学生先独立探究，再小组交流。

（1）在算式[3（  ）+1（  ）=] 中填入不同的大于0的数（建议不要大于10）。

（2）尝试计算，并说说为什么这样算（可以用画图等方法进行说明）。

2.对比辨析，感悟算理

（1）交流两类算式

◆第一类：转化为小数来计算，如[ 34+12 ]。

生：0.75+0.5=1.25。

生：我是利用画图来说明计算过程的。将[ 34 ]和[ 12 ]转化为分母相同的分数，就可以直接相加。因为2和4的最小公倍数是4，所以将[ 12 ]转化为[ 24 ]来计算，即3个[ 14 ]+2个[ 14 ]=5个[ 14 ]=[ 54]（如图2）。

图2

师：观察这两种方法，它们有什么共同点吗？

生：我发现这两种方法其实都是将不同的分数单位转化为相同的分数单位后再相加。第一种方法大家都懂；第二种方法是将[ 12 ]转化为[ 24]，这样它就和[ 34 ]的分母相同了，而同分母分数相加我们已经会算了。

◆第二类：分母不是倍数关系，至少有一个加数不能化为有限小数，如[ 34+16 ]。

生：我最先想到的是24是4和6的积，但这样画图太复杂。我就想到它们的最小公倍数是12，所以可以把[ 34 ]转化为[ 912 ]，把[ 16 ]转化为[ 212 ]来计算，这样就可以得出：9个[ 112 ]+2个[ 112 ]=11个[ 112 ]=[ 1112 ]。

生：我是取两个分母的最小公倍数来作为公分母，先通分再计算，即[34+16=912+212=1112 ]。

（2）方法异中求同

师：观察这几种不同情况，你们有什么感想？

生：它们都是通过把分数转化成相同计数单位的数来计算的。

生：我发现转化为小数的方法有时无法使用，但通分的方法却总是可行的。

师：通分时，为什么同为[ 34 ]，在[ 34+12 ]中不用转化，在[ 34+13 ]中却要转化为[ 912 ]？

生：是否需要转化要看另一个分数的分数单位，将分数转化为两个分数单位的公倍数即可直接相加减。

在学生理解异分母分数加法的算理与算法后，直接让他们讨论减法该怎么计算，并编制两道减法算式让同桌完成，要求说出其中一道的计算理由。最后在交流展示中，引导学生明晰算理，并强调将分数转化为两个分数单位的最小公倍数来计算最为方便。

（二）类比提炼，掌握异分母分数加减法的算法

在深入理解异分母分数加减法的算理后，教师要着重引导学生通过类比迁移的方式提炼算法。首先，让学生回顾同分母分数加减法的运算过程，使他们明确这种算法是在分数单位相同的前提条件下进行的。接着，引导学生思考：异分母分数的分数单位不同，如何能够直接进行加减运算呢？经过思考，学生认识到通分是解决这一问题的关键。通过通分，将异分母分数转化为同分母分数，确保分数单位一致，从而顺利地进行加减运算。在这一过程中，学生不仅迅速掌握了异分母分数加减法的算法，还在类比迁移中深化了对算法背后数学逻辑的理解。

通过类比迁移的方式，学生不仅能够巩固已学知识，还能够拓展新知，构建完整的知识体系。同时，这种学习方式也培养了学生的类比推理能力和迁移应用能力，为他们未来的数学学习奠定了坚实的基础。

三、纵向贯通，感悟整数、小数和分数加减法运算一致性

在深入探究异分母分数加减法的算理与算法之后，教师应进一步引导学生纵向探寻整数、小数和分数加减法运算之间的一致性。通过精细的对比，学生逐渐认识到，无论是整数、小数还是分数，在进行加减运算时，都遵循共同的数学原理，即对相同计数单位的个数进行加减。这一数学原理的理解，不仅强化了学生对分数加减法运算的掌握，更完善与丰富了他们的数运算知识体系。

【教学片段4】

师：刚才在填写算式[3（   ）+1（   ）= ]时，大家举出了[34+12]的例子，并发现计算时把它转化为同分母分数[ 34+24 ]就可以直接相加。那么，大家思考一下，在算式3个（  ）+1个（  ）中还可以填什么？

生：可以填3个（10）+1个（10）=30+10=40。

生：3个（0.1）+1个（0.01）=0.3+0.01=0.31。

……

（经过交流，学生达成共识：整数、小数、分数的加减计算方法相同，都是相同计数单位个数的加减。）

通过这一教学环节，学生不仅更加熟练地掌握了各种数的加减运算方法，还从更高的角度审视和理解了数学运算的本质。他们开始意识到，数学并不是一个个孤立的知识体系，而是一个相互联系、相互渗透的整体。这种纵向贯通的思维方式，不仅有助于提升学生的数学素养，还能够培养他们的综合能力和创新思维，为他们未来的数学学习和发展奠定坚实的基础。

参考文献：

［1］章勤琼，阳海林，陈肖颖.小学数学教学中的表现性评价及其应用［J］.课程·教材·教法，2021，41（3）：83-89.

［2］林祎珣.打造多元场域，生成说理课堂：以“异分母分数加减法”为例［J］.数学教学通讯，2022（19）：81-82.

［3］于正军.知识建构：从“儿童现实”出发：《异分母分数加、减法》教学与思考［J］.教育视界，2022（11）：37-40.

（浙江省杭州市奥体实验小学）