经历情境数学化 感悟建模一般化

陈晓茵

【摘   要】“正方形拼摆问题”是探讨“周长与面积”关系的基础。以“正方形拼摆问题”为研究对象，设计相关测评工具，在此基础上制订相应的评估量表，划分学生数学建模力的水平层次，并通过实证分析，提出了“经历情境数学化”“感悟建模一般化”的相关教学改进对策。

【关键词】数学建模力；正方形拼摆问题；周长与面积

作为探讨“周长与面积”关系的基础，“正方形拼摆问题”被安排在人教版教材三年级上册“长方形和正方形”单元中。教材以纯数学问题为载体，引导学生尝试用16个小正方形进行拼组，结合计算、对比和说理等活动，得出“4×4”拼出的图形周长最短，并初步归纳出“所拼图形最接近正方形（长与宽最接近）时周长最短”的模型。这一学习过程为学生后续学习周长与面积的意义联结、关系联结奠定了基础。在学生掌握面积概念、学习圆之后，再引导学生探讨“如何拼组周长最短”的模型，进而转向“面积与周长关系”的相关模型，如“等面积图形，形状越接近正方形，周长越短”“等周长围成的正多边形，边数越多，面积越大”等，甚至可以拓展到“面积与体积关系”的模型。

可见，“正方形拼摆问题”是后续模型学习的基础，对于模型的建立、理解和应用具有重要意义，具体可以体现为数学建模力的表现。那么，三年级学生在解决此类问题时，表现出的建模力水平究竟如何呢？笔者以“正方形拼摆问题”为研究背景，进行了相应的测评分析与教学思考。

一、测评工具设计

本研究从“识别、简化、求解、应用”四个维度出发来设计“正方形拼摆问题”的测评工具，以实现对学生数学建模力的准确测评。

（一）问题情境

从下列绘画作品中选出12幅，制作成一个“绘画园地”，并在其四周贴上花边。怎样设计“绘画园地”，才能使贴的花边最短？

（1）你获取了哪些数学信息？需要解决什么数学问题？

（2）你打算怎样选择作品？如何设计？（画一画、算一算、写一写）

（3）如果12幅作品都换成圆形作品，你又会怎样设计？（画一画、写一写）

（4）木材加工厂接到一批订单，要订制一种由5张相片（尺寸：10厘米×15厘米）组合的木制相框，设计师给出了两个设计方案（如图1）。如果你是木材加工厂的老板，你会选择哪个设计方案？（想一想、写一写）

图1

（二）模型分析

要解决“用12幅作品设计‘绘画园地，并在其四周贴上花边，如何设计才能使贴的花边最短”这一实际问题，学生需识别与关联“作品形状”和“作品组合”两个关键要素，将实际问题简化为“如何拼组周长最短”的数学问题。在解决问题的过程中，学生会经历以下数学模型的构建过程。

模型1：仅能将12幅正方形作品拼成1×12或2×6的非周长最短的组合，只意识到图形组合后周长会缩短，但并不清楚“如何拼组周长最短”。

模型2：能将12幅正方形作品拼成包含周长最短情况在内的多种组合，并通过计算比较，得出3×4的组合周长最短。

模型3：能将12幅正方形作品直接拼成3×4的组合，或包含3×4在内的多种组合，并基于经验直接得出3×4的组合周长最短，具有初步的“所拼图形最接近正方形时周长最短”的模型意识。

模型4：能将12幅长方形作品拼成周长最短（2×6）的组合，并根据“12个正方形组合为3×4时周长最短”的结论，从图形替换的角度对“12个长方形如何拼组周长最短”进行解释说明，如用2个长方形纵向拼摆代替2个正方形横向拼摆等。

模型5：能将12幅长方形作品拼成周长最短（2×6）的组合，并能应用“所拼图形最接近正方形时周长最短”进行解释，具备初步的模型迁移应用意识。

模型6：能将模型迁移应用到圆形拼组的情境中，如将12幅圆形作品铺成周长最短（3×4）的组合，并能应用“所拼图形最接近正方形时周长最短”进行解释；同时，能将模型迁移应用到复杂情境中，如将包含长方形和正方形的12幅作品混合在一起，拼出周长最短的组合，并发现只要拼组后长是8分米、宽是6分米，即为周长最短的情况。

从模型1至模型6，代表在解决“正方形拼摆问题”的过程中，学生数学建模力层次从低到高逐渐上升。

二、评估量表及分析

（一）量表制订及总体数据统计

基于以上分析，本研究制订了相应的评估量表，从杭州市富阳区的三所小学中各选取一个三年级班级的学生，对他们进行建模力测评。本次测评共有119名学生参与，具体测评结果如表1所示。

综合分析可知，大部分学生具备一定的将实际问题识别和简化为数学问题的能力，并能应用所学知识进行求解，但在更高阶的“解释应用”层次中表现不佳。

（二）水平层次分析

为了使对建模力的评估更为精准，本研究对各水平层次进行了细化，并通过赋分对学生的建模力进行量化，具体分析如下。

1.识别能力整体水平较高，花边问题简化基础好

从统计数据可知，119名参加测评的学生在“识别理解”层次中的整体表现较好，赋分均值达到了2.29分。其中，能准确识别“作品形状”和“作品组合”两个关键要素，并基于此提出有关“周长最短”问题的学生占总人数的83.19%。这说明在面对周长问题这一现实情境时，绝大部分学生具备一定的识别能力。

2.同类问题简化水平较高，相近问题表征联结弱

“表征联结”层次的均值为1.46分，其中近54%的学生能基于“正方形”对问题进行简化，仅有30.25%的学生能基于不同形状简化问题情境。大部分学生难以提出不同形状组合“如何拼组周长最短”的数学问题。数据分析表明，学生对同类问题的简化水平较高，但对相近问题的表征联结较弱，高水平简化能力明显不足，这也将限制学生水平层级的提升。

3.求解能力峰值层级后移，最短周长模型类比难

“解答反思”层次的整体水平明显下降，均值降至1.12分。该数据再次凸显上一个水平层次所反映出的问题：高水平能力不足。结合统计数据可以发现，更多的学生只能基于教材中的“正方形拼组”进行求解，能将求解方法类比迁移到新形状的仅占总人数的10.08%。这说明学生较难将周长最短模型进行类比迁移，也很难为后续的高阶迁移应用提供动力。

4.应用能力高阶迁移无力，模型本质结构认识浅

“解释应用”层次的整体水平较低，均值仅为0.70分。其中，学生占比最高（30.25%）的能力水平，也只能实现对其他单一图形同类情境的简单迁移。当面临更高水平的迁移应用时，学生无法把握模型中“拼成形状”与“周长长短”之间的基本关系，难以在其他同类情境中进行正确的迁移应用。这表明学生对模型结构的本质理解不够深入，无法支持更高水平的迁移应用。此外，在应用模型解决现实问题“选择相框设计方案”时，大部分学生无法将“周长最短”与“木材最省”“成本最低”建立关联，说明学生的应用意识还有待提高。

三、教学启示

“正方形拼摆问题”建模力测评结果表明，学生对相关模型的识别能力、简化能力较强，但较高水平的迁移应用能力明显较弱，这为后续将该模型迁移应用到“图形周长与面积关系”的模型埋下了隐患。那么，如何提高数学建模力呢？主要可以从以下两方面入手。

（一）强调理解，经历情境数学化

在解决“正方形拼摆问题”的过程中，模型的构建最初是通过发现“边的重合”与“周长”的关系得到的。要让学生的认知从“一般拼组”进阶到“尽量拼组成正方形”，教学时就可以引导学生经历计算对比、说理反思和归纳总结的过程（如图2），从而关注模型的本质。

此外，人教版教材采用纯数学问题作为教学引入，而数学建模则更侧重从现实世界中识别数学要素和问题，通过解答进行说理，最终实现解释应用的过程。因此，在实际教学过程中，应关注从“现实情境”到“数学情境”的数学化过程。测评分析中所使用的“如何设计花边最短”情境便是适宜的载体。这一情境源于教材的课后练习，教学过程中可以将该情境简化为“如何拼组周长最短”，进而得出“所拼图形越接近正方形，周长越短”。然后回归现实情境，讨论“为什么要研究花边最短的问题”，引导学生意识到“花边长短（即周长长短）”与“材料用量”“成本花销”等之间的关联。最后，引导学生进行迁移应用，如“你觉得正方形拼组问题还能用来解决哪些问题？找找身边的例子”等。

像这样放大并引导学生经历完整的数学化过程，有助于学生在现实情境中感悟“周长”与“面积”的区别，同时让学生完整地经历“为什么学”和“学以致用”的过程，为提升学生建模力奠定基础。

（二）多维呈现，感悟建模一般化

测评结果显示，学生在面对与教材教学背景相似的题目时，大多能较好地完成初步模型的构建，但在处理其他同类情境的迁移应用时，则有较大困难。这可能是教学过程中所采用的素材呈现方式过于单一造成的。选用的组合图形无论是形状还是数量，基本都是固定的，这导致学生仅停留在“机械套用结论”的层面，无法实现“迁移应用模型”的目标。因此，在教学时要注重多维表征的呈现。

例如，在学生通过正方形拼组得到初步结论后，教师需进一步提问：“如果将正方形变成长方形，这个结论还成立吗？”引导学生提出猜想，然后运用多种方式进行验证、尝试说理，最终完善建模过程（可参考模型4至模型6的进阶过程）。这是一个“先立再破而后立”的循环过程。唯有如此，解决问题的一般化模型才算真正构建起来，而在此之前所得到的仅属于阶段性数学结论。此外，练习中也应呈现多维度的其他同类情境，为学生提供充足的机会以感悟一般化模型的应用。

具备较高数学建模水平的学生能够有效地搭建“数学世界”与“现实世界”的双向通道，构建两者之间的可逆关联。加强小学数学建模力的培养，有助于在课堂教学中真正落实“三会”核心素养。那么，在实际教学中，哪些“纯数学问题”更适合转化为“数学建模问题”？何种情境更有助于学生感悟“数学模型的普适性”？这些问题仍需一线教师在实践中持续探索与思考。

参考文献：

［1］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

［2］蔡金法，刘启蒙.读懂每一个学生：课堂评估的目的、设计、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022.

［3］葛素儿.数学联结力：内涵、价值与测评例举［J］.小学数学教师，2023（5）：5-9.

（浙江省杭州市富阳区银湖街道受降小学）