经历建模过程 形成模型结构

夏杭英

【摘   要】“乘法模型”是小学阶段数学学习的重要内容。教师以小学“价格问题”模型为例，设计测评工具，并进行实证分析，由此提出了“基于多元情境建构‘模型的结构、基于生活实践经历‘建模的过程”等教学策略，从而完善构建“乘法模型”的路径，促进学生数学建模力的不断提升。

【关键词】价格问题；数学建模力；乘法模型

小学数学建模力主要是指学生识别现实情境中的数学信息，运用文字、图表等形式建立信息之间的关联，以多元表征的方式解决问题，概括归纳一般化模型，并尝试迁移应用到一类问题的能力。学生的学习过程，实质上就是数学建模的过程。教师要让学生经历基于建模过程的学习，据此形成基于建模结果的结构，提升其数学建模力。

一、研究缘起

“乘法模型”是小学阶段数学学习的重要内容，其学习序列为“乘法意义—倍数模型—等量模型”。“单价×数量=总价”这一“价格问题”模型属于等量模型，人教版教材将其安排在四年级上册进行学习。这一模型看似简单，但在复杂现实情境下，理解起来也并不容易。为了调研学生在此类情境中的建模力，笔者以自己所教授班级的学生为样本，设计了以下情境：①门票每张售价35元；②节假日优惠，买3张送1张；③满100元返现10元；④8人共需花费多少钱？

调研结果显示，仅提供信息①与信息④，学生的解题正确率高达97%，但当加入信息②后，学生的正确率下降至51.1%。若将信息②替换为信息③，正确率更是低至24.4%。这是因为学生在面对现实生活中的复杂情境时，难以将其转化为已学过的数学问题，与“单价×数量=总价”这一价格模型建立一一对应关系。由此可见，学生的数学建模力有待提升。在数学建模的过程中，学生需要运用数学思想识别现实情境，采用数学思维解决现实问题。这既是一个数学模型普适化的过程，也是运用数学思维解决生活事务的较好体现。因此，笔者针对“价格问题”设计了测评工具，旨在探索完善“乘法模型”构建的路径，促进学生数学建模力的提升。

二、测评工具设计

在本研究中，笔者先让学生在现实情境中经历自主识别“价格问题”模型的过程，再根据建模过程的核心要素设计相应的测评工具。

（一）自主调研，认识现实情境与模型

《义务教育数学课程标准（2022年版）》倡导基于真实情境展开真实学习。让学生在熟悉的现实情境中开展调研，自主运用数学方法整理信息、数据，并据此进行分析判断，有助于他们认识并抽象出数学模型。针对“价格问题”，教师可引导学生去不同商场购物，并采用调研单识别与统计各商场的商品价格优惠模型。表1是学生通过调研得出的价格优惠模型。从表中数据来看，现实生活中的价格优惠模型主要包括“买几送几”“打折”“满几减几”和“没有优惠”四种。其中“买几送几”模型的占比最高，其次是“打折”和“没有优惠”。学生在“货比三家”后，能从中找出最优解决方案。

此调研活动旨在让学生自主识别生活情境中的价格优惠模型，而这些模型则可成为测评工具设计的主要依据。

（二）基于核心要素，设计测评工具

小学生的数学建模力始于对信息的识别理解，并经历由现实问题简化为数学问题的过程，在探索方法或规律后形成模型，最终应用到生活中。依据调研结果，笔者设计了以“价格问题”为情境的测评工具，具体如下。

四年级某班要举办新年联欢会，需购买4支钢笔作为奖品。下面是他们调查到的同一种钢笔的市场信息。他们在哪家商店购买最省钱？

[A商店：12元/支，买三送一。

B商店：9元/支。

C商店：15元/支，满1000元返现金500元。 ]

（1）你获取了哪些数学信息？需要解决什么数学问题？

（2）你怎么解决这个问题？写出你的思考过程及结果。

（3）学校三年级、五年级、六年级分别需购买钢笔21支、45支、82支，请协助他们选择合适的商店，并分别计算出所需花费。

（4）根据你的经验，你能解释这些优惠现象吗？如果你是商家，你会设计怎样的优惠方案？可以试着写一写。

此测评工具适用于小学四年级的数学学习，用以评估数学建模过程中的“识别理解、表征联结、解答反思、解释应用”等水平层次。

三、测评量规与实证分析

基于上述测评工具，笔者以杭州市富阳区某小学四年级一个班共35名学生为测试对象，展开了建模力测评。表2展示了根据建模过程制定的测评框架，以及学生建模水平的整体情况。

数学建模力的四个要素具备进阶性。从各水平层次学生赋分的均值来看，学生在数学建模力四个要素的水平层次上呈现从高到低的趋势，其识别能力与简化能力明显优于求解能力与应用能力。

（一）在识别理解方面表现优异，数学问题提出能力突出

评估识别理解水平旨在考查学生是否能识别生活情境中的关键信息，并从数学的角度理解其意义。测评结果表明，91.43%的学生在面对稍复杂情境时，能够从中筛选出数学信息，并根据“价格问题”的数量关系提出数学问题。就问题质量而言，除了“买4支钢笔一共要多少元”这样的求总价问题，有54.29%的学生还提出了“哪一家最省钱”等综合性较强的问题。由此可见，学生在面对生活情境时，能够构建正确的数量关系，进而提出恰当的数学问题。

（二）在表征联结方面表现出色，生活情境简化能力强

评估表征联结水平旨在考查学生能否运用图、表、算式等形式，将现实情境中的实际问题简化为数学问题，尝试初步构建数学模型。测评结果显示，80.00%的学生能够较好地完成这一简化过程。如图1所示，学生能通过画图理解“买三送一”的优惠活动，并正确计算在三家商店购买钢笔分别所需的花费，最终通过比对解决问题。这表明小学四年级学生的表征联结水平相当出色。

（三）在解答反思方面表现较弱，概括价格模型的能力不足

评估解答反思水平旨在考查学生是否能运用已有的知识、思维和方法解决问题，以及是否能对所提出的方案和结论进行说理、反思与归纳。这主要看学生能否运用“单价×数量=总价”的数量关系解决问题，并从数学角度进行解释与反思。由表2的数据可知，只有45.72%的学生能够正确解决问题，并采用如图2所示的方式进行解释。这说明这部分学生已初步具备“价格问题”的模型意识，但对于其他学生而言，这仍然具有一定的难度。

（四）在解释应用方面表现较弱，难以实现迁移应用

评估解释应用水平旨在考查学生是否能将问题归纳为一般化模型，并运用该模型解决同类问题，具备一定的迁移能力。如图3所示，对于A、B、C三种现象，仅有31.43%的学生能通过举例子进行解释并正确计算。同时，仅有25.71%的学生能自行提出某种商品的优惠措施并正确计算。由此可见，小学四年级学生在解释应用方面的表现总体较弱，大部分学生难以达到迁移应用水平。

综上所述，在“价格模型”的建构过程中，四年级学生在前三个阶段的表现尚可，但在第四阶段解释应用方面的水平较弱，两极分化现象较为严重。大部分学生仅止步于解释生活中的类似现象，迁移能力有待进一步提高。

四、反思与改进

从上述数据可知，学生在“价格模型”建构后两个水平层次上的表现有待提升。为此，在数学学习过程中，应将作为结构的模型与作为过程的模型融为一体，以促进学生建模力的提升。

（一）简化数学模型：基于多元情境建构“模型”的结构

作为结构的模型可理解为形成一般化的数量关系结构，即将现实问题简化为数学问题后，通过概括归纳得到普适性知识。教师可以借助生活中的多元情境，设计学习活动，让学生经历将“现实模型”简化为“数学模型”的过程，从而构建最简化的结构化“模型”。如图4所示，无论生活情境如何变化，价格问题始终是“单价×数量=总价”这一“价格问题”模型的变式。分别改变该模型中的三个要素，可形成三个不同的变式模型。教师可以让学生先通过调研罗列出所有现实模型，再引导学生将其简化为“单价×数量=总价”，以此构建一般化模型。

这一模型结构在后续学习中会进一步迭代。例如，在四年级下册乘法意义的教学中，聚焦“几个几相加的和”这一模型，将其进一步拓展为“1倍量×倍数=倍数对应的量”，然后在分数问题的解决中建构“单位‘1的量×分率=分率对应的量”这一模型，以及利率、纳税、折扣等相关变式问题。每一次迭代，教师都可以让学生将新知模型归类到乘法模型中，最终形成整体性的结构模型，实现数学建模力的进阶。

（二）实践中学数学：基于生活实践经历“建模”的过程

建构“模型”的过程，是学生形成“结构模型”的过程，也是学生经历知识“模型化”的过程。实践证明，在生活情境中运用数学可以丰富学生的数学化学习历程，帮助学生对现实情境形成结构化的理解，进而将大量的生活信息抽象为数学信息，与数量关系一一对应，再归类到同一模型中，构建作为结果的“结构模型”。

如针对“价格问题”这一模型，笔者设计了三个实践活动（如表3），让学生通过实践，经历整个学习与建模过程，促进现实模型与数学模型的反复转换，以帮助学生完善模型并对其进行拓展应用。

“商品价格调研”活动让学生经历对现实情境的数学化识别简化过程，在求解表征的过程中构建数学模型。“买卖”活动是对这一模型的具体应用，学生在“买卖”活动中迁移或创新价格模型，这同时也是对这一模型的反复检验。“数头发”活动是此模型迁移应用到其他情境中的一种尝试，更具挑战性。学生在这一系列活动中，不断重复“现实模型—数学模型—现实模型”的建立和转换，从而实现数学建模力的不断提升与进阶。

参考文献：

［1］蔡金法，刘启蒙.读懂每一个学生：课堂评估的目的、设计、分析和使用策略［M］.上海：上海教育出版社，2022：126.

［2］刘琳娜，刘加霞.数学建模思想在小学数学教学中的有效渗透［J］.小学教学（数学版），2018（7/8）：35-39.

［3］章勤琼，陈肖颖.小学数学模型意识的内涵、表现与教学：兼论核心素养的表现性目标［J］.课程·教材·教法，2024，44（1）：106-113.

（浙江省杭州市富阳区富春第八小学）