基于个性化学习的高中数学“思考力课堂”构建与实施研究

［摘 要］ 育人之本，在于立德铸魂. 尊重个体差异，开展个性化学习模式是我国数学教育发展的大趋势. 文章从两个核心概念出发，以“函数的零点与方程的解”为例，从“问题设疑，构建概念”“深入探索，导出定理”“辨析凝练，强化理解”“灵活应用，巩固提升”等方面展开教学，并具体谈谈如何在个性化学习的基础上构建思考力课堂.

［关键词］ 个性化；思考力课堂；教学

随着新课标的落地，课程改革进入了新阶段，个性化教育受到广大教育工作者的关注. 如何基于个性化学习，构建思考力课堂呢？此为笔者近期一直在探索的问题. 笔者在探索中发现，一个人的思维品质体现了他的智力与能力水平，每一个学生思维的深刻性、独创性、灵活性、敏捷性与批判性都有所区别，这就构成了客观存在的个体差异. 因此，笔者认为，教师应充分了解学情，在尊重学生个体差异的基础上展开个性化教育，构建思考力课堂，以促使学生在个性化学习中不断提升思维品质，发展数学学科核心素养.

核心概念概述

1. 思考力课堂

思考力课堂把发展学生的数学思维作为主要的教学任务，把培养学生的学科核心素养作为教学目标. 此类课堂以优化学生的思维品质、思维过程等作为教学设计方向，通过教学活动的开展有计划、有目的地推动学生类比分析、数学抽象、直观想象等素养的发展，促使学生形成良好的数学观与必备的关键能力与数学品格.

2. 个性化学习

个性化教育是指基于学生实际认知水平、兴趣爱好与能力偏好等特点展开的教学活动. 这种教育方式在充分尊重学生个体差异的基础上，将“立德树人”“促进个体全面发展”等目标渗透在教学实践中. 个性化学习是基于个性化教育理念的学习模式，学生在教师的引导下调动学习内驱力，培养良好的思维品质与学习习惯，通过课堂学习获得不同程度的发展.

教学过程设计

1. 问题设疑，构建概念

课堂伊始，要求学生自主阅读教材内容，感知高次代数方程求根需要经历一个怎样的过程. 仁者见仁，智者见智. 此问起点低，每一个学生都能根据自己的认知阐述一些见解. 在此基础上，教师再以如下两个问题启发学生思维.

问题1 分析方程x2-2x=3的根与函数f（x）=x2-2x-3的零点之间存在怎样的关系.

问题2 大家都知道类似于lnx+2x=6的方程无法直接应用求根公式求解，那么这一类方程可否类比问题1中的方程，通过对其相应的函数的分析来探索其根呢？

设计意图 阅读教材意在引发学生初步认识方程与函数之间的关系；设计问题1意在带领学生回顾方程根与函数零点之间的关系；设计问题2意在引导学生感知从具体到抽象的数学思维过程，为导出函数零点存在定理奠定基础. 不同认知水平的学生，通过此环节的思考与探索，都经历了由函数视角理解方程的过程，对函数与方程的灵活转化有了深刻印象，在渗透函数与方程思想的同时，还用到了转化与化归思想，这对提升学生的数学抽象能力具有重要作用.

2. 深入探索，导出定理

问题3 通过以上探索可知，方程是否有解，决定于相应的函数的零点是否存在. 以函数f（x）=x2-2x-3为例展开探索，该如何进行呢？

学生结合已有知识和经验，一致认为先画函数图象，再观察函数图象，探索零点附近函数值的情况.

问题4 若明确函数f（x）=x2-2x-3在［2，4］内存在零点，则该函数图象与坐标横轴之间存在怎样的关系？

问题5 函数f（x）=x2-2x-3在问题4中探寻到的关系，在区间［-2，4］内依然存在吗？

问题6 探索而来的这种关系，可否借助函数f（x）=x2-2x-3的取值规律进行描述？

为了解决上述问题，教师在此处设计了一个实践活动：用细线模拟函数图象.

活动要求：如图1所示，把细线的一端固定在点A处，另一端位于点B或点B′处，在不回折的基础上任意摆放细线，分析如下情况.

（1）若细线的另一端位于点B处，则细线在［a，b］内与坐标横轴存在的交点情况是怎样的？

（2）若细线的另一端位于点B′处，则细线在［a，b］内与坐标横轴存在的交点情况又是怎样的？

（3）若细线在［a，b］内与坐标横轴存在交点，则细线的另一端具备怎样的特征？

（4）若切断这根细线，上一问中所具备的特征是否依然成立？

设计意图 此为导出函数零点存在定理的过程，也是本节课的教学难点. 鉴于学生客观存有认知差异，教师通过由浅入深的问题，加上实操活动的开展，引发学生深入探索，逐步理解函数零点存在定理的本质.

此环节，若让学生自主绘制函数图象来提炼函数零点存在定理，对一些学生而言思维跨度过大，即使他们能自主完成，也鲜有学生会联想到分段函数. 由此，教师借助一个实操活动突破了这一障碍，确保每一个学生都能深入参与定义探索. 实操活动的趣味性增添了学生课堂学习的乐趣，课堂也因活动的介入而变得更加灵动. 在实操活动过程中，学生进一步深刻体验了函数图象在什么条件下必定会与坐标横轴有交点，其中问题（2）和问题（4）的探索，为后续揭露函数零点存在定理做铺垫.

由浅入深的问题让学生对函数图象与坐标横轴的交点有了深刻理解，同时明确图象连续不断的情况下，函数值与坐标横轴的关系. 课堂因问题的驱动而充满了思考力，学生在此过程中充分感知个性化学习的价值，这对发展数学运算与逻辑推理素养具有深远意义.

3. 辨析凝练，强化理解

问题7 若将上述问题一般化，你有什么收获？其中蕴含怎样的数学思想方法？

问题8 判断下列描述是否正确，若错误，举反例说明.

（1）在区间［a，b］上，如果函数y=f（x）满足f（a）f（b）<0，那么在该区间上函数f（x）必定存在零点.

（2）在区间（a，b）上，若函数y=f（x）存在零点，则能确定f（a）f（b）<0.

（3）在区间［a，b］上，明确函数y=f（x）的图象为一条连续曲线，同时f（a）f（b）>0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内必然不存在零点.

（4）在区间［a，b］上，明确函数y=f（x）的图象为一条连续曲线，同时f（a）f（b）<0，那么确定函数y=f（x）在区间（a，b）内必定存在唯一一个零点.

设计意图 问题7的提出，意在促使学生自主提炼特殊到一般数学思想，抽象函数零点存在定理；问题8的应用，让课堂辨析更有张力，学生思维更加发散、灵敏. 此为强化个性化学习能力的过程，也是构建思考力课堂的关键.

4. 灵活应用，巩固提升

例题 探索方程lnx+2x=6有几个实数解.

解法1 观察图象获得结论.

借助几何画板画出与该方程相应的函数f（x）=lnx+2x-6的图象，观察该图象确定方程lnx+2x=6只有1个实数解.

解法2 从函数的不同取值中探索该函数零点所处的区间.

令x=2，则f（2）=ln2-2<lne-2=-1<0；令x=3，则f（3）=ln3>0. 由于f（2）·f（3）<0，结合函数零点存在定理可确定在区间（2，3）内，函数f（x）=lnx+2x-6至少存在1个零点. 又f（x）=lnx+2x-6在定义域内为增函数，所以其在定义域内只有1个零点，即方程lnx+2x=6只有1个实数解.

解法3 应用转化思想探索.

如图2所示，将问题转化成函数h（x）=-2x+6的图象与函数g（x）=lnx的图象的交点问题来分析.

设计意图 例题的应用不仅拓宽了学生的视野，还进一步强化了学生的数学转化思想. 一题多解令不同认知水平的学生都能探寻到解题思路. 多种解题方法罗列在一起分析，让整个课堂充满了思考力. 随着解题思路的明确，学生获得了一种“拨开云雾见天日”之感，深刻体会到解决这一类问题该如何化繁为简，甚至有学生在解决完本题后提出“可缩小零点所在范围”的方法. 由此可见，例题的探索成功启发了学生的思维，推动了学力的发展，也为后续探索“二分法”夯实了基础.

思考与感悟

1. 角色转变是构建思考力课堂的基础

新课标引领下的数学课堂，须将学生视为课堂主人，每一个教学活动都以学生为中心而展开，这对教师的角色转变提出了较高要求. 传统意义上的课堂教学，常在教师的主导下推进，学生只是知识的接受者，这种模式难以从真正意义上促进学生个性化学习，更谈不上思考力课堂的构建. 当下的数学课堂在新课标的引领下，学生成为真正意义上的课堂主体，作为教师应根据时代的发展转变教学观念，把促进学生全面发展作为教学目标.

本节课，教师结合课标要求与学生的实际认知水平，借助关键性问题开启学生的思维，让学生在主动参与的状态中积极探索与思考. 这种教学模式，不仅让各个认知水平的学生都最大限度地开动脑筋，进入学习状态，还令课堂充满着智慧与思考力. 如函数零点存在定理的导入环节，教师引导学生通过自主操作发现定理，充分体现了“以生为本”教学理念，也让深度学习真实发生了.

2. 加强教学反思可促进学力发展

要培养学生的个性化学习能力，教师本身就要具备较强的反思能力，此为发展专业素养不可或缺的基础. 在教学过程中，教师根据实际情况不断地实践、总结与反思，不仅能提高教学质量，还能推进学生的个性化发展，令课堂充满智慧与活力. 教师对自身专业知识与教学能力的反思，不仅是构建思考力课堂的需要，也是加强师生互动与沟通的需求，从而拉近师生的心灵距离，激发学生的学习潜能，提升学生的学习能力.

本节课，教师在精心预设的基础上，边教学、边反思，对课堂进行过程性评价与思考，每一个教学环节紧凑且有序；学生在良好的学习氛围下不断挖掘自身的学习潜能，顺利完成了学习任务，还通过学习提炼了各种数学思想方法，为获得可持续发展能力奠定了基础.

3. 加强教育管理是课堂转型的关键

构建思考力课堂，促进个性化学习不仅对教师的“教”与学生的“学”提出了新的要求，对教学管理也提出了一个新挑战. 从传统的教学管理模式来看，基本以考试成绩统一标准来评判学生的思维水平，而忽略了对学生个体差异的评价. 基于个性化学习的思考力课堂更关注对学生个性化发展的教学与管理，这就需要将单一的指令性管理模式转化成多元化的管理模式，教师需要根据学生的实际认知水平提供个性化的教育导向与服务，以支持学生学习与个性化成长.

总之，个性化学习是教育发展的大趋势，是值得教育工作者实践与探索的新理念. 在“以生为本”教学理念的基础上加强教学反思与评价，及时转变教育管理模式，可为学生带来更丰富的学习体验，把数学教育推向新高度.