OBE理念下中国数学课堂HPM教育价值研究

殷振杰

*基金项目：浙江警察学院2023年度校级教育教学改革、课堂教学改革项目“OBE理念下的新时代公安院校《高等数学》课程创新实践研究”（项目编号：20230105）.

摘  要：本文在OBE理念下对中国数学课堂HPM教育进行价值研究，通过对我国数学史进行深入梳理分析，由实例分析对比中西方在极限、算学、求解高次方程方面的历史成就，有助于在课堂教学中提升学生的民族自豪感和爱国主义情怀，激发学生学习数学的兴趣.关于中西方的差距问题采用辩证的观点看待，承认差距、铭记教训是为了更好地推动中国数学的继承与发展.并且对于中国数学未来发展提出了“强基培元，韬光养晦，奋力实现中国梦”的观点以及对未来的展望.

关键词：OBE；HPM；数学教育；文化自信

“以史为鉴，可以知兴替.”OBE（Outcome Based Education）理念，即以成果为导向，以学生为本的教育理念，我们通过研究我国数学发展历史，发现数学不再是单单作为科学研究的运算辅助工具，它因其背后所蕴含的悠久历史而散发出独特的芳香，在中国数学课堂教学中运用HPM（History and Pedagogy of Mathematics）教育理论，具有极深远的意义和价值.中共中央总书记习近平在前不久主持中共中央政治局第三次集体学习时强调，加强基础研究，是实现高水平科技自立自强的迫切要求，是建设世界科技强国的必由之路.将我国这宝贵的数学发展史融入到基础数学日常的教学环节之中，起到“润物细无声”的教学效果，以学生为中心，站在学生的角度去教学，能够把抽象的数学知识更加“接地气”的传授，激发中国学生学习数学的兴趣，也便于学生更好地理解所学的抽象数学知识，让学生感受到中国古代数学家为数学发展所做出的艰苦卓绝的努力和来之不易的成功，切身体会到数学知识经由历代中国数学家不断尝试、不断优化更新的形成过程，进一步激发当代青年学生的爱国主义情怀，增强民族文化自信.

1  辉煌的历史成就让我们有理由文化自信

古代中国数学历史和世界数学史相比，既是相互独立发展，又有惊人的相似之处.［1］

东方不乏“极限”思想的应用.早在春秋时期，我国的杰出哲学家庄子便发挥其异于常人的抽象思维能力，提出了“一尺之棰，日取其半，万古不竭”，指的是一尺长的木棒，第一天取去一半，第二天再取去剩下的一半，以后每天都取去剩下的一半，这样永远也取不完.［2］而极限这一概念直到十九世纪才被西方数学家准确而清晰地描述出来.

三国时期的数学家刘徽曾创造性地运用极限的方式论证了《九章算术》中关于多面体体积求解问题中的阳马术，后被称为“刘徽原理”，记录在其《九章算术注》之中.其发明的“割圆术”更是被史学记载为中国数学史上最早建立可靠理论以及最早建立关于圆周率精确度的一种迭代算法，即“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”.从圆的内接正多边形中得到的徽率便是圆周率，计算过程比西方数学家阿基米德和托勒密的割圆术更加严谨简洁.为后来祖冲之计算圆周率奠定了坚实的理论基础.在数学课堂上若将上述例子作为数列章节或极限章节的引入，更能激发学生的民族自豪感.

中国“算学”乃国之瑰宝.唐代初年时期，唐高宗钦定了十部数学名著作为“算经十书”的教材，在当时的最高学府国子监算学馆内进行传授，其中就有王孝通的《缉古算经》，作为其一生之心血结晶，特别是“开带从立方”的方法在二次内插法和一元三次方程的理论与应用中的体现，对中外数学家都有极大的启发和影响.

作为基本能代表“明初数学”发展水平的《九章算法比类大全》，是吴敬用他十余年的时间对各种数学问题进行收集整理、归纳研究所完成的十卷著作.其中既包含杨辉的《详解九章算法》、刘徽的《海岛算经》、王孝通的《缉古算经》等典籍中的问题，也有意识地提倡学习古代数学，更注重实用的数值计算问题，创造性地引入了起源于阿拉伯的“写算”乘法并加以改进，这一举措影响了中国古代数值计算由算筹演变取代为算盘的过程，“铺地锦”也体现在后来珠算之父程大位所著的《算法统宗》之中，为中国数学的发展注入了强有力的活力助推剂.

享誉世界的万字数学著作《算学宝鉴》是我国第一部珠算书，由明清数学家王文素所创，书中文字言简意赅，内容贴近生活，知识广泛、算法严谨、公式先进，书中的“开方本源图”甚至比1544年德国数学家施蒂费尔所著的《整数算术》时间更早，算法更完善，至今依旧被学者所称赞，被视为当时算学界的顶峰.

求解高次方程问题在宋元时期达到了中国数学发展的巅峰.在李治所著的《测圆海镜》和《益古演段》中出现了利用“天元”未知数的概念建立方程的方法，其与秦九韶分别独立将记号O表示为空位，从而完善了中国十进制.

秦九韶的《数书九章》更被誉为一部划时代的数学巨著，内容之精妙绝伦，影响之巨大深远，令后世敬仰.在世界范围内求解不定方程的问题中，书中的“大衍求一术”可作为中国独树一帜的求解方法，亦被称为“中国剩余定理”，早于西方高斯建立的同余定理.特别是“正负开方术”在任意高次方程的数值解法问题上更早于英国霍纳的同类型解法.

杨辉不仅对当时的筹算乘除计算技术和纵横图进行改进，而且在《详解九章算法》中记录了贾宪的二项式展开系数规律并归纳为“开方作法源图”，可以迅速地作开方计算，后被称为杨辉三角.

朱世杰所著的《四元玉鉴》中，不仅创造性地提出了“四元术”，用于求多元高次方程组的解，后称为秦九韶算法，早于西方和其类似的霍纳算法，而且还创造性地提出了“垛积术”和“招差术”，也就是现在所称的“朱世杰恒等式”，用于高阶等差数列求和及高次内插法之中，完善了在《授时历经》中许衡所用的“招差术”，为古代数学科学的发展做出了巨大的贡献.朱世杰的数学算法与后来牛顿和泰勒的工作有着显著的联系.牛顿插值公式和泰勒公式是微积分学科中的经典理论，而这些理论的雏形可以追溯到朱世杰的成果.牛顿通过巧妙地运用“垛积术”和“招差术”等方法，得到了任意次数的多项式的插值公式，而泰勒则通过引入极限的概念，推导出了泰勒级数和泰勒展开.这种历史上的连续性，体现了数学思想的渐进演化，为数学课堂教学中学生理解数学的发展历程提供了宝贵的线索.

2  承认差距，铭记教训，“师夷长技以制夷”

中国数学史源远流长，充满了辉煌的成就和令人深思的历史变革.在这个漫长的历史长河中，有着一些关键时刻，其中有的数学家的创新和思想影响至今.元代数学家朱世杰就是其中之一，他的算法贡献为数学领域带来了新的视角.“四元术”“垛积术”和“招差术”等算法的提出标志着一次数学的创新浪潮.这些算法在当时的数学发展中起到了推动的作用，为中国数学的发展注入了新的活力.特别是“招差术”，其实质是一种离散数学中的微积分，为后来微积分学科的发展提供了有力的基础.朱世杰的贡献在数学发展史上占有重要地位.然而，尽管朱世杰在数学上的贡献将中国数学推至一个新的顶峰，却未能在当时迎来连续微积分等理论的发展.这或许反映出当时数学家在理论和实际应用之间的平衡，而未能深入挖掘理论的潜力.

中国数学的发展并非一帆风顺，在历史上也经历过艰难时期.明代开始推崇的八股文模式的科举制度对数学学科的发展产生了深远的影响.八股文模式的科举取士历经四百余年，直到清末戊戌变法才废除.这一制度使得数学学科在科举选才考试中的地位大幅度下降，考试内容空洞，格式单一且严格，导致了数学的停滞.因为考试要求固定的格式，数学家在此背景下往往更注重于应试技巧，而非深入理论进行探讨，这制约了数学理论的深度发展.与此同时，世界的数学发展并未停滞.解析几何和微积分的诞生，将世界数学发展从初等数学时期推向了一个史无前例的变量数学时期.西方数学在这一时期取得了巨大的进展，而中国数学逐渐与世界数学在这四百余年的时光中拉开了巨大的鸿沟.科技和数学的飞速发展让中国数学不得不反思和面对自身的滞后之处.近现代，尽管我国数学发展有所起色，但相对于西方国家的数学发展仍显得相对缓慢.

在这个背景下，我们需要正视与世界的差距，摆正心态.历史教训告诉我们，不能忽视理论基础的发展，不能因为短期的应试需求而牺牲了长远的数学理论建设.中国数学历史中的由强到衰的变化给我们提供了宝贵的经验教训.我们要以谦卑的心态对待自身的数学发展，汲取国内外数学先进的经验，不断拓展数学的国际视野，使自己的数学理论更具前瞻性.为了弥补差距，需要学习国外优秀的数学思想和方法.这不仅包括理论方面的研究，也包括数学应用的实践经验.世界各国在数学研究、教育和应用领域都有独到之处，我们应该敞开思维，接纳全球数学发展的精华.正如古人所说，“师夷长技以制夷”，需要在国际化的大背景下，对遇到的数学难题进行攻坚克难，不断提高我国数学的学科实力.然而，国际化并不等同于放弃本土特色.在学习国外经验的同时，我们需要保持对中国传统数学的尊重和挖掘.古代中国数学在算法、天文学、地理学等领域有着独特的贡献，这些传统智慧可以成为我们在面对现代问题时的宝贵资源.将传统文化与现代科技有机结合，也是推动中国数学发展的一种路径.

为了实现数学的现代化，我们需要在教育体系中进行改革创新，培养学生的创新精神、实际问题解决能力，让学生在数学学科中培养更全面的素养.这不仅包括理论知识的传授，更要注重培养学生的实践动手能力，使他们能够将所学的数学知识应用于实际生活和科研中.教育的目标应该是培养出具备国际竞争力的数学人才，能够在全球范围内参与和引领前沿的数学研究.此外，国际合作也是提升我国数学水平的一项关键策略.与国际上的数学组织、学术机构进行深度合作，共同推动数学领域的前沿研究.通过与国际数学界的交流合作，我们可以更好地了解国际数学领域的最新进展，拓展自身研究的广度和深度.在面对数学发展的巨大挑战时，我们需要在国内加强跨学科的合作.数学与其他学科的交叉融合将为创新提供更广阔的空间.与物理学、计算机科学、生物学等学科的合作，可以激发新的数学问题，推动数学理论的发展.

中国数学有着丰富的传统和辉煌的历史.然而在现代科技发展的浪潮下，我们必须正视差距，深刻总结历史经验，汲取国内外的优秀经验，不断挖掘和发展自身的数学理论.通过教育体制的改革、学科合作的加强、国际交流的深化，我们有望在数学领域迎头赶上，为世界数学的发展做出更大的贡献.只有不断地学习、创新，才能走出历史的阴影，走向数学的新辉煌.

3  强基培元，韬光养晦，奋力实现中国梦

数学是一门深奥而又古老的学科，其发展历程充满了辉煌的成就和激动人心的故事.欲修外先修内的古训，在数学教育领域同样适用.数学发展的过程不是一蹴而就的，它需要经过前期的不断积累，打下坚实的基础，才能在某一瞬间绽放出属于自己的光彩.

中国数学历史悠久，而近现代的数学发展更是涌现出一大批杰出的数学学者，他们的贡献为中国数学的蓬勃发展奠定了坚实的基础.华罗庚被誉为中国解析数论的创始人和开拓者，陈省身则是整体微分几何之父，陈景润证明了哥德巴赫猜想，丘成桐成为首位获得菲尔兹奖的华人得主，苏步青创立了中国微分几何学派，柯召是中国近代数论的创始人，谷超豪首次提出高维、高阶混合型方程的系统理论.这些学者通过几十年的心血和奋斗，为中国数学的现代化发展做出了卓越的贡献.然而，这些成果仍远远不够.在当前，我国在芯片领域、人工智能领域、5G领域等依然面临着一系列被国外技术卡脖子的瓶颈问题.这促使我们认识到，需要更多对数学有浓厚兴趣并能以此为终身职业、终身目标的人，坚持不懈地进行数学基础研究.只有真正对数学有强烈兴趣，并将其视为终身职业目标的人，才能在数学的深度研究中找到持续的动力.这种对数学的持续研究，正是工匠精神的具体表现.工匠精神强调对细节的极致追求、对事业的执着追求，正是推动数学理论不断进步的力量.工匠不仅致力于解决眼前的问题，更注重于在理论的深度挖掘中找到更广阔的视野.在数学领域，工匠精神就是通过对数学基础的深度研究，为科技突破提供理论支持，从而推动整个国家科技水平的提升.

基础数学教育在这个过程中扮演着至关重要的角色.尽管基础数学教育的成果可能不如应用数学那样直接产生显著的实用成果，但它犹如河床底部的沙石，是整个科学体系的基石.通过历史的洪流不断冲刷打磨，基础数学教育能够韬光养晦、厚积薄发.这种过程最终会在世人面前展现出一颗璀璨耀眼的稀世宝石.当这些瓶颈式的问题一个个被我国的数学工匠们解决时，我们心中的中华民族伟大复兴的中国梦就真正地展现在世人眼前.这不仅是数学理论的突破，更是国家综合实力的提升.工匠精神的传承和发扬，是实现中华民族伟大复兴的必由之路.只有在数学领域深耕不辍，不断追求卓越，我们才能在科技创新的浪潮中迎头赶上，为国家的繁荣献上更多的力量.

综上所述，数学教育在中国数学发展中发挥着不可替代的作用.通过学习数学发展历史，我们深刻认识到数学的发展需要前期的不断积累和打磨.众多杰出的数学家为我国数学的蓬勃发展奠定了坚实的基础，而数学工匠们的努力则将数学推向新的高度.但为了更好地应对当前和未来的科技挑战，我们需要进一步弘扬工匠精神，注重基础数学教育的深度培养，并通过国际合作和跨学科合作，推动我国数学领域在全球范围内的卓越发展.只有如此，中华民族伟大复兴的中国梦才能更加真实地展现在世人眼前.

参考文献

［1］余庆纯，汪晓勤.中国HPM研究内容与方法［J］.数学教育学报，2022，31（4）：49－55.

［2］陈惠勇.数学史观下的数学概念教学新模式［J］.高等数学研究，2007（5）：58－62＋65.