从生长数学视角看规则下的概念教学

程玉林 吴境川 蔡华远

摘要：规则下的概念教学要通过问题驱动，让学生自主探索、创造规则、发明规则，让规则随着思维的生长自然地生长出来，从而建立概念.在这一过程中，学生能感受到数学概念的生长过程和数学概念形成的必要性、必然性、客观性、合理性.

关键词：规则下的概念教学；函数的奇偶性；生长数学

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2024）12-0059-03

数学概念是数学思维的起点，是学生认识的根本，是数学教学的关键，它在数学学习与数学教学中具有举足轻重的作用[1].然而在实际的数学教学中，并没有把概念教学放在它应有的位置上.通常是“三个例子、一个概念、八项注意”.这样的数学概念教学，不但给学生数学学习造成认知上的障碍，而且还丧失了数学概念的教学功能，不利于学生数学核心素养的形成.如何让数学概念教学为学生身心成长助力，让数学核心素养落地生根，因此数学概念教学十分重要.

1 规则下的数学概念教学理解

发明不同于科学发现，发明主要是创造出过去没有的事物.规则就是制定规矩，它应该属于发明.所以，规则下的数学概念教学，重点是制定相应概念准则.但是在平时的教学中，往往将规则下的数学概念教学，变成直接地告诉学生应该遵守的规则并让其按照规则进行操作，且只是在操作中理解规则的教学，更有甚者不追求理解，只要会操作就可以.这样的数学概念教学就是一个执行标准的过程，它是一个简单化的思维过程，显然这样来设计规则下的概念课，定是白白浪费了可贵的教学资源.这就是华罗庚先生所说的“入宝山而空返”.现在的问题是，如何入宝山而不空返呢？卜以楼认为，让学生主动地构建规则制定标准，并且让学生在生活实践中有自己的思考，这是一种“制定标准”的“管理者”的思维[2].请注意一个是“执行标准”的“打工仔”的思维，另一个是“制定标准”的“管理者”思维，这两种思维方式泾渭分明.

2 教学设计与说明

2.1 给情境：导入新课

同学们，我们生活在美的世界中，有许多对美的感受，今天我们就来谈一谈其中的对称美，请同学们想一想哪些东西会给你对称美的认识呢？函数来源于生活，函数中的对称美又是什么样的呢？这就是我们本节课要学习的内容：函数的奇偶性.（学生先举例，教师后在屏幕上给出一组图片：蝴蝶，喜字，故宫太和殿，雪花晶体.）

观察1：观察函数f（x）=x2和g（x）=2-|x|的图象，它们有什么共同特征？（引导学生从对称性方面观察）

说明：给情境.通过以上的图例和观察给出问题情境，让学生运用自己的智力和思维来解决.

2.2 建规则：奇偶性的符号化定义

探究一：我们来继续研究函数f（x）=x2和g（x）=2-|x|.从图象上，我们已经看出它们的图象是关于y轴对称的.类似于函数的单调性，大家能用数学语言描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗？

问题1：观察f（x）=x2图象和课本表3.2-1，你发现函数的解析式具有什么特征了吗？

师生活动：通常情况下，学生会从表格中观察到一些数值的变化情况，如：

f（-3）=9=f（3），

f（-2）=4=f（2），

f（-1）=1=f（1），

…………

学生不难发现：当x的取值互为相反数的时候，其函数值总是相等的.

追问1：这种数值的变化情况具有一般性吗？对任意的x都成立吗？

追问2：这种对任意的x都满足的规律，我们可以通过什么方式准确地表达出来？（这时教师要引导学生联系全称量词的表述形式）

追问3：大家尝试通过量词的表述，把这个函数的对称关系表达出来.

问题2：对于函数f（x）=x2图象关于y轴对称，这说明函数f（x）=x2图象上任意两个点横坐标如果互为相反数，那么这两个点相应的函数值相等，即f（-x）=f（x）.反之，如果函数f（x）=x2对任意的自变量x都有f（-x）=f（x），则函数的图象是否关于y轴对称？

说明：建规则.这个环节一定要舍得花时间，让学生做这个看起来与考试无关，可事实上，它不仅与考试有关，更与人的成长有关，它是一个人的核心素养的行为展现.“探究一”学生会遇到困难，这个没有关系，让学生带着疑惑继续进行下面的思考和研究，这样他获得的感受会更深.对于问题2利用数学画板展示函数图象关于y轴的对称关系，展示将整体的对称关系用任意点的形式动态表达，让学生通过数学直观上升到数学抽象，用语言进行描述，进而用符号语言准确的表达.反之，学生会遇到困难，引导学生要证明函数图象关于y轴对称，就是相当于证明任一点关于y轴对称点也在图象上.

追问：你能将上面由具體函数得到的关系，推广到一般的图象关于y轴对称的函数上吗？

师生活动：学生不难得到“x∈I，都有f（-x）=f（x）”，但是教师要引导学生注意函数的定义域，逐步完善，并总结出偶函数的定义[3].

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果x∈I，都有-x∈I，且f（-x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数.

2.3 偶函数定义的巩固与辨析

追问：你能再举出几个偶函数的例子吗？（学生举例）

问题3：函数f（x）=x2，x∈-1，2是偶函数吗？偶函数的定义域有什么特征？

说明：下定义.引导学生共同讨论后，会达成比较相同的意见与结论.得出偶函数的定义.

2.4 奇函数的定义和巩固辨析

探究二：观察函数f（x）=x和g（x）=1x的图象，它们有什么共同特征吗？同学们能用数学符号语言来描述这一特征吗？

类比偶函数的研究，考虑下面这几个问题：

问题4：完成课本表3.2-2，你发现函数的解析式具有什么特征了吗？

问题5：对于函数f（x）=x，图象关于原点对称，表明函数图象上横坐标互为相反数的点相应的函数值相反，即f（-x）=-f（x）.反之，如果函数f（x）=x对任意的自变量x有f（-x）=-f（x），那么函数的图象是否关于坐标原点对称呢？

问题6：类似于偶函数的定义，请同学们给出奇函数的定义？奇函数的定义域有什么特征？

追问：奇偶性是函数的局部性质吗？

问题7：有了奇（偶）函数的定义，请问有哪些需要注意的地方？

說明：生长数学视角下的数学概念教学必须关注好、选择好、应用好生长的种子.所谓“种子”是那些反复强化的数学知识、数学思想方法和数学活动经验.让这些数学知识、数学思想方法和数学活动经验在学生的脑海里烙上深深的印记，就是埋下了种子，等到学生的数学理解能力到位了，数学潜能也就自然而然地发挥出来了，数学核心素养也就自然而然地养成了.

2.5 再运用：函数奇偶性的应用

例1判断下列函数的奇偶性

（1）f（x）=x4；（2）f（x）=x5；（3）f（x）=xx-1；

（4）f（x）=x+1；（5）f（x）=|x-2|.

变式练习：

判断对错：

（1） 若函数f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）；

（2） 若函数f（x）为奇函数，则f（x）=f（-x）；

（3） 奇函数的图象一定过原点；

（4） 奇函数f（x）在x=0上有意义，则f（0）=0；

（5） 奇函数的图象关于x轴对称；

（6） 偶函数的图象关于y轴对称；

（7） 若f（x）为奇函数且f（1）=3，则f（-1）=-3.

说明：函数奇偶性的再运用，在教师的引导下，学生自主构建了规则，那么学生就很容易遵守规则了.例6和变式练习就是对学生进行遵守规则的训练.

2.6 课堂小结

（1）这节课我们研究了函数的什么性质？从哪两个方面研究的？用了什么方法研究的？

（2）什么是偶函数？什么是奇函数？它们的图象有什么特征？

（3）判断函数奇偶性有几种方法？具体步骤？

说明：本课小结不仅体现了奇偶性的概念、基本性质、图象特征等知识点的回归，还渗透了数学思想方法.这是研究函数性质的一般过程的学习方法的总结，是对学生思考、推理过程的总结，也是对函数奇偶性概念规则的构建过程的总结.3 结束语

规则下的数学概念教学是这样的：给情境-建规则-下定义-再运用.即用问题驱动来激发学生的发明创造，来构建解决数学问题的规则，获得数学概念和规则，从而把学习数学内化为一种自觉的思维形式.规则下的数学概念教学，课堂上学生要努力做到经历具体的问题情境，妥善运用创新意识数学逻辑思维，寻找解决数学问题的规则和方法.同时不断调整优化数学概念的规则和方法，直至发现数学概念的规则和方法，最终建立数学概念.规则下的数学概念教学关键就是构建利于学生思维的数学活动，进而让学生进行发明创造.

参考文献：

[1]卜以楼.生长数学：卜以楼初中数学教学主张[M].西安：陕西师范大学出版总社，2018（6）.

[2] 王红兵，卜以楼.生长过程：概念教学的本质标志[J].中学数学教学参考，2017（07）：27-29.

[3] 吴艳芹，马杰.畅言智慧课堂下的“函数奇偶性”主题教学设计[J].中学数学研究，2023（04）：8-11.

［责任编辑：李璟］