一次函数与反比例函数的“相交情谊”

数学教材中的例题都是编者精心遴选设计的，具有代表性。下面以苏科版数学八年级下册第131页的例题为例，谈谈例题的学习与拓展（例题解决过程见教材）。

例题 已知反比例函数y=[kx]的图像与一次函数y=x+1的图像的一个交点的横坐标是-3。

（1）求k的值，并画出这个反比例函数的图像；

（2）根据反比例函数的图像，指出当x＜-1时，y的取值范围。

【点评】例题主要是根据反比例函数的图像特征，分析反比例函数的类型，进而根据条件确定函数表达式。第（2）问要结合函数的图像，利用数形结合的方法求解。

结合例题的已知信息，我们还可以继续思考，解决其他问题。

延伸思考 （3）根据图像写出方程x+1=[kx]的解；

（4）当x取什么值时，反比例函数y=[kx]的值大于一次函数y=x+1的值？

（5）将两个函数图像的交点记作A、B，连接OA、OB，求△AOB的面积。

【解析】（3）同学们可以先画出y=x+1的图像，由图像得两个函数图像的两个交点坐标分别是（-3，-2）和（2，3），所以方程的解是x=-3或x=2。

（4）由函数图像知，x＜-3或0＜x＜2。

（5）令y=x+1与y轴的交点为C。把x=0代入y=x+1，得y=1，

∴OC=1。

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=[12]OC× [-3] +[12]OC×2=[52]。

变式1 如图1，一次函数y1=kx+b（k≠0）与函数为y2=[mx]（x＞0）的图像交于A（4，1）、B（[12]，a）两点。点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图像于点Q，若△POQ的面积为3，求点P的坐标。

【解析】把A（4，1）代入y2=[mx]，得m=4，即y2=[4x]；再把B（[12]，a）代入y2=[4x]，得a=8，即B（[12]，8）；再将A（4，1）、B（[12]，8）两点坐标代入y1=kx+b，得[1=4k+b，8=12k+b，]解得[k=-2，b=9，]所以y1=-2x+9。∵点P在线段AB上，∴设P（p，-2p+9）且[12]≤p≤4。由题意知Q（p，[4p]），∴PQ=-2p+9-[4p]。∴S△POQ=[12]（-2p+9-[4p]）·p=3，解得p1=[52]，p2=2。∴点P的坐标为（[52]，4）或（2，5）。

变式2 已知反比例函数y=[kx]（k≠0）在第一象限内的图像与一次函数y=-x+b的图像如图2，则函数y=x2-bx+k-1的图像可能为（ ）。

A." "B.

C." "D.

【解析】根据反比例函数y=[kx]与一次函数y=-x+b的图像，可知k＞0，b＞0。所以函数y=x2-bx+k-1的图像开口向上，对称轴为直线x=[b2]＞0。由两个交点为（1，k）和（k，1），得k-b=-1，b=k+1。根据反比例函数k的几何意义可得k＞1，从而得函数y=x2-（k+1）x+k-1，即y=x2-x+k（1-x）-1。当x=1时，y=-1，即图像经过点（1，-1）。由k＞1得k-1＞0，所以图像不过原点。符合以上条件的只有A选项。

（作者单位：江苏省南京市科利华中学棠城分校）