杨丽琼
学习数学需要解题,而解题方向是否合理,解题过程的繁冗与简捷,往往在于解题“切入点”的选择.善于从题目所显示的或隐含的某些特点中寻找解题“切入点”,既能快速决策解题的方向,也能优化解题的过程,起到“四两拨千斤”的解题效果.本文从几个方面阐述寻找“切入点”的途径.
1从特殊数值寻找“切入点”
在数学题目中,往往出现具有某种特点的一些数值,这些数值对解题有着重要的导向作用.从这些特殊数值上展开联想,进而顺藤摸瓜寻找解题“切入点”,则能获取新颖、独到的解法.
例1 (2007年全国初中数学联赛题)设x=12-1,a是x的小数部分,b是-x的小数部分,则a3+b3+3ab=.
分析:从特殊数值12-1寻找切入点.先分析出x与-x的范围,确定出a,b,推出a+b=1后运用立方和公式整体代入求解.
解:因为x=12-1=2+1,而2<2+1<3,所以a=x-2=2-1.
又因为-x=-2-1,而-3<-2-1<-2,所以b=-x-(-3)=2-2.
所以a+b=1.故a3+b3+3ab=(a+b)(a2+b2-ab)+3ab=a2+b2-ab+3ab=a2+b2+ab=(a+b)2=1.
2从图形背景寻找“切入点”
对于许多数量关系的题目,若挖掘并运用蕴含在题目中的图形背景,使得数量关系转换为直观图形来解决,从图形背景中寻找“切入点”,则解题思路直观、清晰.
例2(1987年全国初中数学联赛题)已知方程|x|=ax+1有一个负根而且没有正根,那么a的取值范围是().
A.a>-1B.a=-1
C.a≥1D.非上述答案
分析:本题若按常规方法来解,需要分为两个步骤来进行:①先设x为方程负根,推出a的范围;②根据方程没有正根求a的范围时,正难则反,先假设方程有一个正根x,得到a的范围后取其反面.进而综合后得到答案.所以
运用常规思路解答逻辑推理要求高,而利用图形背景,设出函数并作图象,借助图象化“数”为“形”,则求解直观、迅速.
解:如图1,在直角坐标系中作出两个函数y=|x|和y=ax+1的图象.
根据题意方程|x|=ax+1有一负根而没有正根,可知直线y=ax+1仅和折线y=|x|=x,x≥0,-x,x<0在y轴左侧有一个交点,故结合图象分析可得a≥1.因此选C.
3从位置关系寻找“切入点”
许多与图形相关联的题目都具有一些特定的“位置”,从与众不同的位置关系中去寻找解题的“切入点”,可快速明确解题方向,利用解题.
例3(2022年荆门市中考题)如图2,函数y=x2-2x+3,x<2,-34x+92,x≥2的图象由抛物线的一部分和一条射线组成,且与直线y=m(m为常数)相交于三个不同点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)(x1 解析:由函数图象与直线y=m(m为常数)相交于三个不同点这一位置关系,可知y1=y2=y3=m(m为常数),代入并把所求式转化为t=x1+x2x3,所以t的取值范围即为三个不同点横坐标代数式的范围.根据题意可知y1=y2=y3=m(m为常数),因此t=x1y1+x2y2x3y3=x1+x2x3. 由y=x2-2x+3=(x-1)2+2(x<2),可知抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,所以当x=1时,函数有最小值为2,且x1+x2=2×1=2.由y=-34x+92(x≥2)可知当x=2时,有最大值为3,且当y=2时,x=104,所以2 4从式子结构寻找“切入点” 许多题目中式子的结构具有“窗口”作用,善于对式子结构的观察、分析,从式子结构中寻找解题“切入点”,则解题往往做到事半功倍. 例4(2019年全国初中数学竞赛天津赛区初赛题)若四个互不相等的正实数a,b,c,d满足(a2012-c2012)(a2012-d2012)=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,则(ab)2012-(cd)2012的值为(). A.-2012B.-2011C.2012D.2011 分析:由已知条件可知,a2012与b2012满足相同的结构形式,因此构造方程(x-c2012)(x-d2012)=2012,整理后利用韦达定理求解. 解:因为(a2012-c2012)(a2012-d2012=2012,(b2012-c2012)(b2012-d2012)=2012,所以a2012与b2012是方程(x-c2012)(x-d2012)=2012,即x2-(c2012+d2012+(cd)2012-2012=0的两根.根据韦达定理,得a2012·b2012=(cd)2012-2012,即(ab)2012=(cd)2012-2012,所以(ab)2012-(cd)2012=-2012.故选A. 5从整体关系寻找“切入点” 在解决一些题目中,若把某些具有一定关系的式子视为一个整体,以此为解题“切入点”,则往往使题目得到迅速解决. 例5(2023年北京市中考题)已知x+2y-1=0,求代数式2x+4yx2+4xy+4y2的值. 分析:若先求解已知中的一元二次方程,然后将求出的解代入所求式,很是繁冗.这里着眼整体关系,先将所求分式化简,再把x+2y-1=0变形,整体代入化简的分式求值. 解:因为2x+4yx2+4xy+4y2=2(x+2y)(x+2y)2=2x+2y,根据x+2y-1=0,得x+2y=1,所以代入上式可得2x+4yx2+4xy+4y2=21=2. 6从差异中寻找“切入点” 数学解题的过程,从一定意义上讲,就是实现从题设到结论进行推证的过程,而识别题设与结论或量与量之间的差异,则能帮助我们寻找解题的“切入点”. 例6(2022年江苏省南通市中考题)已知实数m,n满足m2+n2=2+mn,则(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)的最大值为(). A.24B.443C.163D.-4 解析:题设中的等式是非齐次式,结论中的所求式是“齐二次”多项式,把这一差异作为“切入点”,先分别将已知式代入完全平方和公式与完全平方差公式,利用非负性求出mn的范围,然后将目标式展开并将已知式代入得到关于mn的式子求解. 由m2+n2=2+mn得(m+n)2=2+mn+2mn=2+3mn.又因(m+n)2≥0,得2+3mn≥0,所以mn≥-23,当m+n=0时,取等号. 因为(m-n)2=m2+n2-2mn,将m2+n2=2+mn代入得(m-n)2=2+mn-2mn=2-mn.由(m-n)2≥0,得2-mn≥0,解得mn≤2,当m-n=0时,取等号. 所以-23≤mn≤2.所以(2m-3n)2+(m+2n)(m-2n)=4m2+9n2=-12mn+m2-4n2=5(m2+n2)-12mn=5(mn+2)-12mn=10-7mn.由-23≤mn≤2,得-14≤-7mn≤143,所以-4≤10-7mn≤1447.故选B.解题是学习数学的主要手段和途径,而解题方向是否正确,解题過程是否简捷,这都需要寻找到一个好“切入点”.因此,在解题中重视寻找“切入点”,对于优化解题方案,缩短思维线路起着举足轻重的作用.