研读高考试卷的三个层次

⦿ 广东省珠海市第二中学 江民杰

一份高考试卷,就像一轮月亮.

1 层次一：初读如漫步中散心观月

初读高考试卷,就如漫步中散心观月.研读试卷,首先关注的是题型、分值,压轴题所涉及的内容,难度大不大?题目如何求解?一份试卷读完,也只是似曾相识,这就是初读.

初读,就是读取题目的外部,获取相关信息,形成初步认识.

1.1 读点

读点就是研读出试卷所涉及的知识(核心知识点)、技能及通性通法,感悟所涉及的“通性通法的数学原理和其中蕴含的数学思想”.

1.2 读线

高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线,它们贯穿必修、选择性必修和选修课程.研读高考数学试卷,应该围绕这四条主线,读出新课程背景下考试评价是如何围绕这四条主线展开的.

对于第(1)问,有两种思路.

思路1：利用三角形内角关系处理(利用倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形内角和定理即可得出角B,过程略).

思路2：结合同构,利用函数单调性处理.

解法如下：

对于第(2)问,也有两种思路.

思路1：利用正(余)弦定理、倍角公式、基本不等式即可得出结论(过程略).

思路2：构造图形,利用余弦定理、基本不等式即可得出结论.

图1

在△BMC中,由余弦定理,得

经过研读,发现本题涉及的知识点有倍角公式、半角公式、和差角公式、三角形内角和定理、余弦定理、正弦定理、基本不等式、函数单调性等;涉及教材四条主线中的三条主线,如：函数、几何与代数、数学建模.

初读试卷,就是要围绕四条主线,理解相关概念、命题、定理之间的逻辑关系,提炼出解决一类问题的数学方法,领悟其中的数学思想,初步建立网状的知识结构;能够用图形探索解决问题的思路,形成数形结合思想.

2 层次二：再读如庭院中驻心赏月

再读高考试卷,如站在庭院中,抬头仰望,明月当空,一览无余,驻心赏月.随着研读的深入,对试卷的理解才能愈发深刻,进入第二层次,这就是再读.

再读,就是对读取的信息进行深加工.如,考什么(试题的布局、内容、结构)?怎么考(主干知识重点考)?试题命制的风格及走向?

2.1 读面

四条主线,线线相交,或点线(知识点与主线)布排,形成试题的布局、结构,这就是面.数学高考卷加强对主干内容的考查,强调学科知识的系统性,为此,需要读面,强化对试卷的整体认识.

读面,就是研读出试卷所考查的主干知识,各知识模块所占分值比例,各知识点的组合方式,考查方式,等等.近年来数学试卷在选择题、填空题、解答题等不同题型中都加强了对主干知识的考查,意在增强学生对主干知识深层次的认识和理解,引导学生更好地感悟数学本质.

2.2 读体

读体,就是读出层次.高考试卷有较好的区分度,同一份试卷,同一道试题,能够分层考查不同的学生.对同一道试题,我们要读出不同的解法,读出思维层次的高低.

思路1：直接利用等差数列通项公式、求和公式,通过解方程求解,但运算量大.该方法属于第一层次.

思路2充分挖掘条件,抓住等差数列通项公式的特征求解,运算量减小,该方法层次较高.

2.3 读脉

“脉”是指试题命制的走向.研读高考试题,要研究命题走向,关注近年来一类问题的命题方向,即从历年试题到新近试题的近迁移,再到大概念的远迁移.

对于同构问题,近年来,高考题中主要有三种类型的同构题型.

题型1：结构相同(近)要同构.如2020年全国卷Ⅰ理科第12题.

题型2：“指对”跨界寻同构.如2022年新高考Ⅰ卷第22题第二问.

题型3：从无到有凑结构.

有些题目涉及的式子并不像以上提到的和(差)型或者积(商)型一样明显,而是将原先左右同构的格式隐藏了起来,此类题型大大提升了解题难度,但通过对比发现,可以适当配凑,实现原先的同构格式.

例3(2020新高考Ⅰ卷第22题第二问)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna,若f(x)≥1,求a的取值范围.

分析：f(x)=aex-1-lnx+lna=eln a+x-1-lnx+lna≥1等价于eln a+x-1+lna+x-1≥lnx+x=eln x+lnx.令g(x)=ex+x,则上述不等式等价于g(lna+x-1)≥g(lnx).又g(x)为增函数,所以lna+x-1≥lnx,即lna≥lnx-x+1.令h(x)=lnx-x+1,易求得h(x)max=h(1)=0,所以lna≥0,即a≥1.故a的取值范围是[1,+∞).

同构的本质就是函数单调性的应用.近年来,同构的内容涉及面广,如式的运算、大小比较、函数零点、不等式(等式)的证明、求参数的取值范围等,而且题目的综合性逐步增强(2020年的大小比较到2022年的函数零点),同构的技术含量也在增多,要求学生具有较强的观察、运算和分析能力.同构思想突破常规思路,为解题带来了新的思路、新的方法、新的视野.

3 层次三：三读如水面上净心玩月

三读高考试卷,我们对试题的认识(题目的解法、题目的源头)逐步通透,认识通透了,指导学生时方可得心应手,如天上一个月亮,水中一个月亮,我们可以出神入化地玩月.三读,就是要读出命题人设置试题的意图与解题人对试题认识上的差异,只有找到差异,反思自己,才能找出方向,明确目标,这就是三读.

三读,就是要读出试题的情境(题目怎么处理),读出试题命制时的思维轨迹及背景(题目怎么来);三读,就是对题目的处理做到出神入化,能解题知背景.

3.1 读情境

情境主要是指现实情境、数学情境、科学情境.

研读数学试题,要能在问题情境中,把握研究对象的数学特征,抓住其数学本质,形成解决问题的思路,其关键在于阅读.

读懂试题情境必须突破题意阅读关,捕捉题中的关键信息;对信息加工,得到数据所提供的知识和规律,运用数学语言,清晰、准确地表达数学论证和数学建模的过程和结果;通过数学建模的结论和思想阐释科学规律和社会现象;能够合理地运用数学语言和思维进行跨学科的表达与交流,这是高考数学命题的一个重要着力点.

图2

解读情景：直三棱柱ABC-A1B1C1中,由题目所给条件分析出AB=BC=AA1=2,进一步得到该直三棱柱就是由正方体分解而来,因此可在正方体的情境下处理问题.其过程如下：

图3

分析各条件间的关联,将直三棱柱ABC-A1B1C1置于正方体中,其过程就是数学建模,在正方体的情境下处理,解题过程变得简单.

能在复杂情境中,理出问题产生的数学情境,进而优化解题过程,这应该是我们三读试题的追求之一.

3.2 读背景

背景是指命制试题时产生问题的大背景及命题人的思维轨迹.研读高考试题,面对学生,我们不仅仅是指导学生解题,还要追寻数学试题的命题背景及思维轨迹,挖掘试题所潜藏的教育资源,引领学生高观点认识试题,认清数学试题的大背景,掌握研究方法,学会在大背景下思考问题,拓展思维.

(1)求C的方程;

背景初析：设圆锥曲线C：Ax2+By2+Dx+Ey+F=0,过点P(x0,y0)的直线l,m的倾斜角分别为α,β,其斜率分别为k1,k2,直线l,m分别与圆锥曲线C交于A,B与C,D,则

证明：略.

四点共圆背景再析：根据上述结论的推导过程,结合平面几何知识,可发现圆锥曲线以下性质.

性质1：设直线AB,CD的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圆锥曲线的两条相交弦,交点为P,则

(1)两弦AB,CD的倾斜角互补的充要条件是A,B,C,D四点共圆;

(2)两弦AB,CD的倾斜角互补的充要条件是|PA|·|PB|=|PC|·|PD|.

性质2：设直线AB,CD,AD,BC的斜率存在且不等于0,若AB,CD是圆锥曲线的两条相交弦,且AB,CD的倾斜角互补,则AD,BC的倾斜角也互补.

性质3：设A,B,C是圆锥曲线上的三点,且直线BC的斜率存在,若AB,AC的斜率互为相反数(倾斜角互补),则直线BC的斜率与曲线在点A处的切线斜率互为相反数.

以此背景的试题,如2022年新高考Ⅰ卷第21题.

读试题背景,更多的是读出知识背景(高等数学背景)或命制背景,仅用于明确问题处理方向,而问题的处理只能在中学数学的范围内解决.作为数学教师,对试题背景应该有深刻的认识,认清数学试题的大背景,教会学生在大背景下思考问题.

三读高考试题,就是从课标的理念、思想、要求来研读,并在此基础上把握教学,这种处理,就是站在与高考命题专家思想相通的平台上,这样教育教学将变得更有效、更得力、更自如.我们从观月到赏月,再到玩月,随着研读的深入,对试题的认识逐渐出神入化,这既需要较强的专业知识,更需要对教育的情怀!