有限域上两类线性码的构造

李文婷 衡子灵 李晓茹

摘  要：利用定义集的方法构造了两类p元线性码，研究了它们的参数和重量分布.第一类线性码为三重极小码，可用于构造具有安全高效访问结构上的密钥共享方案.第二类线性码为二重线性码，且当p=3时为自正交射影码，可用于构造量子码和强正则图.

关键词：线性码；自正交码；极小码；重量分布

中图分类号：O236.2      文献标志码：A文章编号：1000-2367（2024）03-0098-08

令q=pm，其中p为素数，m为正整数，Fq表示有q个元素的有限域.设非空集合CFnq，若C是Fnq的线性子空间，则称C是q元线性码.如果线性码C的码长为n，维数为k，最小汉明距离为d，则记C的参数为［n，k，d］，其中k表示C的信息位数，k/n称为C的传输效率，d可用于刻画C的检错和纠错能力［1］.特别地，线性码的最小汉明距离即为其中非零码字汉明重量的最小值.令Ai是码长为n的线性码C中所有汉明重量为i的码字个数，则称序列（1，A1，A2，…，An）为C的重量分布，称多项式A（z）=1+A1z+A2z2+…+Anzn为C的重量计算器.线性码的重量分布既能用来计算信息在传输过程中发生错误的概率，又能用来衡量码的纠错能力.

对于Fq上的［n，k］线性码C，定义码字c=（c1，c2，…，cn）∈C的支撑集为supp（c）=｛i∶ci≠0，1in｝.对于C中任意与c线性无关的码字c′，如果总满足supp（c′）supp（c），则称c为极小码字.所有码字都是极小码字的线性码称为极小码.判定线性码为极小码的充分条件如下.

引理1［2］  设C为有限域Fq上的线性码，C中非零码字的最小汉明重量和最大汉明重量分别用wmin和wmax表示.若wminwmax＞q-1q，则C为极小码.

定义线性码C的对偶码为C⊥=｛c⊥∈Fnq∶〈c⊥，c〉=0，c∈C｝，其中〈c⊥，c〉表示c⊥与c的标准内积.显然C⊥为Fq上的［n，n-k］线性码.若d（C⊥）3，则称C为射影码.若CC⊥，则称C为自正交码.当p=3时，判定Fp上线性码为自正交码的充要条件如下.

引理2［3］  设C为有限域Fp上的线性码，p=3，则C为自正交码当且仅当它的每个码字的重量都能被3整除.

线性码具有良好的代数结构以及易于描述和加解密等特性，在计算机系统、通信系统、信息安全、数字签名、多方安全计算以及密钥共享等领域具有广泛的应用.极小码可用于构造具有安全高效访问结构的密钥共

收稿日期：2022-10-24;修回日期：2022-11-15.

基金项目：国家自然科学基金（12271059;11901049）;陕西省高校科协青年人才托举计划项目（20200505）;长安大学中央高校基本科研业务费专项资金（300102122202）.

作者简介（通信作者）：衡子灵（1990-），男，河南南阳人，长安大学教授，博士，研究方向为编码与密码，E-mail：zilingheng@chd.edu.cn.

引用本文：李文婷，衡子灵，李晓茹.有限域上两类线性码的构造［J］.河南师范大学学报（自然科学版），2024，52（3）：98-105.（Li Wenting，Heng Ziling，Li Xiaoru.Construction of two families of linear codes over finite fields［J］.Journal of Henan Normal University（Natural Science Edition），2024，52（3）：98-105.DOI：10.16366/j.cnki.1000-2367.2022.10.24.0001.）

享方案.密钥共享方案是一种设计秘密拆分和恢复方式的方法.2006年，YUAN等［4］提出利用极小码构造密钥共享方案的方法.自正交码在量子码的构造中有重要应用.在量子计算和量子通信中，量子码用于检测和纠正量子噪声引起的错误.文献［5-6］分别给出了量子码的CSS构造和Steane构造方法.利用这两种构造方法，满足一定条件的自正交码可用于构造量子码.射影二重码可用于构造强正则图.文献［7］建立了射影二重码和特定参数强正则图之间的关系.

近年来，大量文献构造了线性码并研究了它们的重量分布［8-16］.DING等［15］提出利用定义集构造线性码的方法.令D=｛d1，d2，…，dn｝Fq，Trq/p（x）=x+xp+xp2+…+xpm-1表示从Fq到Fp的迹函数.构造p元线性码

CD=｛（Trq/p（bd1），Trq/p（bd2），…，Trq/p（bdn））：b∈Fq｝，

其中D称为CD的定义集.通过选取合适的定义集D，可以构造具有良好性能的线性码.YANG等［16］构造了线性码CD=｛（Trq/p（ax2））x∈D∶a∈Fq｝，其中D=｛x∈F*q∶Trq/p（x）∈〈α2〉｝，F*p=〈α〉.文献［17］构造了线性码CD=｛（Trq/p（a1x21+a2x22+…+atx2t））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝，其中D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq＼｛（0，0，…，0）｝∶Trq/p（x1+x2+…+xt）=0｝.

本文主要構造如下两类p元线性码并研究它们的参数及其重量分布.

构造1  令q=pm，S=｛（x1，x2）∈F2q：Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1为奇数，p为奇素数且F*p=〈α〉.构造线性码CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.

构造2  令q=pm，其中p为奇素数，t为正整数，F*p=〈α〉.取定义集

D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq∶Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.

构造p元线性码CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D∶（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

结果表明，第一类线性码为三重极小码，可用于构造具有安全高效访问结构上的密钥共享方案.第二类线性码为二重线性码，且当p=3时为自正交射影码，可用于构造量子码和强正则图.

1  预备知识

令q=pm，其中p为素数且m为正整数，ζp表示p次本原复单位根，F*q=〈β〉.

对任意a∈Fq，定义有限域Fq的加法特征为函数φa（x）=ζTrq/p（ax）p，x∈Fq.特别地，当a=0时，称φ0为Fq的平凡加法特征；当a=1时，称φ1为Fq的典范加法特征.显然，对任意a∈Fq，φa（x）=φ1（ax）.加法特征满足如下正交关系［18］：

∑x∈Fqφ1（ax）=q，若a=0，0，若a∈F*q.

定义有限域Fq的乘法特征为函数ψj（βk）=ζjkq-1，k=0，1，…，q-2，0jq-2.特别地，ψ0和η∶＝ψ（q-1）/2分别称为平凡乘法特征和二次乘法特征.乘法特征ψ的共轭定义为（x）=ψ（x），x∈F*q.乘法特征满足如下的正交关系［18］：∑x∈F*qψj（x）=q-1，若j=0，0，若j≠0.

令φ为Fq的非平凡加法特征，f∈Fq［x］为正次数多项式.形如∑c∈Fqφ（f（c））的特征和称为Weil和［18］.令φ为Fq的加法特征，ψ为Fq的乘法特征，定义有限域Fq上的高斯和为G（ψ，φ）=∑x∈F*qψ（x）φ（x）.

令η表示Fq的二次乘法特征，η′表示Fp的二次乘法特征.对于任意z∈F*p，η（z）=1，若m为偶数，η′（z），若m为奇数.

引理3［18］  令q为奇素数p的方幂.f（x）=a2x2+a1x+a0∈Fq［x］且a2≠0，φ为Fq的非平凡加法特征，则∑c∈Fqφ（f（c））=φ（a0-a21（4a2）-1）η（a2）G（η，φ）.

引理4［18］  令q=pm，p为奇素数且m为正整数.令η，φ1分别表示Fq的二次乘法特征与典范加法特征，则G（η，φ1）=（-1）m-1q，若p≡1（mod 4），（-1）m-1（-1）mq，若p≡3（mod 4）.

引理5［18］  令φ是Fq的非平凡加法特征，ψ是Fq的d阶乘法特征，d=gcd（n，q-1），则对于任意a，b∈Fq，a≠0，∑c∈Fqφ（acn+b）=φ（b）∑d-1j=1j（a）G（ψj，φ）.

引理6［18］  令q为奇素数p的方幂，则-2是Fq中的平方元当且仅当q≡1（mod 8）或q≡3（mod 8）.

令q-1=sN，其中s，N为正整数，且s＞1，N＞1，α为Fq的本原元.定义Fq上N阶分圆类C（N，q）i=βi〈βN〉，i=0，1，…，N-1，则|C（N，q）i|=q-1N.N阶高斯周期定义为η（N，q）i=∑x∈C（N，q）iφ1（x），其中φ1表示Fq的典范加法特征.

引理7［19］  令q=pm，p为奇素数且m为正整数.则

η（2，q）0=-1+（-1）m-1q2，若p≡1（mod 4），-1+（-1）m-1（-1）mq2，若p≡3（mod 4）.   η（2，q）1=-1-η（2，q）0.

令q=pm，p为奇素数，m为正整数，令χ1，φ1分别表示有限域Fq和Fp的典范加法特征，ψ表示Fq的乘法特征，η和η′分别表示Fq和Fp的二次乘法特征.将G（η，χ1）简记为G（η），将G（η′，φ1）简记为G（η′），将线性码中码字c的汉明重量记为wt（c）.设β是Fq的本原元，则α∶＝βq-1p-1是Fp的本原元.

2  三重极小码的构造

令S=｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉｝，其中m＞1为奇数，p为奇素数且F*p=〈α〉.构造p元线性码CS=｛（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∶（a1，a2）∈F2q｝.显然CS的码长为nS=p-12p2m-1.下面研究其重量分布.记N0=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）=0，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

N1=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|，

B=|｛（x1，x2）∈F2q∶Trq/p（a1x21+a2x22）=0｝|.

引理8  令q=pm，p为奇素数且m为正奇数，则B=p2m，若a1=a2=0，

p2m-1，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

证明  由加法特征和乘法特征的正交关系以及引理3可得：B=∑（x1，x2）∈F2q1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（a1x21+a2x22））=1p∑（x1，x2）∈F2q（1+∑y∈F*pχ1（y（a1x21+a2x22）））=

p2m-1+1p∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（ya1x21）∑x2∈Fqχ1（ya2x22）.

若a1=a2=0，則B=p2m-1+1p（p-1）q2=p2m.若a1=0，a2≠0，则B=p2m-1+qp∑y∈F*p∑x2∈Fqχ1（ya2x22）=p2m-1+pm-1G（η）η（a2）∑y∈F*pη′（y）=p2m-1.

同理，若a1≠0，a2=0，则B=p2m-1.若a1a2≠0，则

B=p2m-1+1pG（η）2η（a1）η（a2）∑y∈F*pη（y）2=p2m-1+p-1pG（η）2η（a1a2）.

引理9  令q=pm，p为奇素数且m为正奇数，则N0=p2m-1，若a1=a2=0，

p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m-2+p-1pG（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

证明  由加法特征的正交关系以及引理3得，

N0=∑（x1，x2）∈F2q（1p∑y∈Fpφ1（yTrq/p（x1+x2）））（1p∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22）））=

1p2∑（x1，x2）∈F2q（1+

∑y∈F*pχ1（y（x1+x2）））（1+∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22）））=p2m-2+1p2（Ω1+Ω2+Ω3），（1）

其中Ω1∶＝∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（yx1）∑x2∈Fqχ1（yx2）=0，（2）

Ω2∶＝∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21）∑x2∈Fqχ1（za2x22）=（p-1）p2m，若a1=a2=0，

0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0，（3）

Ω3∶＝∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+yx1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+yx2）.

下面分情况计算Ω3.当a1a2=0时，显然Ω3=0.当a1a2≠0时，根据引理3，

Ω3=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y24za1-y24za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-y24zTrq/p（a-11+a-12））-1），

若Trq/p（a-11+a-12）=0，易知Ω3=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.若Trq/p（a-11+a-12）≠0，根据引理3可得Ω3=G（η）2η（a1a2）（∑z∈F*pG（η′）η′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）-（p-1））=G（η）2η（a1a2）（G（η′）η′（-Trq/p（a-11+

a-12））∑z∈F*pη′（14z）-（p-1））=（1-p）G（η）2η（a1a2），

综上所述，Ω3∶＝（p-1）2G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）=0，（1-p）G（η）2η（a1a2），若Trq/p（a-11+a-12）≠0.（4）

由式（1）～（4）可得N0的值.

引理10  令q=pm，p为奇素数且m为正奇数，则

N+N1=（p-1）p2m-1，若a1=a2=0，（p-1）p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

（p-1）p2m-2，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，（p-1）（p2m-2+1pG（η）2η（a1a2）），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（5）

证明  由N0+N+N1=B以及引理8、引理9可得N+N1的值.

引理11  令q=pm，p为奇素数且m为正奇数，

S2=∑y∈F*p∑z∈F*p∑x1∈Fqχ1（za1x21+y2x1）∑x2∈Fqχ1（za2x22+y2x2），

则S2=0，若a1a2=0，（p-1）2G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，

-（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.

证明  若a1a2=0，显然S2=0.若a1a2≠0，则由引理3得

S2=∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（-y44za1-y44za2）η（za1）η（za2）G（η）2=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p（∑y∈Fpφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）-1）.

當Trq/p（a-11+a-12）=0时，S2=（p-1）2G（η）2η（a1a2）.下面设Trq/p（a-11+a-12）≠0.为了计算S2，考虑以下两种情况.

情况1  令p≡3（mod 4），则gcd（4，p-1）=2.由引理5得

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12）4z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pη′（-Trq/p（a-11+a-12））η′（z）G（η′）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

G（η）2G（η′）η（a1a2）η′（-Trq/p（a-11+a-12））∑z∈F*pη′（z）-（p-1）G（η）2η（a1a2）=

-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

情况2  令p≡1（mod 4），则gcd（4，p-1）=4.定义高斯周期η（4，p）i=∑x∈C（4，p）iφ1（x），其中C（4，p）i=αi〈α4〉，i=0，1，2，3.方便起见，将η（4，p）i记为ηi，将C（4，p）i记为Ci.令tz≡logα（-Trq/p（a-11+a-12）4z）（mod 4），tz∈｛0，1，2，3｝.从而

S2=G（η）2η（a1a2）∑z∈F*p∑y∈F*pφ1（-Trq/p（a-11+a-12）4zy4）=4G（η）2η（a1a2）∑z∈F*pηtz=

4G（η）2η（a1a2）（∑z∈C0ηtz+∑z∈C1ηtz+∑z∈C2ηtz+∑z∈C3ηtz）.

①若p≡5（mod 8），则-1∈C2.根据引理6，4∈C2.若Trq/p（a-11+a-12）∈C0，则

当z∈C0时，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C0；当z∈C1时，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C3；

当z∈C2时，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C2；當z∈C3时，-Trq/p（a-11+a-12）4z∈C1.

由η0+η1+η2+η3=-1可得，S2=4G（η）2η（a1a2）p-14（η0+η3+η2+η1）=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

同理，若Trq/p（a-11+a-12）∈Ci（i=1，2，3），则S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

②若p≡1（mod 8），则-1∈C0.由引理6，4∈C0.类似①可得，S2=-（p-1）G（η）2η（a1a2）.

引理12  令q=pm，p为奇素数且m为正奇数，则N=N1.

证明  令A=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））.一方面，由引理3和加法特征的正交关系得：

∑y∈Fpφ1（y2Trq/p（x1+x2））=p，若Trq/p（x1+x2）=0，

G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈〈α2〉，-G（η′），若Trq/p（x1+x2）∈α〈α2〉，

∑z∈Fpφ1（zTrq/p（a1x21+a2x22））=p，若Trq/p（a1x21+a2x22）=0，0，若Trq/p（a1x21+a2x22）≠0.

从而A=N0p2+（N-N1）pG（η′）.（6）

另一方面，A=q2+∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））+∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））+S2，其中S2=∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*p∑z∈F*pχ1（y2（x1+x2）+z（a1x21+a2x22））.由加法特征的正交关系，

∑（x1，x2）∈F2q∑y∈F*pχ1（y2（x1+x2））=∑y∈F*p∑x1∈Fqχ1（y2x1）∑x2∈Fqχ1（y2x2）=0.

由引理3，∑（x1，x2）∈F2q∑z∈F*pχ1（z（a1x21+a2x22））=（p-1）p2m，若a1=a2=0，0，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0.

再由引理11可得：A=p2m+1，若a1=a2=0，p2m，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0，

p2m+p（p-1）G（η）2η（a1a2），若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）=0，p2m，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0.（7）

由等式（1）、（6）～（7）可得N-N1的值.

定理1  令p为奇素数，m＞1为奇数.则线性码CS是参数为［p-12p2m-1，m，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1］三重极小码，其重量分布如表1所示.

证明  记码字c=（Trq/p（a1x21+a2x22））（x1，x2）∈S∈CS的汉明重量为wt（c）.则wt（c）=nS-N.由引理4、引理10以及引理12可得N的值.当p≡1（mod 4）时，

wt（c）=0，若a1=a2=0，（p-1）22p2m-2，若a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0，

（p-1）22p2m-2+p-12pm-1，若a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1，（p-1）22p2m-2-p-12pm-1，若a1a2≠0且Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1.

由于A0=1，从而CS的维数为m.下面计算每个非零重量的频次，设C（2，q）i=βi〈β2〉，i=0，1，η（2，q）i=∑x∈C（2，q）iχ1（x）.当a1=0，a2≠0或a1≠0，a2=0或a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）=0时，对应重量记为w1.根据迹函数的性质可得Aw1=2（pm-1）+（pm-1）2+（p-1）p.

当a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=-1时，对应重量记为w2，下面计算Aw2.显然|｛a1∈F*q，a2∈F*q：η（a1a2）=-1｝|=（q-1）22.记T-1=|｛a1∈F*q，a2∈F*q：Trq/p（a-11+a-12）=0，η（a1a2）=-1｝|.

从而T-1=1p（∑a1∈C（2，q）0∑a2∈C（2，q）1（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2）））+∑a1∈C（2，q）1∑a2∈C（2，q）0（1+∑y∈F*pχ1（y（a1+a2））））=

（q-1）22p+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+1p∑y∈F*p∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）=

（q-1）22p+1p（∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）0∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2）+

∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）0χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）1χ1（ya2）+∑y∈C（2，q）1∑a1∈C（2，q）1χ1（ya1）∑a2∈C（2，q）0χ1（ya2））=（q-1）22p+

p-12p（η（2，q）0，η（2，q）1+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）1η（2，q）0+η（2，q）0η（2，q）1）=（q-1）22p+2（p-1）pη（2，q）0η（2，q）1.

由引理7得Aw2=（q-1）22-T-1=p-12pm-1（pm-1）.當a1a2≠0，Trq/p（a-11+a-12）≠0且η（a1a2）=1时，同理可得Aw3=p-12pm-1（pm-3）.

当p≡3（mod 4）时，同理可得CS的重量分布.这两种情形下重量分布相同.此外，由引理1容易验证CS是一个极小码.

3  二重线性码的构造

令q=pm，t为正整数，F*p=〈α〉.取定义集D=｛（x1，x2，…，xt）∈Ftq：Trq/p（x1+x2+…+xt）∈〈α2〉｝.构造p元线性码CD=｛（Trq/p（a1x1+a2x2+…+atxt））（x1，x2，…，xt）∈D：（a1，a2，…，at）∈Ftq｝.

定理2  令p为奇素数，t为正整数.则CD是一个二重线性码，参数为［p-12ptm-1，m，（p-1）2ptm-22］，其重量分布如表2所示.特别地，当p=3时，CD既是一个自正交码，又是一个射影码.

证明  利用与定理1类似证明方法，易证CD重量分布如表2所示.特别地，当p=3时，CD的重量可以被3整除.由引理2得，CD是一个三元自正交码.由Pless幂等式易知CD是一个三元射影码.

下面给出一些由Magma生成的例子，由http：//www.codetables.de/中的Code Table可以验证其为最优码.

例1  令t=2，m=2，p=3，则CD为［27，4，18］最优码，C⊥D为［27，23，3］最优码.

例2  令t=2，m=3，p=3或t=3，m=2，p=3，则CD为［243，6，162］最优码，C⊥D为［243，237，3］最优码.

例3  令t=3，m=1，p=3，则CD为［9，6，3］最优码，C⊥D为［9，3，6］最优码.由参数易知CD为NMDS码.

4  总  结

本文通过选取定义集的方法构造了两类具有良好性质的p元线性码，确定了其参数和重量分布.主要结果及其应用如下：1）定理1中构造的线性码CS为三重线性码，且为极小码.

2）定理2中构造的线性码CD为二重线性码.当p=3时，CD是一个自正交码，且为射影码.特别地，CD在一些情形下是最优码.

3）本文得到的极小码可用于构造具有安全、高效访问结构上的密钥共享方案.三元自正交码可用于构造量子码.二重射影码可用于构造强正则图.

参  考  文  献

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Constructions of two families of linear codes over finite fields

Li Wenting， Heng Ziling， Li Xiaoru

（School of Science， Chang'an University， Xi'an 710064， China）

Abstract： Two families of linear codes are constructed based on the defining-set method. The parameters and weight distributions of the codes are studied. The first family of linear codes have three weights and are minimal. They can be used to construct secret sharing schemes with interesting access structures. The second family of linear codes have two weights. If p=3， they are projective and self-orthogonal codes which can be used to construct strongly regular graphs and quantum codes.

Keywords： linear code; self-orthogonal code; minimal code; weight distribution

［責任编校  陈留院  赵晓华］