锚杆（索）在边坡稳定性中的贡献作用探析

杨海星，马杰朋，吉正勇，刘清明，张习文，黎 浩

（四川志德岩土工程有限责任公司 成都 610095）

0 引言

近年来，随着我国经济建设的发展，出现大量人工开挖形成的边坡。为保障人民生命财产的安全，需对人工形成的边坡进行治理。其中锚杆（索）作为一种常见的土工结构，经常用于边坡工程的治理过程中。《建筑边坡工程技术规范：GB 50330—2013》［1］附录A 给出不同滑面形态的边坡稳定性计算分析的方法，但其未给出加固治理后边坡稳定计算方法。目前存在不少数量的工程设计人员，在进行边坡设计时，主要利用商业软件，将岩土参数及设计参数输入软件后，直接查看计算结果。若不满足则重新调整设计参数，再进行验算，直到计算结果满足规范［1］要求。对商业软件的计算过程（或计算书）缺乏解读。

本文基于瑞典条分法及简化Bishop 边坡稳定性分析方法，推导出含锚杆（索）的边坡稳定性计算公式。通过Excel 表格进行对边坡稳定性中的抗力、下滑力及锚杆（索）作用力进行分析，可直观理解边坡稳定性计算中的瑞典条分法及简化Bishop 法分析方法。然后与理正边坡商业软件计算结果进行对比，验证其正确性。最后对锚杆（索）产生的贡献是作为增加抗力还是减少下滑力（即是敌是我）进行探讨。

1 稳定性计算方法

瑞典条分法和简化Bishop 法边坡稳定性计算中常用的两种极限平衡法。均是假设边坡滑面为圆弧面，将滑动土体竖向划分为若干土条，把土条视为刚体，分别求出作用于各土条上的力对圆心的滑动力矩和抗滑力矩，从而求得边坡的稳定性系数。

把滑动土体划为n个土体后，对每个土条进行受力分析，可知整个滑体存在（5n-2）个未知数，通过建立静力平衡方程（3n）和极限平衡方程（n），可得4n个方程，要求求解稳定系数，还差（n-2）个方程。使得稳定性的求解成为一个高次超静定问题。为使问题得以求解，需对条间力采取不同程度上可接受的简化假定，以减少未知数［2］。基于不同的假定，便得到不同的条分法。如瑞典条分法，不考虑条间力作用，简化Bishop法仅考虑条间力中的一个分量。

在条分法边坡稳定性分析中，安全系数是对土体抗剪强度指标的折减程度，即：Fs=tanφ/tanφe=c/ce。式中φ、c为土体的抗剪强度指标，φe和ce为折减后土体的抗剪强度指标。

1.1 瑞典条分法

瑞典条分法中，不考虑条间力的作用，土条仅受重力Wi、滑面以下土体对该土条的法向反力Ni=Wicosθi和切向作用力Ti三个力的作用。

其中根据极限平衡条件：

式中：ci为土体粘聚力（kPa）；φ i为土体内摩擦角（°）；li=bi/cosθi为土体长度（m）；bi为土条水平宽度（m）；θi为土条滑面倾角，滑面倾向与滑动方向相同取正值，相反，取负值；Fs为安全系数。

将每个土条受到的力，对滑弧圆心取距，使其整体力矩平衡：

式中：di=Rsinθi为土条重心距滑弧圆心的水平距离（m）；R为滑弧半径（m）；因Ni方向通过圆心，故法向反力Ni未在式⑵中体现。将式⑴代入式⑵可得瑞典条分法安全系数，计算公式如下：

在瑞典条分法中，仅满足滑动土体整体力矩平衡条件。因其忽略了条间力的影响，致使土条所受3 个力（Wi、Ni、Ti）形成的力三角形一般不闭合，不满足静力平衡条件。直观体现为：土体重力Wi的切向力Twi不等于滑面以下土体对土条的反力Ti。

1.2 简化Bishop法

为使土条满足静力平衡条件，Bishop 法中除考虑瑞典条分法中受到的3 个作用力外，再考虑条间法向力Pi、Pi+1和切向力Hi、Hi+1的作用。在Wi、Ni、Ti、△Pi=Pi+1-Pi、△Hi=Hi+1-Hi作用下，可形成闭合的力多边形。根据竖向平衡条件，可得：

将式⑴代入式⑷可得：

将每个土条受到的力，对滑弧圆心取距，使其整体力矩平衡。因Pi和Hi成对出现，大小相等，方向相反，对圆心力矩和为0，Ni通过圆心，也不产生力矩。只有重力Wi和滑面上的切向力Ti对圆心产生力矩且力矩之和为0，同式⑵所示。将式⑸代入式⑴求得Ti再代入式⑵化简后可得Bishop 边坡稳定性计算公式如下：

式⑹为Bishop 的稳定性计算一般公式，公式中含有未知数△Hi，为能求解，进一步假定条间切向力相等，即△Hi=0，则式⑹可化简为：

式⑺为简化Bishop 法计算公式，因参数mθ i中含Fs，为隐式解，需迭代求解Fs。

简化Bishop 法在不考虑条间切向力和的前提下，满足整体力矩平衡条件，满足条块静力平衡，但不满足条块力矩平衡，满足极限平衡条件。因假设条间存在法向力，得到的安全系数较瑞典条分法略高［2］。

式⑺中若考虑地下水、地表超载、地震等作用，则可变为文献［1］附录A.0.1 所示圆弧滑动边坡稳定性计算公式。

2 锚杆（索）在边坡稳定性中的作用

上述公式计算中的土体边坡的稳定性只要是靠土体自身的抗滑力距与下滑力距对抗，从而得到边坡的稳定。若边坡过陡，土体自身的抗滑力距将无法对抗下滑力距，则边坡的安全储备（安全系数）不够，边坡处于不稳定或欠稳定状态时，需引入土工结构增加抗滑力距或减少下滑力矩，从而使边坡满足一定的安全系数。

在理正岩土商用软件稳定性模块中，对锚杆（索）在边坡稳定性中的贡献均按增加抗滑力（距）考虑［3］，即：

式中：Fi为锚杆（索）作用力，取材料抗拉、锚杆（索）与土体和锚固体的抗拔力的小值（kN）；αji为锚杆（索）与水平面的夹角（读）；Tti-1和Tti-2分别为锚杆（索）提供的切向抗力和法向抗力（kN）；β为锚杆（索）调整系数；λ为锚杆（索）法向力发挥系数；其余参数同上。

即将锚杆（索）的作用分解为两个力：①与滑面相切的切向力Fti=Fi·cos（αji+θi），即Tti-1；②与滑面垂直的法向力Fni=Fi·sin（αji+θi），滑体滑动时，该力产生沿着滑面切线方向的摩擦力Fni·tanφ，即Tti-2。由法向力产生的摩擦力存在考虑去发挥程度，乘以0～1 直接的一个折减系数λ，在《建筑基坑支护技术规程：JGJ 120—2012》［4］中，折减系数为λ=0.5；考虑锚杆（索）作用，则边坡稳定性计算公式变为如下：

瑞典条分法：

简化Bishop法：

式中：sx为锚杆（索）水平间距（m）。

3 算例验证分析

3.1 理正软件计算

某均质土层边坡，坡高8 m，采用1∶0.5放坡，土层重度18 kN/m3，内摩擦角为8°，粘聚力为20 kPa，土层与锚固体摩阻力极限标准值为42 kPa，无地下水。如图1所示。

图1 算例计算简图Fig.1 Example Calculation Diagram （mm）

不考虑地震作用和地面超载作用，利用理正软件计算结果如表1所示。

表1 理正岩土边坡稳定性模块计算结果Tab.1 Lizheng Geotechnical Slope Stability Module Calculation Results

因土条划分的宽度影响会对边坡稳定性计算精度产生影响，为方便手算对比，建立统一标准，将软件条分法的土体划分信息列出，如表2所示。

表2 土条划分信息Tab.2 Soil Bar Division Information

根据计算边坡安全系数小于1.30，采用锚杆进行处治，锚杆参数如表3及图2所示。

表3 边坡治理锚杆参数Tab.3 Slope Treatment Anchor Parameter

图2 治理后边坡计算简图Fig.2 Slope Calculation Diagram after Treatment（mm）

将锚杆相关参数输入软件后（为方便对比，仍采用治理前的滑弧进行计算说明，实际过程中加入锚杆后，最危险滑弧将通过搜索获得，未必为上述滑弧），计算结果如表4、表5所示。

表4 治理后边坡安全系数（理正软件）Tab.4 Slope Safety Factor after Treatment（Lizheng Software）

表5 锚杆作用贡献Tab.5 Contribution of Bolt Action

3.2 表格计算

为和方便理解瑞典条分法及Bishop 法的计算机理及验证式⑽和式⑾与软件计算的差别，采用编制表格计算的方法对上述计算过程进行解读，具体如表6所示。

表6 瑞典条分法（治理前）Tab.6 Swedish Sectional Law（before Treatment）

由表6 可得边坡安全系数Fs=（251.90+65.16）/343.53=0.922 9，与表1中瑞典条分法软件计算结果一致。

因Bishop 法为隐式解，需进行多次迭代后方可得出结果，首先假设Fs1=1.0，Bishop 法表格计算结果如表7、表8所示。

表7 简化Bishop法（治理前，Fs=1.0）Tab.7 Simplified Bishop Method（before Treatment，Fs=1.0）

表8 简化Bishop法（治理前，Fs=0.915 6）Tab.8 Simplified Bishop Method（before Treatment，Fs=1.0）

由表7 可得Fs2=317.852/343.533=0.925 2，与Fs1=1.0 相差较大，令Fs=0.925 2，再次进行迭代。依此类推，令Fs=0.916 7 进行迭代。令Fs=0.915 6 进行迭代，如表8所示。

由表8 可得Fs5=314.505/343.533=0.915 5，与Fs4=0.915 6基本相当。则迭代完毕，用Bishop法计算所得边坡安全系数Fs=0.915，与表1 中Bishop 法软件计算结果一致。

增加锚杆后，锚杆提供的抗力，根据式⑻、式⑼计算如下（见表9）：

表9 锚杆所提供的抗力Tab.9 The Resistance Provided by the Anchor Rod

F1=min（222，π×0.18×4.076×42=96.807）=96.807 kN

F2=min（222，π×0.18×5.295×42=125.759）=125.759 kN

F3=min（222，π×0.18×7.507×42=178.295）=178.295 kN

增加锚杆后，使用瑞典条分法计算边坡安全系数为Fs=（251.90+65.16+116.433+16.427）/343.53=1.310，与表4中瑞典条分法软件计算结果一致。

增加锚杆后，使用简化Bishop 法，利用迭代的方式计算边坡安全系数如表10、表11所示。

表10 简化Bishop法（治理后，Fs=1.312）Tab.10 Simplified Bishop Method（after Treatment，Fs=1.312）

表11 简化Bishop法（治理后，Fs=1.340）Tab.11 Simplified Bishop Method（after Treatment，Fs=1.340）

首先令Fs=1.0，其计算计算数据与表7 相同。通过表7 可得，治理后，边坡的稳定性系数为：Fs2=（317.852+116.433+16.427）/343.533=1.312，与Fs1=1.0相差较大，令Fs=1.312，再次进行迭代，如表10所示。

通过表10 可得，Fs3=（326.928+116.433+16.427）/343.533=1.338，与Fs2=1.312 相差较大，令Fs=1.338，再次进行迭代。依此类推，令Fs=1.340进行迭代，如表11所示。

通过表11 可得，Fs5=（327.560+116.433+16.427）/343.533=1.340，与Fs4=1.340 基本相当。则迭代完毕，用Bishop 法计算所得边坡安全系数Fs=1.340，与表4中Bishop法软件计算结果一致。

3.3 计算结果讨论

⑴表格计算结果与理正软件的计算结果一致，从而进一步证明在理正软件计算中，对锚杆作用的贡献如式⑽和式⑾所示；

⑵瑞典条分法的安全系数求解为显示解，可以一次求得结果，而简化Bishop 法中为隐式解，需多次迭代方可得出结果；

⑶瑞典条分法和简化Bishop 法中对下滑力的处理方法为相同的，其值不随安全系数的变化而变化，均为343.5 kN；

⑷在简化Bishop 法中，安全系数与抗滑力成正比关系，即安全系数越大，抗力值越大；在本算例中，安全系数Fs与抗力值得对比关系如表12所示。

表12 简化Bishop法Fs与抗滑力的关系Tab.12 Relationship between Simplified Bishop Method Fs and Anti-sliding Force

⑸锚杆的作用贡献，在瑞典条分法和简化Bishop法中均将其直接作为抗力，加到稳定性计算的分子中进行处理，其值为定值，不随安全系数变化而变化。而在Bishop 法中，抗力与安全系数存在正比关系，所以软件的处理方式是相对保守的做法。

⑹据表5 和表9 中，计算出每延米锚固段提供的抗力如表13所示。

表13 每延米锚固段提供的抗力Tab.13 The Resistance Provided by the Anchorage Section Per Meter

从表13中可发现，边坡下排锚杆与滑动面的夹角较上排锚杆小。随之锚杆与滑动面夹角的增大，每延米锚杆能提供的锚固力将大幅度减少。因此实际施工过程中，为保障锚杆贡献最大，锚杆与滑动面的夹角应尽可能减少。

4 是敌是我

所谓敌军即指荷载，我军为抗力，某个力（力矩）作为抗力还是作为负的荷载，结果是完全不同的。一般来讲，由于规定的安全系数大于1.0，所以荷载的权更重一些。例如毛泽东的战略思想，就是“集中优势兵力，各个歼灭敌人”，在这样的歼灭战中，往往要求我军人数为敌军的数倍，这个“数倍”就是安全系数［5］。

在上述的计算和推导过程中（理正软件的计算过程），对锚杆的贡献作用均是简单直接的当做抗力，直接加到分子中，这种处理方式显得有点简单粗暴了，但是安全的，具体分析如下：

⑴在简化Bishop 法的推导过程中，每个土条的力多边形是闭合的，理正软件的处理方式显然未将锚杆的作用力融合到力多边形中，导致力多边形不闭合，即加入锚杆后，土条的力多边形不闭合。

⑵由于不确定性和可能存在风险，岩土工程需要安全系数。通过区分荷载与抗力，了解和确定工程结构、构件的安全储备，规定抗力与荷载二者的比值，保证工程的可靠性与安全性。如果问题的有关作用都是准确可知的；或者两个作用具有同样的边界条件，采用相同的计算参数与计算方法，数值相等，方向相反，二者是可以相互抵消的，就无需区分荷载与抗力，也无需进行稳定性分析［5］。在锚杆（索）边坡工程中，对于锚杆（索）均需要通过验收试验来确定其是否满足设计要求，其值同重力一样是准确可知的［6］。因此边坡稳定性计算找那个锚杆（索）的切向分量应该作为负荷载在分母扣除，而不是放在分子上作为抗力。

⑶考虑到土条力多边形的闭合及敌我关系，含锚杆（索）的法稳定性计算公式应调整为：瑞典条分法：

简化Bishop法

式⒀与边坡鉴定与《建筑边坡工程鉴定与加固技术规范：GB 50843—2013》［7］附录A原有支护结构有效抗力作用下的边坡稳定性计算方法相类似；

⑷按式⑿、式⒀计算，在本文算例，Bishop 法计算的安全系数将有大幅度的提高。但关于锚杆切向分力的处理方式，不同的规范有不同的处理方式，如文献［4］就将锚杆的切向分力作为抗力放到分子上处理［8］，如式⑻所示。

⑸ 不同的规范对锚杆的贡献有不同的处理方式，工程设计人员需要明确其计算原理。然后在实际生产过程中，应根据现场实际情况，采用合适的计算方法进行计算［9-10］。

5 结论

⑴本文基于瑞典条分法及简化Bishop边坡稳定性分析方法，推导出含锚杆（索）的边坡稳定性计算公式。

⑵通过编制表格进行对边坡稳定性中的抗力、下滑力及锚杆（索）作用进行计算分析，对边坡设计初学者理解边坡稳定性计算机理具有一定的参考意义。

⑶分析锚杆（索）作用在边坡稳定性的贡献，认为切向力应作为负荷载放到分母中扣除，简化Bishop法中，锚杆的法向力应作为抗力，放在分子上，与重力一同进行计算，保证土条力多边形的闭合。