对导数求参数取值范围问题解法的探究——基于全国甲卷理科第21题的分析

孙 璪 王宇航

(1.遵义四中,贵州 遵义 563006;2.遵义市新浦中学,贵州 遵义 563103)

近年高考导数压轴题中求参数取值范围问题的题目出现频次较高,其中以特殊函数ex与lnx为背景的题目考查较多,但是2023年全国甲卷的导数压轴题以三角函数为背景,大有反套路、考能力的趋势.因此,如何找到求导数取值范围问题的通性通法显得尤为重要.

1 解法概述

分类讨论常常是解决该问题的一种通法.该方法一般是构造函数,然后通过求导、分类讨论、分析其单调性.

分离参数往往是解决该问题的一种重要方法,分离参数在解决恒成立问题时可以有两个角度:全分离和半分离.全分离是将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来,使所研究的函数由动态变为定态,进而可得到新函数的图象、性质(最值),将求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题.半分离是将不等式变形为ax+b≥f(x)或ax+b≤f(x)的形式(其中a为参数,b为常数),然后画出图象,由图象的上下位置关系得到不等式,从而求得参数的取值范围.

必要性探路是解决该问题的一种妙法.必要性探路是指对某些与函数有关的恒成立问题,通过选取函数定义域内的某些特殊值,先得到一个必要条件,初步获得参数的范围,再在该范围内进行讨论,或去验证其充分性,进而得到参数的准确范围的方法.在验证其充分性的时候,往往需要结合“矛盾区间”进行说明.

泰勒展开是解决该问题的一种优法,许多高考题的命制如含有ex与lnx的题目,通常都是把其函数的泰勒展开式的几项进行直接变形,或取倒数、对数进行演绎变形,然后再结合添加参数设计而成.具有泰勒公式背景的高考数学试题大致可以分成两类问题,一类是根据不等式恒成立求解参数范围,一类是证明不等式恒成立[1].

2 解法探讨

(1)当a=8时,讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)

2.1 分类讨论,直面问题

本题的背景是三角函数,可通过构造函数用含参讨论法,讨论a在不同取值范围函数的单调性,从而知道所构造函数在定义域的最大值和零的大小关系.

又00.故h(t)在(0,1)上单调递增,则h(t)

所以当a∈(-∞,3],f(x)

当t∈(t0,1),h(t)>0,即t00,即g(x)单调递增.所以当x∈(0,x0),g(x)>g(0).又g(0)=0即g(x)>0,不合题意.

综上,a的取值范围为(-∞,3].

2.2 分离参数,数形结合

本题采用“半分离参数”法较为合适,可把条件f(x)

又3-2cos4x>0,故m′(x)>0.

2.3 必要性探路,降低讨论

必要性探路是先考虑函数的端点,再结合“矛盾区间”得出参数的取值范围的方法.“端点效应+矛盾区间”是一个完整的解题过程,其重点在于“矛盾”而非“端点”.缺少“矛盾区间”说明的解法,得到的仅仅是一个必要条件,显然过程是不完整的.

所以g′(x)≥0,即3-a≥0.

2.4 泰勒展开,揭示本质

由泰勒展开式,我们可以得到:

由sin2x>f(x),得sin2x+tan3x+tanx-ax>0.

即sin2x+tan3x+tanx-ax>3x-ax.

②若a>3,同必要性探路解法.

3 结束语

处理导数中的参数取值范围问题有四个层次,正如本题的不同解法反映了不同的思维水平一样.学习导数的第一层次是“直接求导,分类讨论”,第二层次是“参变分离,数形结合”,第三层次是“端点效应,降低讨论”,第四层次是“泰勒展开,揭示本质”.如果学生解题总是只停留在第一层次就会自我设限,画地为牢,没有探究到导数的精髓.因此,我们倡导去探究通法通解,不被题目背景的表象所迷惑,去接近问题的本质.