2008年全国高考江苏卷物理试题第8题的定量分析

李红伟 姜付锦

(1.杭州市余杭第一中学,浙江 杭州 311100;2.黄陂一中试题研究中心,湖北 武汉 430300)

数值模拟技术起源于西方发达资本主义国家,全世界主要有以下四个数学软件运用得最多,它们分别是Mathematica(美国)、Maple(加拿大)、Matlab(美国)、Mathcad(美国).主要是用来做工程计算,普遍应用于机器制造、建筑设计等领域.当下高中物理中有一类试题,可以用定性或半定量的方法来分析它,但是总觉得分析得不是很到位.若要定量研究则需要解高阶微分方程或方程组,对一线物理老师来讲有一些困难,但是我们可以用上面提到的数值模拟软件来分析这些问题,还可以让结果与过程可视化.

1 题目

如图1所示的电路中,三个相同的灯泡a、b、c和电感L1、L2与直流电源连接,电感的电阻忽略不计.电键K从闭合状态突然断开时,下列判断正确的有( ).

图1 电路图

A.a先变亮,然后逐渐变暗

B.b先变亮.然后逐渐变暗

C.c先变亮,然后逐渐变暗

D.b、c都逐渐变暗

1.1 定性分析

设电键S闭合时每个灯泡流过的电流为I,则流过电感L1的电流为2I,流过电感L2的电流为I.断开电键S的瞬间,通过电感上的电流不会发生突变,L1中的电流从2I减小到零,L2中的电流从I减小到零,b,c中的电流都从I减小到零,a中的电流从2I减小到零,故b,c逐渐变暗,a先亮一下后逐渐变暗,选项AD正确[1-2].

点评通电自感和断电自感是较常见的现象,判断在开关通、断的极短时间内的电流的变化是难点所在.关键是要掌握电流变化的一般规律:电感线圈中的电流不能突变,因为自感电动势总是在阻碍电流的变化,根据电流的变化规律,就可以顺利地解决灯泡亮度变化的问题.

1.2 一种错误的认识

假设电键S闭合时每个灯泡流过的电流为I,则流过电感L1的电流为2I,流过电感L2的电流为I,也就是断开电键S后两线圈感应电流的最大值.S断开瞬间,线圈L1、L2都产生自感电流,按照基尔霍夫定律来分析,流过a的电流最大值是5I/2,方向向上,流过b的电流最大值为I/2,方向向下,流过c的电流最大值为2I,方向向下,在此基础上,各灯泡的电流都减弱,则结果应是:a先变亮,然后逐渐变暗;b逐渐变暗;c先变亮,然后逐渐变暗,答案为AC.文中既没有相应的微分方程求解,也没有认识到电感线圈中的感应电流不能突变[3],笔者认为这种观点是错误的,在下文会对其进行理论分析.

2 定量分析

设S断开后某时刻L1中的电流为I1,L2中的电流为I2,三个灯泡的电阻均为R,电感线圈的电感分别为L1、L2,则根据基尔霍夫定律可知[4]

由部分电路欧姆定律可知

电路的初始值状态为I1(0)=2I,I2(0)=I

2.1 利用Maple13解方程组

利用Maple13强大的符号运算能力来求解上述方程很方便,如图2所示.

图2 用Maple13 求解方程组

方程组的解为

2.2 数值模拟

令L1=2 H,L2=1 H,R=10 Ω,I=1 A,数值模拟如图3所示.

图3 用Maple 13数值模拟

由图3可知a中的电流先变大后逐渐变小,b,c中电流逐渐变小,答案AD正确.还可以知道b中的电流比c中的大,这是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.

2.3 拓展研究

研究电键S闭合后的三个灯泡中电流的变化规律,设电源的电动势为E,内阻为r,三个灯泡中的电流分别为I1、I2、I3,根据基尔霍夫定律有

令L1=L2=1H,R=r=1Ω,E=1V,利用Maple13解方程和数值模拟如图4所示.

图4 Maple13解方程和数值模拟

由图4可知,a的电流逐渐变小,b,c的电流逐渐变大,最后三个灯泡一样亮.还可以知道b中的电流比c中的大,这是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.

2.4 电感、电阻和电容在电路中作用

只有电阻的单棒或双棒模型规律是以e为底的指数函数,达到稳定状态的时间理论是无穷大,在设定比较小的数据时,物理规律很可能不自洽,所以在命题时最好用字母来表示.电磁感应电路中电阻和电感是两种非常重要的元件,电阻的作用类似力学中摩擦力起耗散作用;电感的作用类似力学中的弹簧,起储存或释放能量的作用;若两者都没有,则题目容易出问题;若电路中只有电感,则电路中电流是简谐振动;若是电阻和电感组合,则电路中电流是阻尼振荡.电容器在电磁感应中的作用也类似弹簧,电容必须与电阻或电感搭配起来,否则电路不能工作,其本质类似一个质量为C(BL)2的物体与真实的物体通过轻绳连接后作用过程,电容器上的电场能类似这个物体上的动能;若电路中有电阻没有电感,则电容器充电完成或放电完成所需时间理论上是无穷大.

3 结束语

通过对这个问题的研究不难发现,由图3可知a中的电流先变大后逐渐变小,b,c中电流逐渐变小,最后三个灯泡一样亮.还可以知道b中的电流比c中的大,这是因为当电流变化时c所在支路中的电感有感抗.现在高考题的趋势是正在向大学物理题转型,所在平时的教学中我们可以先对其进行定性分析,然后借助专业软件对其进行数值模拟来验证上面的定性分析,这对提高学生分析问题的能力和研究能力是很有帮助的.