巧用导数求解含参函数零点问题——以2022年全国乙卷第21题为例

王 慧

(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州 225009)

含参函数y=f(x,t)是随参数变化而变化的动态函数,含参函数零点问题既是高考常考的热点,也是难点.解决问题的关键是对参数的处理,有直接讨论、分离参数两种解决思路.本文基于这两种思路,以2022年全国乙卷(理)第21题为例,给出三种解法,并对解法进行再反思.

1 真题再现

题目(2022年全国乙卷(理),21题)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x,

(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围.

第(1)问先算出切点,再求导得出斜率,最后根据点斜式方程便可得到切线方程;第(2)问是含参函数的零点问题,函数中包含学生熟知的以e为底的对数函数和指数函数,但又包含具有变化性的参数,所以它考查学生思维的灵活性、创新性,综合运用知识的能力以及数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.下面是对第(2)问解法的探究.

2 解法探究

2.1 直接讨论法

解决函数零点问题最直接的办法就是求导,根据导数的正负性得到函数的单调性和极值、最值的符号,进而根据零点存在性定理判断函数零点的存在情况[1].但对于含参函数来讲,它是随参数变化而变化的动态函数,并且原函数和导数中都含有参数,所以在判断函数单调性时,就要考虑参数对某一区间内的单调性判断是否有影响,如果有影响,必须分类讨论.

解法1(ⅰ)当a≥0时,在(0,+∞)内ln(1+x)>0,axe-x≥0,即f(x)>0.

所以f(x)在(0,+∞)内无零点,不合题意.

显然g′(x)在(-1,+∞)内单调递增,且g′(-1)=e-1+2a,g′(0)=1.

所以g(x)>g(-1)>0,即f′(x)>0.

所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.

又f(0)=0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)内都没有零点,不合题意.

②当g(x)<0,即a<-1时,存在x1∈(-1,0),x2∈(0,1)使g(x1)=g(x2)=0.

对f(x)的单调性分析见表1:

表1 f(x)的单调性分析

因为f(0)=0,所以f(x1)>0,f(x2)<0.

又当x→-1时,f(x)<0,当x→+∞时,f(x)>0,所以f(x)在(-1,0),(0,+∞)内各恰有一个零点.

综上所述,a的取值范围是(-∞,-1).

第(2)问处理的关键是在第(1)问中已算出f(0)=0,以及对参数a的分类,肯定与否定并用,否定只需说明在区间(-1,0)或(0,+∞)内f(x)没有零点即可.

2.2 分离参数

函数的零点问题可以转化为函数图象与x轴的交点问题,也可以转化为两个函数图象的交点问题,对于含参函数来说,通常是常函数与不含参的函数,或者是含参的一次函数与不含参的函数.

2.2.1完全分离参数

故h(x)在(-1,+∞)内单调递增.

又h(0)=0,所以对g(x)的单调性分析见表2:

表2 g(x)的单调性分析

由极限思想可画出y=g(x)的大致图象.

由图知当a<-1时,满足曲线y=g(x)与直线y=-a在(-1,0),(0,+∞)内各有一个交点,综上, 符合题意的a的取值范围是(-∞,-1).

利用导数绘制函数g(x)的图象,然后通过平移直线y=-a得到符合题目要求的a的取值范围.

2.2.2不完全分离参数

令f(x)=0,得到ln(1+x)ex=-ax.将原问题转化为函数g(x)=ln(1+x)ex的图象与直线y=-ax的交点问题.

解法3令g(x)=ln(1+x)ex,显然g(x)在(-1,+∞)内单调递增,由极限思想可画出g(x)的大致图象.

设曲线y=g(x)与直线y=-ax在[0,+∞)内的切点为(x0,-ax0),则有

解得x0=0,a=-1,此时曲线y=g(x)与直线y=-ax在(0,+∞)内没有交点,在(-1,0)内有一个交点.

所以当a<-1时,满足曲线y=g(x)与直线y=-ax在(-1,0),(0,+∞)内各有一个交点.

综上,符合题意的a的取值范围是(-∞,-1).

此方法将a赋予了更明确的几何意义——斜率,根据两个函数在切点处的函数值和切线斜率相同,算出相切情况下a的值.此处函数g(x)比较特别,它在(0,+∞)内的图形是凹的,而且在曲线y=g(x)与直线y=-ax相切时,以及在旋转直线y=-ax使两者在(0,+∞)内相交的过程中,两者在(-1,0)内恒有交点.

3 结束语

这两种思路都是利用导数解决含参函数零点问题的常用方法.对于这三种解法各有利弊,直接讨论法是解此题型的通用方法,其关键是对参数的处理,需要熟练掌握一元一次、一元二次、分式、指数、对数等不等式的解法,而且有时还会涉及隐零点问题.在遇到无法求解的不等式时,通常需要二次求导来研究[2],解题过程复杂、繁琐,这就要求学生思维缜密细致,并且对学生的数学运算能力、逻辑推理能力等要求较高.

完全分离参数法借助数形结合,经过平移直线与曲线相交,进而得到参数的取值范围,但是并不是所有的函数都能分离出参数.不完全分离参数法实际上也是从函数图象入手,将零点问题转换为两个函数图象的交点问题,但与完全分离参数法不同的是,它是从两个函数图象相切的临界情况入手,再通过直线绕定点旋转,得到曲线和直线相交且符合题意的情况,进而求出参数的取值范围.需要注意的是,这种方法只适合于在整个定义域内凹凸性不变的函数,或者在某个区间凹凸性不变,在另外的区间内恒符合题目要求的函数.

参数分离法虽然避免了对参数进行分类讨论,但是它是借助数形结合思想来解决问题,缺乏严谨性,而且在刻画不含参部分函数的大致图象时,会借助极限思想.而极限思想对高中生的思维来讲较困难,所以这个方法更适合用于选择题或填空题中.

在高中数学知识库中,函数占有很大比重,而导数是其中的重中之重,并且在高考选择题、填空题、简答题中都有所涉及.所以这就要求教师在教学时善于使用教材进行教学,帮助学生构建完整的知识框架.另外在教学过程中,教师要有意识地培养学生设而不求、分类讨论、等价转化、数形结合等思想,以及发展学生逻辑推理、数学运算、直观想象等数学学科素养.