基于数学史的数学概念教学模式探索——以“弧度制”教学为例

秦再梅,倪 萌,王罗那

(1.长兴金陵高级中学,浙江 长兴 313100;2.湖州师范学院 理学院, 浙江 湖州 313000)

0 引 言

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称“新课标”)提出,要进一步精选学科内容,重视以学科大概念为核心,使课程内容结构化;以主题为引领,使课程内容情境化,促进学科核心素养的落实[1].数学概念是数学学习的基础,数学概念教学对数学教学至关重要.理解数学概念是真正实现学生数学发展的前提.

无论是目前已有的数学概念教学模式的研究,还是数学教材编排的研究,大都从实例或情境出发,归纳共性,抽象概念.概念教学方法单一,看似是学生直接经验与间接经验的结合,是实现以学生为本的发现学习.在实际教学中,易形成以结果为导向、过程形式化的教学模式.概念不是数学家们凭空构造的,有着产生发展的合理性和必要性.在概念教学中介绍数学概念的历史发展,有助于帮助学生理解概念,从而形成完整的概念体系.本文基于数学史对数学概念教学模式进行探索,并以“弧度制”教学为例进行教学实践.

1 概念教学模式

数学概念是人类对现实世界空间形式和数量关系的概括反映,是建立数学法则、公式、定理的基础,也是运算、推理、判断和证明的基石,更是数学思维、交流的工具[2].数学概念主要来源于两个方面：一是对现实世界事物或关系的直接抽象;二是抽象逻辑的纯数学构造.抽象是形成概念的必要手段,在概念教学中,除帮助学生理解和掌握数学概念外,其教学过程也是培养学生数学抽象素养的良好载体.

数学概念的学习包括两种基本方式：概念形成和概念同化.概念形成是从多个不同的具体实例或情境出发,引导学生发现共同特征,抽象出概念的本质属性,从而得到概念.概念同化是从学生已掌握的概念出发,通过新旧概念之间的联系,使学生掌握新概念.已有的概念教学模式大多采用这两种方式,有时也会将这两种方式结合运用.例如,张敏提出概念教学的框架结构：创设情境→归纳共性→概括定义→深化理解,即从典型、丰富的具体实例出发,通过自己的实践活动,由具体到抽象、由特殊到一般,从中归纳、概括出一类事物的共同本质特征,从而理解和掌握概念[3];潘超提出概念教学的框架结构：辨别实例,概括属性(建立表象)→抽象本质;提出定义(定义概念)→联系旧知,辨析概念(辨析概念)→强化应用,明确外延(应用概念)→融合概念,形成体系[4].另外,以人教版普通高中《数学》教科书必修第一册中3个核心概念为例,集合概念是以学生生活中和数学中的10个例子作为导入;函数概念是以“复兴号”高速列车行进路程和时间、电气维修公司工作工资和天数、北京空气质量指数变化图、国际上常用的恩格尔系数4个问题情境作为导入;三角函数概念是以数学情境作为导入,给出概念定义.这类概念教学模式存在着弊端,如果说得到概念是教学目标,那么在一步步的教学流程中,学生的反应则是被设定好的,即需要在教师的引导下,归纳出特定共性,抽象出正确概念.而学生在这样的概念课学习中会产生一些常见的疑问,如这个概念是怎么产生的?(必要性)为什么要学习这个概念?(重要性)等.这是现有的概念教学模式所忽视的.

数学的严谨呈现为“冰冷的美丽”,但数学的发现却是“火热的思考”[5].概念教学应将概念的形成和发展过程尽可能地展示给学生,以实现学生对概念的深入理解.新课标提出,在教学活动中,教师应有意识地结合相应的教学内容,将数学文化渗透在日常教学中,引导学生了解数学的发展历程.将数学文化融入教学,有利于激发学生的数学学习兴趣,开拓学生的视野,提升学生的数学学科核心素养[6].数学史记载着数学知识和思想的形成过程,有助于教师理解数学学科的整体结构、思想方法和特定主题,以及预测和评判学生的认知困难.因为个体对数学理解的发展遵循数学思想的历史发展顺序,即通常所说的“ 历史相似性”.正如弗赖登塔尔认为：“ 年轻的学习者重蹈人类的学习过程,尽管方式改变了”[7].教师可以借助概念历史发展把握教学内容和学生现实,以实现有效教学.本文基于数学史对数学概念教学模式进行探索,构建引入历史使概念发现化、创设情境使概念具体化、合作探究使概念抽象化、精准定义使概念规范化、正确应用使概念理解化5个环节的概念教学模式,见图1.

2 基于数学史的概念教学

弧度制是高中阶段学习的一个重要数学概念,其本质是以长度来度量角大小的单位制.弧度制是学习三角函数的基础,是几何与代数联系的桥梁,有利于实现数学公式的简洁性和数学体系的一致性.本文以“弧度制”教学为例,探讨基于数学史的数学概念教学模式.

2.1 引入历史,使概念发现化

数学是一门抽象的科学,但并不脱离生活现实,其形成和发展的基础来源于人们对现实生活的理解.新课标提出“四基”,即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.掌握基础知识是形成基本技能、基本思想、基本活动经验的基础.而数学概念是数学基础知识的基石,其产生和发展也有其合理性和必要性.然而,传统的概念教学往往忽视数学概念产生的历史,数学教材一般将数学史作为拓展放在前言或结尾,教师在实际的教学中常常简单带过,或直接跳过交由学生课下自主阅读.若教师能够向学生介绍概念的历史发展,将学生代入前人的角色,并体验概念发现的过程,实现概念的发现化,则将会更好地激发学生的学习兴趣,改变学生认为数学概念完全是由数学家们闭门造车产生出来的错误观念.同时,教师在收集相关数学概念史资料的过程中,也会对概念的内涵和外延认识得更加深入,对学生在学习概念时遇到的困难也会有更全面的预估.

例如,在“弧度制”概念教学中,教师可首先介绍角度制：约在公元前2 000年,古巴比伦人认为一年大约有360天,创设性地将圆周划分为360度,每度分为60分,每分再划分为60秒.而引入弧度制不仅仅是方便计算或人们更习惯用长度来衡量一个量,更重要的是实现几何与代数的联系.1748年,瑞士数学家欧拉在他的著作《无穷小分析概论》中提出用半径来作为弧长的度量单位,使一个圆周角等于2π弧度,这就是现在所学习的弧度制的来源.通过了解数学史,学生可以经历弧度制概念形成的过程,更好地了解概念,感受数学的魅力.

2.2 创设情境,使概念具体化

数学学科多是抽象的,其学习过程需要学生具有极强的逻辑思维能力和抽象思维能力.很多学生对数学学习的感受是难且枯燥.针对这种情况,教师在概念教学时应创设丰富多样的实例或情境,实现概念具体化;在增加课堂趣味性的同时,拉近数学与实际生活的距离,让学生感受数学的重要性,从而提高学生学习的积极性;通过创设情境驱动学生学习,在简单问题链的设置下关注知识的自然生长,引领学生的思维发展,培养学生的数学抽象素养[8].

例如,在“弧度制”概念教学中,可创设情境：在没有量角器的情况下度量学校花坛的大小.针对此情境,教师可用问题驱动的方式来完善情境设计,并推动学生进入情境开始思考.

问题1在之前的数学学习中,我们学习了长度、面积、体积等量,度量这些量需要不同的单位.而单位是非常需要注意的,如身高1.8 m,如果用单位cm,就应写成身高180 cm,否则就会闹笑话.那我们用什么工具度量角度的大小?度量角度的单位是什么?

学生答：用量角器度量角度的大小,度量的单位是度(°).

问题2图2是校园花坛,若我们手上的工具只有皮尺,没有量角工具,如何测算每一个扇形的面积?前面我向大家介绍了古巴比伦人和欧拉的智慧,如果代入数学家们的思维,他们会如何解决此问题?

设计意图：在创设情境中,只有皮尺测量长度,由此引发学生思考：仅有长度,如何测量和计算扇形的面积.同时引导学生利用前面弧度制历史发展的介绍,理解弧度制出现的必要性,代入数学家角色尝试用长度度量角度.

在创设情境中,教师也可用实物来激发学生兴趣.例如,在讲解指数函数时,可通过折叠报纸让学生理解指数的特征;在概念教学时,可通过创设与学生日常生活息息相关的教学情境,为学生营造出积极、和谐的学习氛围,并通过问题驱动的方式提高学生在数学课堂学习中的参与度和主动性.

2.3 合作探究,使概念抽象化

在教学过程中,教师需要充分调动和发挥学生的主体性,正确处理预设与生成之间的关系,即在概念教学过程中实现学生从预设具体情境中生成抽象概念的自然性.数学概念的生成是一个循序渐进的过程.通过合作探究的方式可以营造一种主动研究、探索和不断创新的氛围,使学生间相互合作、充分互动,给学生提供解决思维困顿的契机,使学生的逻辑思维更加缜密,在教师的引导下一步步探求概念本质,从而实现概念的抽象化[9].

例如,在“弧度制”概念教学中,可创设以下探究题目：

(1)请学生通过动手画图的方式,将花坛用数学语言表述(图3),形成数学问题.

(2)以O为圆心,C、D和B、A分别在同一圆上,使用皮尺测量对应的弧长和半径.

①弧CD和弧BA所对应的圆心角是多少?相等吗?

②弧CD和弧BA与其所在圆的半径比值分别为多少?相等吗?

探究要求：学生按照教师的要求合作画图,探究弧度制的本质,并请一位学生代表本小组交流探究结论.

设计意图：让学生全程自己动手,合作探究用圆心角所对弧长与半径的比值来度量对应圆心角是否合理,使学生对弧度制的理解更加深刻.从具体情境中理解概念本质,实现概念抽象化,有利于培养学生的数学抽象思维和逻辑推理的能力.

2.4 精准定义,使概念规范化

考虑到学生的数学认知水平,要实现用数学语言准确表述数学概念的定义是有难度的.而数学概念是非常精炼且严谨的,不能多一个字或少一个字.学生合作探究抽象出的数学概念可能会比较接近概念的定义,但还是会有差距的,这就要求教师适时点出概念,并对概念中的每一个词语作准确的解释,对比学生合作探究得出的概念抽象结论,将概念讲清楚、讲透彻,从而使学生准确把握概念的本质,实现概念的规范化.

例如,在“弧度制”概念教学中,可设计以下表格(表1),让学生发现弧度制长度(l)与圆心角(n)的关系.

学生1：圆心角相等的扇形,它们的弧长与半径之比不变.

学生2：当改变扇形圆心角大小时,上述比值会随之改变.

教师适时点出概念,规范定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角称作1弧度(radian)的角,弧度单位用符号rad表示,读作弧度.

2.5 正确应用,使概念理解化

概念教学本身是比较有难度的,在考试中对概念的考察也常在应用方面.因此,很多教师尽管明白数学概念的基础性和重要性,但在实际教学中还是会为提高教学速度和效率而忽视概念理解,将大部分的教学时间放在概念的应用方面,从而陷入概念教学的误区.应用概念是为更好地理解概念,而理解概念才能真正实现有效教学,帮助学生正确地应用概念.概念教学是数学教学的重要环节,能否对概念进行正确地应用是概念教学重要的一部分.[10]数学概念是抽象的,为帮助学生深入理解数学概念,在概念教学过程中,教师应注意把课堂还给学生,给学生留出练习思考的时间,引导学生从应用概念中发现问题、讨论问题和解决问题,以实现对数学概念的内化和对概念体系的构建.是否能够正确地应用概念也是衡量概念教学质量的重要标准.

例如,在“弧度制”概念教学中,教师可引导学生画出花坛的简单数学模型(图4).通过运用尺子,直接测量出花坛的半径.

问题已知每个扇形的大小相同,假设测量出的花坛半径为50 m.分别用角度制和弧度制的方式,求出每个扇形的弧长为多少?

设计意图：在规范弧度制概念定义后,设计一些关于弧度角的实际练习和问题情境,如弧度与角度之间的相互转化、扇形的弧长面积等,让学生再次解决创设情境中的问题,从而帮助学生正确应用概念,实现有效的概念教学.

3 结 语

历史能够帮助教师按自然的顺序呈现各个数学概念,减小各知识点之间的跨越度,从而为开展课堂活动提供生动而有意义的资料.如何将数学史与课堂相结合?首先,教师必须了解本学科的基本发展史,并在此基础上确定其中关键的发展步骤,如一些认知障碍的出现;然后,按照课堂和学生的实际情况重新构建这些关键步骤,直接或间接地使用历史材料设计教学方案.真正实现基于数学概念历史发展的概念教学,不仅需要教师增强数学史的知识储备,在实际教学中考虑学生的认知基础,还要在教材编制方面进行适当调整.只有重视概念教学,不断探索创新概念教学模式,才能实现数学课堂教学质量的提高和学生的数学发展.