对分课堂在线性代数课程教学中的应用*

汤乐

南京理工大学紫金学院 南京 210023

0 引言

对分课堂一词最早由复旦大学心理学系教授张学新提出，并于2014年春季学期在心理学研究方法与实验设计课程中首次使用[1]。其核心是将课堂一分为二，一半时间为教师讲解，另外一半时间为学生讨论。此教学方式将讲授式和讨论式教学相结合，强调学生在课堂教学中的参与性，对提升学生的学习能力和教学效果有较好的作用。

1 传统课堂教学存在的问题

传统讲授式课堂以教师为中心，侧重于教师对课程内容的准备及课堂讲解，基本上是教师一人从头讲到尾，学生被动接受。这种“填鸭式”的教学形式，一味地灌输知识，课堂节奏快，讲授内容多，学生缺少思考和消化的时间，从而对后续内容的理解产生障碍，对学生的学习兴趣产生不良影响。

传统课堂与迅速发展的新式教学手段和教学方式之间存在一定的隔阂，如微课、慕课、网课等是学生比较常用的学习辅助工具，学生可以不受时间和空间的限制，利用碎片化时间来学习知识点。相比于传统课堂上的做笔记，学生更乐于课上拍照作为记笔记、课后看视频作为复习。学生学习习惯的改变促使传统课堂教学必须与时俱进，以适应新的教学手段和教学理念。

传统的讲授式课堂教学对培养学生的自主学习和创新能力有所限制，学习内容、重点难点、概念理解、方法总结等都是经过教师整理搜集处理后再对学生讲解，学生对知识的理解与掌握缺乏主动探索的过程，仅仅停留在教师怎么说，教材怎么写，自己怎么理解的层面，不利于形成自己的观点，也不善于挖掘不同知识之间的内在联系，更不擅长对知识作延伸。

2 线性代数课程的特点

线性代数是本科院校比较重要的一门数学基础课，是学习计算机、经管等专业课程的重要工具。与其他数学类课程相比，线性代数是一门相对独立的数学课程，对学生的数学基础要求不高。因此，线性代数入门相对容易，尤其是开始章节中的行列式或者矩阵部分的内容，学生接受度比较高[2]。然而，不同于高等数学这样的数学课程，线性代数概念多，而且比较抽象，尤其是每个概念所涉及的性质、定理比较多，要灵活运用这些概念和性质，对一部分学生而言有一定难度。并且章节之间的联系也较为紧密，矩阵与向量、线性方程组之间的关系尤为突出。能够比较深入地理解不同概念之间的联系，综合运用各种方法和手段来解决问题是学习这门课程的难点。另外，线性代数特别注重逻辑分析和方法技巧，作业和考试中有不少关于概念的结论判断和命题证明，这些往往是很多学生的薄弱点[3]。鉴于学生对抽象概念和理论逻辑掌握的困难度，在日常教学和考核过程中，一般以基本的线性代数概念和运算讲授为主，对不同概念之间的联系点到即止，对技巧性强的理论证明则尽量规避，重点训练学生做题的熟练度，从而使其达到掌握基础概念和运算法则的要求。

3 对分课堂的优势

对分课堂是将讨论式的学习模式引入课堂，弱化教师在课堂中的主导地位，提倡学生自主学习，通过课后自学和课堂讨论激发学生的学习兴趣和创新能力。具体分为讲授（Presentation）、内化吸收（Assimilation）和讨论（Discussion）三个环节，简称PAD课堂。其中讲授环节由教师完成，原本的整节讲授时间减少到一半的课堂时间，内容也要作相应精简；内化吸收环节由学生课后完成，在这期间，学生完成教师布置的课后学习任务，从而对课堂上教师没有完全讲授的内容进行补充、完善和深化；讨论环节为学生分组进行课堂讨论，时间一般为20～25分钟，课堂讨论是学生相互学习、分工协作的过程，通过讨论和交流完成知识点的查漏补缺，从而达到对课程内容的掌握。

对分课堂完成了课堂中教师的角色转换，由原来教师一人主导的教学模式转为师生共同参与，这在一定程度上减轻了教师的教学任务，教师有更多的精力关注学生的课堂掌握情况，及时发现学生在学习过程中出现的各种问题，及时调整教学方案以适应学生的学习需求，真正做到因材施教。同时，教师与学生在课堂上的互动更为直接，采用的教学素材更加具有针对性，教学效果也更为明显[4]。对学生而言，课堂讨论使每一位学生更加重视过程化学习，在目标任务驱动之下，需要挤出时间来研读教材、查阅学习辅导书、观看教学视频等，以此来消化重要的知识点。同时，学习中遇到的疑惑和困难，在课堂讨论中也变得豁然开朗，这种自主参与、自主学习的方式，能够激发学生的学习潜能，培养学生良好的学习习惯。

对分课堂强调学生的过程化学习，因此，要对以期末考试成绩为主的考核评定方式进行优化。以往成绩评定由学生的出勤、作业和期末考试成绩三部分构成，绝大多数学生在出勤和作业方面都能较好地完成，但其过程化学习存在许多问题。如：部分学生课堂上不是用心在听讲而是在刷手机，课堂提问常常是教师自问自答，学生课后作业解题过程模板化，等等。传统的出勤和作业考核很难做到对学生学习情况的客观评价，因此，教师不得不加大期末考试成绩的占比，由此带来的影响是不及格率偏高，班级总体成绩不够理想。而课堂讨论可以比较客观地反映学生在课后内化吸收的效果，改变学生滥竽充数的平时表现。因此，加大平时成绩占比是对学生过程化学习的一种认可，对激发学生的学习兴趣和提高班级成绩都能起到积极作用。

4 对分课堂的实施

4.1 了解学生的认知结构

本科院校不同专业、不同层次的学生都开设了线性代数这门课程，不同班级的学生情况是不同的，有些班级的学生外省份、偏远地区人数较多，有些专业文理兼收，有些班级的学生是从中职学校进到本科学校的，越过了高中学习阶段，还有部分学生有线性代数的学习经历等，这些情况都反映出学生在数学认知结构、学习习惯及学习能力等方面存在差异。因此，教师在开展对分课堂之前需要充分了解学生的学习背景，可以向辅导员询问生源地资料、高考数学成绩等，也可以在学生班级群中进行问卷调查。

4.2 制订对分课堂教学方案

根据学生的层次，选定对分课堂的章节。线性代数课程不同章节的难易程度有所不同，做对分的内容和频率需要和学生的能力相匹配。比如，行列式、矩阵、线性方程组这三个章节内容相对简单，对分课堂的次数可以相对多些，向量、特征值与特征向量、二次型这三章难度偏高一些，对分课堂的次数要相对减少。另外，学习能力强的班级对分课堂开展的频率可高些，反之，学习能力稍弱的班级开展对分课堂的次数要有一定限制，一般不超过总课时的二分之一。

根据对分课堂章节设计具体的教学计划，包括教师讲解内容的设定；课后学习任务的安排、学习资料（课件、视频、练习题等）的选取；学生课堂讨论问题的设置；教师课堂总结内容的准备；等等。需要特别注意的是，布置的学习任务要尽量具体，不能太宽泛，而且必须是重点，课堂讨论内容的难度和数量要保证能够在规定的时间内讨论完成并且达成共识。另外，教师讲解的内容需要精挑细选，要尽可能地言简意赅、精益求精、重难点突出，要能对整个教学内容起到提纲挈领的作用，同时，也要为学生的课后学习与消化做好铺垫和准备。

4.3 对分课堂实施步骤

第一次课为讲授式授课，让学生了解线性代数课程的特点和基本学习内容。告知学生对分课堂的流程、分组方式、考核标准等。线性代数是两小节课连上，每一小节45分钟，开展对分课堂的具体安排为：在第一小节课上教师公布要讨论的问题，学生分组讨论20～25分钟，然后从每一小组中随机选出一名学生进行汇报，把该学生汇报的成绩作为整个小组的成绩，学生汇报时间不超过25分钟，讨论加汇报刚好为1小节课的时间；第2小节课的前半节时间为教师点评学生汇报内容并总结这一次课的重难点，后半节时间为教师讲解新课，并布置学习任务，预告下一次课要进行课堂讨论的内容[4]。教师讲解和学生课堂讨论分别放在前后两次课上进行，中间至少间隔三天以上，目的是给学生留足课后学习的时间，使其达到内化吸收的效果。

5 对分课堂教学案例

笔者使用对分课堂教学的线性代数课程共32课时，一周两次课，每次两课时，每课时为45分钟，课程内容依次为矩阵、行列式、向量、线性方程组、特征值与特征向量。为方便讨论，按宿舍分组，一组6人，个别组人数为5人，因为是大班化教学，一个教学班的人数达到125人，总共有21个小组，要求同一组学生在教室中坐一起，前后两排各坐2～3人。

案例1：本课程第一次课的两课时由教师讲解，主要内容为矩阵概念、矩阵线性运算、乘法和转置，布置给学生的课后学习任务是什么是矩阵多项式、矩阵的初等变换有哪些、怎样用初等变换解线性方程组。第二次课的开始，给学生三个讨论问题，第一个问题是计算一个矩阵多项式，第二个问题是写出一个线性方程组的矩阵等价形式，第三个问题是给学生一个线性方程组，要求学生用初等行变换求线性方程组解，讨论时间为20分钟。讨论结束后开始汇报。第一个问题的矩阵多项式题，学生正确地讲解了计算方法，尤其注意到了矩阵代入多项式中的常数项上要乘以同阶单位阵，第二个问题的矩阵表示线性方程组题，汇报的学生用增广矩阵作为线性方程组的等价形式，这样表示是有所欠缺的。因为增广矩阵只体现了线性方程组的两个关键元素：变量系数和常数项，另外一个元素变量虽然相对次要，但是利用矩阵乘法将系数、常数和变量完整表示的形式要比增广矩阵更准确。增广矩阵的主要作用是方便求解，它的解由系数和常数项决定，可以忽略变量形式。第三个问题用初等行变换求线性方程组解，学生讲解和演算都正确，但是，学生做初等行变换时，只把增广矩阵化到阶梯矩阵而不是最简阶梯矩阵，导致的后果是后续求解需要继续做消元，不仅计算量大，而且容易出错。前两问汇报时间相对较短，第三问汇报时间相对长一些，总共时长25分钟，讨论和汇报花去一小节课时间。在第二小节课的前半节，教师对学生汇报中的问题进行了点评，并且对这一节教学内容中没有给学生布置学习任务的初等矩阵概念与初等矩阵的作用进行了讲解，总共用时25分钟。在后半节的20分钟内，教师讲解了逆矩阵的概念、性质、矩阵可逆的判别方法及相关例题，并布置了课后学习任务、预告了下次课的讨论内容。

案例2：向量组的线性相关性。前一次课教师讲解了向量的概念和向量的线性组合，布置的学习任务是了解线性相关和线性无关的概念与性质是什么，怎样判断一个向量组的线性相关性，怎样求向量组的秩和极大无关组。后一次课的课堂讨论环节布置了三个问题。第一题包含三小题，皆为用定义和性质判断有关向量组线性相关性的结论是否正确，第二题是给了学生一个非齐次线性方程组，要求用向量表示这个线性方程组，出这个题的目的是让学生明确线性方程组与向量之间的关系，熟悉一个向量是否可由一组向量线性表示，等价于一个线性方程组是否有解，同时让学生掌握向量组的线性相关性是由对应齐次线性方程组是否有非零解来决定的。第三题是判断四个四维向量的线性相关性，若线性相关，求该向量组的一个极大无关组。这一题涉及判断向量组线性相关性的两个常用方法，一是通过向量组的秩和向量个数大小关系判别，二是由向量组构成的行列式的值来决定线性相关性。这三道题涵盖了向量组线性相关性的常用判别方法，属于基本知识点，也是要学生重点掌握的内容。学生课堂讨论25分钟。在汇报环节，第一题的三个判断题均判断正确，原因解释恰当。第二题的线性方程组向量形式，学生给出了正确的表达式，紧接着教师问学生是怎样推导出的这个结论，学生回答是用向量的线性运算做了推导。实际上，最优的解释是线性方程组与一个矩阵方程对应，将矩阵方程中的系数矩阵按列分块，由分块矩阵的运算即可得到线性方程组等价于一个线性组合，组合系数即为变量的取值。第三题学生用定义判断向量组的线性相关性，用矩阵秩的定义求向量组的秩和极大无关组。此时，教师向学生提问，矩阵秩是否有其他计算方法，学生受到启发，改用初等行变换求秩、极大无关组和线性相关性的判别。在第二小节课的教师讲解环节中，教师对上述汇报中学生有所遗漏或者疏忽的方法和结论做补充，同时对学生讨论中没有涉及的关于线性相关性、矩阵秩、向量组秩的常用结论和常见题型进行小结，为下一次对分课堂做准备。

6 对分课堂教学反馈和总结

对分课堂教学形式是学生乐于接受和欢迎的教学形式。对分课堂给予学生在课堂上展示自己的机会，学生的课堂主体意识和地位增强。小组成员之间的互学互助提升了学生对课程内容的认知，不同解题思路、学习观点在讨论中形成最优解决方案，充分发挥小组学习的优势。学生普遍反映，相比传统课堂，对分课堂更能激发学习动力和学习兴趣，更能让他们集中课堂注意力，缓解课堂听讲的焦虑感和紧张感，更容易把握学习的重难点、更容易解决学习中的困难和疑惑、更能有效地掌握课程内容。

对分课堂教学实践证明，在线性代数课程教学中开展课堂讨论，对提高教学质量有积极的作用。教师需要努力提升业务水平，严格把控对分课堂的每个环节，将课堂讲授内容、课后学习任务和课堂讨论问题有机结合，同时要对学生课后学习过程进行监控和引导，对学生讨论中出现的问题要灵活处理，注重启发式教学，不断提高学生的数学思维能力，从而达到较好的教学效果。