谈一道PISA 题的解法探究和解题反思

王戎烨 李先兵

【摘 要】 PISA 试题旨在考查学生是否具备相应年龄应有的能力，与所学的学科知识掌握情况无关.正因为如此，PISA试题没有固定的解题策略，所以学生和教师在解决 PISA 问题时，都比较迷茫.本文通过一道期末考试中的 PISA 试题的讲解，给出此类问题的思考方向和解题策略.

【关键词】 PISA;初中数学;解法探究

数学是拓展性很强的学科，PISA试题理念尤为突出.激发学生主动参与、积极探究，提升学生的数学学科素养，是数学课堂成败的重要体现.典型习题的教学，更应该是习题课的重中之重.笔者对慈溪市2022学年九年级期末数学试卷进行讲解，第10题的PISA 问题，课堂上的讲解感觉意犹未尽，在课后进行研究，积累了一些心得，在此与各位同行交流.

1 原题呈现

一个大矩形按如图1方式分割成五个小矩形后仍是中心对称图形，且矩形 ABCD ∽ 矩形BEFG.设矩形ABCD 与矩形AHIE 的面积分别为m 和n，则这个大矩形的面积一定可以表示为（ ）

（A）4m. （B）2m +3n.

（C）m +3n. （D）3m +n.

图1

2 试题分析

此题是一道以相似矩形为背景的 PISA 题，旨在考查学生的几何直观、推理能力、运算能力等核心素养.也引导教师在教学过程中，应把握问题实质，实施针对性、导向性教学，让学生跳出题海烦恼.

3 解法探究

思路1：代数法.用字母表示相关的长度，然后去表达已知关系和所求问题，再根据所得的已知关系化简所求问题，进而求得答案.

解法1 因为矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以设BE =a，BG =b，相似比为k，

则AB =ka，AD =kb.

所以m =ka×kb=k

2ab，

n=（a+ka）× （kb-b）= （k

2 -1）ab，

因为大矩形的面积 =（a+2ka）× （2kb-b）

= （4k

2 -1）ab

=3k

2ab+ （k

2 -1）ab

=3m +n.

故答案选（D）.

思路2：几何法.利用图形的特征，进行等积变换，寻求面积之间的关系，达到解决问题的目的.

解法2 如图2，连结AI，IK，KC，AC，BF.

图2

因为矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以

AB

BC

=

BE

EF

，

因为 ∠BAC =∠EBF，所以BF ∥AC，

因为整个图形是中心对称图形.

所以四边形AIKC 是平行四边形，AC

IK，且相邻两条平行线间的距离相等，不妨

∥

设

BF

相

∥

邻

平行线间的距离为d.

则 △ABC 的面积 =

1

2

AC ×d=

d

2

AC，

平行四边形AIKC 的面积= AC×2d=2dAC，所以平行四边形AIKC 的面积是 △ABC 的面积的4倍，即平行四边形AIKC 的面积为2m.所以大矩形的面积 =2m +m +n=3m +n.

解法3 如图3，连结AC，BF，BF 与DL 交于点 M .

因为矩形ABCD ∽ 矩形BEFG，

所以

AB

BC

=

BE

EF

，

因为 ∠BAC =∠EBF，所以BM ∥AC，

又因为AB ∥CD，

所以ABMC 是平行四边形，CM =AB，

S△ABC =S△MBC ，

因为整个图形是中心对称图形.

所以AB=FK，CM =FK.所以梯形FMCG 和FKLM 的面积相等.

所以

1

2

SABCD =

1

2

SBEFG +

1

2

SGKLC ，

所以SBEFG =m -n.

所以大矩形的面积=2m+2n+m-n=3m+n.

解法4 如图 4，连结 BI，BK，BF，IK.延长AE 交JL 于点N，延长CB 交HJ 于点M .

同解法3可得，IK ∥BF.

所以S△BIF =S△BKF ，

2S△BIF =2S△BKF ，即矩形MIFG 和矩形ENKF

的面积相等.

显然矩形ABMH 和矩形ENJI 的面积相等，

所以SIJKF =SBEFG +SAEIH ，

所以SBEFG =m -n.

所以大矩形的面积=2m+2n+m-n=3m+n.

4 解题反思

4.1 理解本质特征，探寻 PISA 题解题策略

对于 PISA 题，我们通常可以从代数法和几何法两类方法入手解题.代数法的特点是思维要求比较低，学生容易想到，不足之处是所设字母有时会比较多，运算较繁琐，对学生的代数式变形和运算能力要求较高.而几何法解决这类问题巧妙且直观，但它对思维的要求较高，学生不容易想到，所以我們要在平时教学中多进行训练，提高学生的思维能力.以上两种方法各有千秋，在平时教学中，教师应多引导、多比较.

4.2 经历形成过程，落实学生核心素养

通过思路2中的三种解法，我们不难发现，相似矩形（多边形）的知识，往往通过添加对角线，利用边、角关系，化归为相似三角形、全等三角形等知识.由于多边形的相似问题在各类统考中涉及甚少，导致在九上“相似多边形”的教学中，很多教师都忽略了相关知识的形成过程，对相似多边形的性质让学生机械记忆，并配一些简单的题目加以巩固，草草了事.这种教学方式，学生只能解决一些简单的题目，并没有把思维向深度发展，一旦遇到综合题，学生就束手无策了.笔者认为，在平时教学中，教师应多研究教材和题目，多总结思想和方法，多整合教学资源.

4.3 挖掘图形特征，养成图形探究习惯

基本几何图形蕴含了丰富的知识和方法，相似的矩形特殊的放置方式，可以得到对角线的特殊位置关系.笔者认为，在图形与几何的日常教学中，要重视基本几何图形的教学，学会探究常见结论的获得过程，挖掘基本几何图形的结构特征，尝试强化或弱化题设开展拓展探究，形成研究图形的一般路径.当然，不提倡过度开发二级基本图形，给学生增加不必要的负担，在这个过程中重点是经历图形探究过程学会思考.

4.4 重视思路形成过程，积累思考经验

数学解题教学的重中之重是帮助学生学会思考，通过思考积累经验，再迁移运用经验解决问题.本题几何解法众多，但是解法的形成方法离不开日常解题经验的积累，通过连结对角线将矩形的相似转化为三角形相似，从而得到角度相等，再转化为矩形对角线的位置关系，这些解题经验不断融入到思路中，促进解法自然生成.笔者建议在解题教学后不急于进入下一题，而是搭建“悟”的时间，让学生通过“悟”回顾解题思路的获得过程，积累解决问题的经验，并配备类似的问题帮助学生学会迁移.