“排队问题”的魔力

4月9日

星期二

天气：晴

大地回春，萬物萌生，迎着春光，怀揣着期待，终于到了春游的日子，全班同学兴高采烈地登上了大巴车，来到了郊外的月亮岛风景区。

列队前行

月亮岛碧水环绕，景色迷人，具有质朴、粗犷、天然无饰的原野风光特色。春天的月亮岛更是山花烂漫、芳草萋萋、绿叶盈枝、鸟雀齐鸣、流水叮咚、清泉飞瀑，一幅万籁俱唱、繁花盈野的景象。大家都陶醉在这美丽的景色中，于是走着走着就走散了。

这下老严着急了，月亮岛这么大，万一走丢了可麻烦了。还好班级的同学们之前刚刚训练了走队列，老严说：“不如大家排成队伍再走，这样也让人家看看我们的精神风貌！”

在老严的指挥下，很快大家分男女排成了两队。

“数学课代表呢？快速算一下班级人全不全，看看有没有掉队的。”老严说道。

陆小豆还有点不太习惯自己的身份，愣了一下才反应过来，只是队伍站得很紧密，游人又很多，他自己也在队伍中，不太方便查数。于是他旁边的赵依茗和李嘉阳给他提供了数据。

赵依茗站在女生队伍里，她说自己前面有7人、后面有8人。

李嘉阳站在男生队伍里，他说自己是从前面数第7人、后面数第9人。

陆小豆在男生队伍里是从前面数第4人。

“呃……这应该不难，我算算……7加8加7加9，怎么感觉不对呢？”

“错了错了，完全错了，这么简单的间隔阵列问题你都搞不清，难怪未来世界又乱作一团！”学霸精灵忽然冒了出来，给了陆小豆一个“奔雷掌（就是用猫爪拍他的脑门）”。

物理学家和化学家的集体声讨

“你看看，你看看，”学霸精灵一边投射出未来世界的新闻，一边气哼哼地说道，“未来的物理学家和化学家都集体罢工了！所有的科研机构都陷入了瘫痪。”

“这和我有什么关系？”陆小豆一脸懵。

“当然有关系，你要知道间隔和阵列可是物理化学研究中的很重要的概念，有着广泛的应用。比如把不同颜色的光波按照波长的大小排列，形成的叫做光谱，有一种科学就叫光谱学。还有化学中研究的力的来源，分子由于不规则运动碰撞发生了化学反应，这就是化学动力学……”学霸精灵一下子说了很多。

“说的都是些什么？我一个也听不懂。不过就是排个队的事，怎么让你说得这么复杂。”陆小豆挠了挠头。

“也是，你还是个小学生，说太多你也不懂，总之你就知道间隔和阵列的知识很重要，是科学研究的重要理论就行了。你必须学好！你这次的错误，让未来很多科研设备都出现了混乱，比如病人生病需要的核磁共振成像检查，都会无法检测出病灶，总之还会有许多科学研究都将无法进行。”

“又不知道你在说什么了？总之……我改还不行？”说完陆小豆摁下了学霸变身器，他的眼神一下子变得炯炯有神。

8+7=15（人），漏算了赵依茗，所以女生队伍总人数应该是15+1=16（人）。

7+9=16（人），把李嘉阳多算了一次，所以男生队伍总人数应该是16-1=15（人）。

男生队伍共有15人，我是前面数起第4人，所以我后面显然应该是15-4=11（人）。如果从后面数起，我应该是第11+1=12（人）。

真希望你能一直是这个状态，算的全都对！

在处理直线或环线上的排列问题时，我们需要深入理解间隔数与端点数之间的数量关系。另外，将物体排成阵列形式的问题，则需要从“层”的角度来考察阵列的数量规律，并结合等差数列的相关知识进行计算。

难度：

在长为10米的小桥一侧每隔1米插一面彩旗，小桥两端都要有彩旗。一共需要多少面彩旗？

答案：11面

解答：小桥全长是10米，相邻两面旗的间隔是1米，则共有10÷1=10（个）间隔。

两端都有彩旗，则彩旗面数=间隔数+1，所以一共需要11面彩旗。

难度：

学校有一个圆形水池，水池的周长为40米。如果绕着水池每隔4米种一棵树，一共要种几棵树？

答案：10棵

解答：每个间隔的长度为4米，水池周长为40米，所以一共有40÷4=10（个）间隔。

从示意图上可以发现树的棵数和间隔数一样多，所以10个间隔正好要种10棵树。

难度：

一块绿地由3块相同的等边三角形草地和一个水池组成，现在要在草地上种花，要求在草地与草地的公共点处种上花（即图中的A、B、C点），且每块草地上的花朵排成一个三角形实心点阵，每块草地上最外层的每条边上有10朵花。请问：整个绿地一共要种多少朵花？

答案： 162朵

解答：每个三角形阵列每边都有10朵花，所以每块草地都有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10= 55（朵）花。

3块草地加在一起共有55×3=165（朵）花。

三角形连接处的点被算了两次，多算了1次，必须减去。因此，整个绿地一共种花165—3=162（朵）。

难度：

水池周围种了一些树，墨莫和卡莉娅沿顺时针方向绕水池散步，边走边数树的棵数。由于两人的出发地点不同，因此墨莫数的第20棵在卡莉娅那儿是第7棵，墨莫数的第7棵在卡莉娅那儿是第94棵。请问：水池四周一共种了多少棵树？

解答：两棵树分别为A和B。由于这两棵树在墨莫和卡莉娅那儿的编号不同，因此把墨莫和卡莉娅的编号分开看。先看墨莫。墨莫数的是第7棵和第20棵，就在圆内部沿顺时针方向标出7和20，并顺便标出附近几棵树的编号。

再看卡莉娅，由题意可知，A点是卡莉娅数的第94棵，B点是卡莉娅数的第7棵。把所有的树分成左右两部分，把它们分别数清楚。

墨莫数到A时是第7棵，到B时是第20棵，因此，從A顺时针到B（不包含A、B）是墨莫数的第8，9，10，…，19号，有19—8+1=12（棵）。卡莉娅数到B时是第7棵，到A时是第94棵，因此，从B顺时针到A（不包含A、B）是卡莉娅数的第 8，9，10，…，93号，有93—8+1=86（棵）。再加上A、B这2棵，水池四周一共栽了2+12+86=100（棵）树。

难度：

这是一些棋子摆成的正三角形点阵，和“空心方阵”类似，也可以有“空心三角阵”。

（1）如果有一个5层的空心三角阵，最外层每边有20枚棋子，那么一共有多少枚棋子？

（2）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，那么它最多有多少层？

（3）如果一个空心三角阵共有294枚棋子，不止一层，那么它的最外层最多有多少枚棋子？

（4）已知一个空心三角阵共有108枚棋子，如果增加42枚棋子后可以让它增加一层，请问：如何增加这42枚棋子？

答案：（1）195枚；（2）7层；（3）87枚；（4）中心用7枚补一条边，外面用35枚补两条边

解答：（1）最外边每边是20枚棋子，那么最外层有 20×3—3=57（枚）棋子。

观察可知，每往里一层减少9枚棋子，那么从最外层向内依次为48枚、39枚、30枚、21枚，总和为 39×5=195（枚）。

（2）要让层数尽量多，最内层的棋子数应该尽量少，首先用最内层1枚棋子的情况估算一下，不会超过8层，可以从8层开始往下讨论，发现7层是符合条件的，那么它就是最大的情况。

（3）最外层要尽量地多，也就是说层数要尽量地少，从2层开始讨论，发现4层的时候是符合条件的，最里层是60，最外层是60+3×9=87（枚）。

（4）首先通过分类讨论层数计算出来108枚可以摆成最内层每边10枚的三层三角形，最外层每边16枚，如果只在里面加一层，那么棋子会多，如果在外面加一层，那么棋子不够，所以是另外一种加法：在里面加一条边，用去7枚棋子，然后在外面加两条边，用去35枚棋子，42枚棋子正好用完。

“间隔和阵列”的广泛应用

生态学：在生态学中，阵列和间隔的概念可以用于研究物种的分布、生态系统中的相互作用等。

金融和经济：在金融建模和经济学中，间隔和阵列的数学概念可以用于分析时间序列数据、市场趋势等。

医学成像设备：在核磁共振成像（MRI）和计算机断层扫描（CT扫描）等医学成像设备中，阵列技术常用于设计多通道天线阵列，以提高图像分辨率和减少噪音。

无线通信：在无线通信中，多天线系统（MIMO）利用阵列技术，通过调整发送和接收天线的间隔，以提高通信系统的容量和可靠性。例如，Wi—Fi路由器和移动通信基站就采用MIMO技术来改善数据传输性能。

声呐技术：在声呐系统中，阵列技术常用于设计声呐阵列，用于定位和跟踪水下目标。这在海洋勘测、潜艇监测等方面具有重要应用。

天文学：射电天文学中的射电望远镜阵列利用天线的间隔来合成更大的有效孔径，从而提高分辨率和灵敏度，用于观测天体。

数码摄影：数码相机和手机摄像头中的图像传感器阵列使用了排列和间隔的概念，以捕捉和处理光信号，提高图像质量。

卫星遥感：在卫星遥感中，卫星传感器通常以阵列形式布置，以便更好地捕捉地球表面的图像，用于监测环境、农业、城市规划等。

未来的科学家可不是那么好当的。

这就是数学的魔力！