与圆锥曲线焦点弦有关的一组性质

湖南师大附中星城实验学校 (430200) 易 丹

圆锥曲线的焦点弦是圆锥曲线中的重要元素,圆锥曲线存在与焦点弦有关的众多性质,笔者通过研究得到了下列性质,与各位同仁分享.

性质1 设点F为有心圆锥曲线(椭圆或双曲线,下同)C的一个焦点,C的离心率为e,过点F且斜率为k的直线l与C交于P,Q两点(C为双曲线时,P,Q两点均在与点F对应的一支图象上),设焦点弦PQ的中垂线与两焦点所在直线交于点M,则 2|MF|=e|PQ| .

(2)当圆锥曲线C为椭圆时,证明过程与C为双曲线时类似,此处不再赘述.

(2)当圆锥曲线C为双曲线时,证明过程与C为椭圆时类似,此处不再赘述.

(2)当C1为双曲线时,证明过程与C1为椭圆时类似,此处不再赘述.

证明过程与性质3类似,本文从略.