一道解析几何试题的解法与推广

江苏省如东县掘港高级中学 (226400) 许卫华

2023年3月江苏省八市和浙江省9+1联盟学校2023届高三第二次调研测试的第21题是一道颇具探究价值的优质试题,本文在对该题进行解答的基础上,对试题进行推广探究,进而得到相应的结论.

1 试题呈现

2 解法探究

分析1:由题意设出直线l的方程,与E的方程联立,消元、整理得到关于x的一元二次方程,然后利用韦达定理整体代入、“设而不求”求解.

下面从三个视角进行等式证明.

从而|MA|·|BF|=|MB|·|AF|.

分析2:由题意知F是E的左焦点,而直线x=-2是E的左准线,直线l与m均过点F.

图1

3 推广探究

下面我们仅对上述联考题的第(2)小题的结论进行推广探究:能否将第(2)小题结论推广到一般椭圆的情形?

相应地,我们有下面的结论2.