变分不等式问题和半压缩映射有限簇的强收敛定理

房萌凯 高兴慧 郭玥蓉 王永杰

文章编号  1000-5269（2024）01-0031-06

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.04

收稿日期：2023-06-26

基金项目：国家自然科学基金资助项目（61866038）;国家级大学生创新训练计划资助项目（202210719022）; 延安大学研究生教育创新计划资助项目（YCX2023012）

作者简介：房萌凯（1999—），女，在读硕士，研究方向：非线性泛函分析研究，E-mail： 455448281@qq.com.

*通讯作者：高兴慧，E-mail： yadxgaoxinghui@163.com.

摘  要：在Hilbert空间中，首先，构造了一种新的平行迭代方法用于逼近伪单调变分不等式的解集和半压缩映射有限簇的公共不动点集的公共元；其次，在适当假设条件下，证明了该算法生成的迭代序列的强收敛性；最后，给出具体的数值实验检验了所提出算法的有效性。

关键词：变分不等式；半压缩映射有限簇；强收敛定理

中图分类号：O177.91

文献标志码：A

设H是实Hilbert空间， 〈·，·〉和‖·‖分别表示H中的内积和范数。 设x∈H，C是H中的非空闭凸子集，设A：H→H为非线性映射。经典的变分不等式问题是寻找一点x*∈C，满足

〈Ax*，x－x*〉≥0，x∈C（1）

记Ω为问题（1）的解集。

变分不等式用于研究理论和应用科学中的一些问题，如最小化问题、最优控制问题，并在经济学，工程力学和非线性规划等领域发挥着重要作用［1-3］ 。为求解变分不等式问题，许多学者提出了许多算法［4-11］，投影算法是求解变分不等式最简单、最有效的方法之一。其中，TSENG［5］提出了如下改进的投影算法

yn=PC（xn－λAxn）

xn+1=xn－λ（Ayn－Axn）

其中，λ∈（0，1L），映射A在H上单调且Lipschitz连续，TSENG［5］证明了此算法生成的迭代序列弱收敛于单调变分不等式的解。为得到强收敛定理，YANG等［7］提出如下投影算法

yn=PC（xn－λnAxn）zn=yn+λn（Axn－Ayn）xn+1=αnf（xn）+（1－αn）zn

其中，

λn+1=minμ‖xn－yn‖‖Axn－Ayn‖，λn，Axn－Ayn≠0λn，Axn－Ayn=0

其中，映射A是单调且Lipschitz连续的，YANG等［7］证明了上述算法产生的迭代序列强收敛于单调变分不等式的解。

关于半压缩映射T：H→H的不动点问题，找x*∈H，使得Tx*=x*，用F（T）来表示T的不动点集，即F（T）={x*∈H | Tx*=x*}。近些年，许多学者提出求解变分不等式问题和不动点问题的公共元的迭代算法［12-15］。其中，杨蓝翔等［14］提出如下自适应惯性投影算法

ωn=xn+αn（xn－xn－1）

yn=PC（ωn－λnAωn）

zn=yn－λn（Ayn－Aωn）

xn+1=ηnf（xn）+（1－ηn）[φnT（zn）+（1－φn）zn]

其中，

λn+1=minμ‖ωn－yn‖‖Aωn－Ayn‖，λn+pn，Aωn－Ayn≠0

λn+pn，Aωn－Ayn=0

其中，f：H→H為系数为κ∈（0，1）的压缩映射，T：H→H为非扩张映射，映射A在H上为伪单调且Lipschitz连续， 杨蓝翔等［14］证明此算法生成的迭代序列强收敛于伪单调变分不等式解集和非扩张映射不动点集的公共元。

受上述工作的启发，本文提出一种新的平行迭代算法，证明了新算法产生的迭代序列强收敛于伪单调变分不等式解集和半压缩映射有限簇的公共不动点集的一个公共元素。本文所得结果改进和推广了文献［12-15］的相关结论。

1  预备知识

本文用→表示强收敛，表示弱收敛。对x，y∈H，α∈R，有

‖x+y‖2=‖x‖2+‖y‖2+2〈x，y〉≤‖x‖2+2〈y，x+y〉；

‖αx+（1－α）y‖2=α‖x‖2+

（1－α）‖y‖2－α（1－α）‖x－y‖2

任给x∈H，则C中存在唯一的最近点PCx满足

‖x－PCx‖≤‖x－y‖，y∈C

这里PC叫做H到C上的投影算子，易知PC为H到C上的非扩张映射。

定义1［16］  设T：H→H是一映射：

（1）称T为伪单调的，若〈Tx，y－x〉≥0〈Ty，y－x〉≥0，x，y∈H；

（2）称T为L-Lipschitz连续的，若‖T（x）－T（y）‖≤L‖x－y‖，x，y∈H，其中，L为Lipschitz常数且L>0；

（3）称T是α-半压缩映射，如果x∈H，z∈F（T），都存在0≤α<1满足

‖Tx－z‖2≤‖x－z‖2+α‖（I－T）x‖2

事实上，上述定义等价于

〈Tx－z，x－z〉≤‖x－z‖2+α－12‖（I－T）x‖2

也等价于

〈Tx－x，x－z〉≤α－12‖（I－T）x‖2

若α=0，则T为拟非扩张映射。显然，拟非扩张映射是半压缩映射，但反之不成立；

（4）称T为弱序列连续，若任给序列{xn}满足xnx，则有TxnTx。

定义2［16］  设T：H→H为非线性映射满足F（T）≠，称I－T在零点是半闭的，若序列{xn}满足xnx和（I－T）xn→0，则有x∈F（T）。

引理1［16］ 设C是实Hilbert空间H的非空闭凸子集，给定x∈H，z∈C，则

z=PC（x）〈x－z，z－y〉≥0，y∈C

引理2［17］  设映射T：H→H是α-半压缩映射且F（T）≠，则有F（T）是H中的闭凸集。

引理3［18］  设{an}是非负实数序列，{an}是（0，1）中的实数序列满足∑∞n=1αn=∞，{bn}为实数列。 假设

an+1≤（1－αn）an+αnbn，n≥1

如果lim supk→∞ bnk≤0对于{an}的每个子列{ank}满足lim infk→∞（ank+1－ank）≥0，则limn→∞ an=0。

2  算法分析

为引出算法，本文给出如下假设：

（C1）A：H→H是伪单调、L-Lipschitz连续且在C上序列弱连续；f：H→H是具有常数为δ∈[0，1）的压缩映射；

（C2）Ti：H→H是τi-半压缩映射且I－Ti在零点是半闭的，并且满足∩si=1F（Ti）≠，其中，i=1，2，…，s；

（C3）Ω∩∩si=1F（Ti）≠；

（C4）序列{βn}，{αin}满足{βn}，{αin}（0，1）且

limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，

limn→∞ βn=0，∑∞n=1βn=∞，

∑si=0αin=1，lim infn→∞ α0n>τ，

lim infn→∞ αin>0（1≤i≤s）

其中，τ=max1≤i≤sτi。现引进下述算法：

算法1  给定λ1>0，0<μ<1，选取x0，x1∈H，n：=1。

第1步 令ωn=xn+σn（xn－xn－1）并计算

tn=PC（ωn－λnAωn）

这里

λn+1=minμ‖ωn－tn‖‖Aωn－Atn‖，λn，Aωn－Atn≠0λn，Aωn－Atn=0（2）

第2步 计算

un=tn－λn（Atn－Aωn）

第3步 计算

yn=α0nun+∑si=1αinTiun

第4步 计算

xn+1=βnf（xn）+（1－βn）yn

令n：=n+1，转到第1步。

引理4［8］  假设条件（C1）成立，则自适应规则生成的序列{λn}非增且limn→∞λn=λ≥minμL，λ1。

引理5［19］  假设条件（C1）—（C4）成立，设{ωn}为算法1生成的序列，若存在子列{ωnk}弱收敛于z∈H和limk→∞‖tnk－ωnk‖=0，则z∈Ω。

引理6［6］  假设条件（C1）—（C4）成立，{un}是由算法1所产生的序列，则

‖un -q‖2≤‖ωn -q‖2-（1-λ2n λ2n + 1 μ2）‖tn -ωn ‖2，q∈Ω（3）

定理1  假设条件（C1）—（C4）成立，则算法1所产生的迭代序列{xn}强收敛于某一个元素q∈Ω∩∩si=1F（Ti），其中，q∈PΩ∩∩si=1F（Ti）f（q）。

证  首先，证明序列{xn}有界。 根据0<μ<1可得

limn→∞（1-λ2n λ2n+1 μ2）=1-μ2>0

结合（3）式得

‖un－q‖≤‖ωn－q‖（4）

事实上，取φin=αin1－α0n（1≤i≤s），有∑si=1φin=1，对n≥0，

α0nun+∑si=1αinTiun

=α0nun+（1－α0n）∑si=1φinTiun

=∑si=1φin（α0nun+（1－α0n）Tiun）

由于对i∈{1，2，…，s}，Ti是τi-半压缩映射，则显然Ti是τ-半压缩映射，故由‖·‖2的凸性和{yn}的定義有

‖yn－q‖2=‖α0nun+∑si=1αinTiun－q‖2

≤∑si=1φin‖α0nun+（1－α0n）Tiun－q‖2

≤∑si=1φin（‖un－q‖2－（1－α0n）（α0n－τ）‖Tiun－un‖2）

=‖un－q‖2－（1－α0n）（α0n－τ）∑si=1φin‖Tiun－un‖2

=‖un－q‖2－（α0n－τ）∑si=1αin‖Tiun－un‖2

≤‖un－q‖2（5）

根据{ωn}定义得

‖ωn－q‖=‖xn－q+σn（xn－xn－1）‖

≤‖xn－q‖+βnσnβn‖xn－xn－1‖

由于limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，则存在M1>0，使得对n≥1，有σnβn‖xn－xn－1‖≤M1，

得

‖ωn－q‖≤‖xn－q‖+βnM1（6）

结合（4）—（6）式得

‖yn－q‖≤‖un－q‖≤‖ωn－q‖

≤‖xn－q‖+βnM1

由{xn}的定义得

‖xn+1－q‖=‖βn（f（xn）－q）+（1－βn）（yn－q）‖

≤βn‖f（xn）－q‖+（1－βn）‖yn－q‖

=βn‖f（xn）－f（q）+f（q）－q‖+（1－βn）‖yn－q‖

≤βnδ‖xn－q‖+βn‖f（q）－q‖+

（1－βn）‖xn－q‖+βnM1

=（1－βn（1－δ））‖xn－q‖+

βn（1－δ）‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

≤max‖xn－q‖，‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

≤…≤max‖x0－q‖，‖f（q）－q‖+M1（1－δ）

故{xn}有界。

其次，证明

（1-βn）1-λ2nλ2n+1μ2‖tn-ωn‖2+

（1-βn）（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2

≤‖xn－q‖2－‖xn+1－q‖2+βnM4 （7）

根据（6）式得

‖ωn-q‖2≤（‖xn-q‖+βnM1）2

=‖xn-q‖2+βn[βnM21+2M1‖xn-q‖]

≤‖xn－q‖2+βnM2（8）

其中，M2=supn≥1 （βn M21  + 2M1 ‖xn -q‖）。根据‖·‖2的凸性以及（3），（5），（8）式得

‖xn+1-q‖2=‖βn（f（xn）-q）+

（1-βn）（yn-q）‖2

=βn‖f（xn）-f（q）+f（q）-q‖2+

（1-βn）‖yn-q‖2-βn（1-βn）‖f（xn）-yn‖2

≤βn[‖f（xn）-f（q）‖2+2〈f（q）-q，f（xn）-q〉]+

（1-βn）‖yn-q‖2-βn（1-βn）‖f（xn）-yn‖2

≤βnδ‖xn-q‖2+2βn‖f（q）-q‖‖f（xn）-q‖+

（1-βn）[‖xn-q‖2-1-λ2nλ2n+1μ2‖tn-ωn‖2-

（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2+βnM2]

≤‖xn-q‖2-（1-βn）1-λ2nλ2n+1‖tn-ωn‖2-

（1-βn）（α0n-τ）∑si=1αin‖Tiun-un‖2+

βnM2+βnM3

其中，M3=supn≥1（2‖f（q）－q‖‖f（xn）－q‖），令M4=M2+M3。由此可得（7）式成立。

再次，证明

‖xn+1－q‖2≤（1－βn（1－δ））‖xn－q‖2+

βn（1－δ）[M5σn（1－δ）βn‖xn－xn－1‖+

21－δ〈f（q）－q，xn+1－q〉]（9）

根据{xn+1}的定义以及（3），（5）式得

‖xn+1－q‖2=‖βn（f（xn）－f（q））+βn（f（q）－

q）‖+（1－βn）（yn－q）‖2

≤‖βn（f（xn）－f（q））+（1－βn）（yn－q）‖2+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉

≤βnδ‖xn－q‖2+（1－βn）‖yn－q‖2+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉（10）

‖yn－q‖2≤‖un－q‖2≤‖ωn－q‖2

≤‖xn－q+σn（xn－xn－1）‖2

≤‖xn－q‖2+2σn〈xn－xn－1，ωn－q〉

≤‖xn－q‖2+2σn‖xn－xn－1‖‖ωn－q‖

≤‖xn－q‖2+σn‖xn－xn－1‖M5（11）

其中，M5=supn≥1（2‖ωn－q‖）。因此将（11）式代入（10）式得

‖xn+1－q‖2≤βnδ‖xn－q‖2+（1－βn）×

[‖xn－q‖2‖+σn‖xn－xn－1‖M5]+

2βn〈f（q）－q，xn+1－q〉

≤（1－βn（1－δ））‖xn－q‖2+βn（1－δ）×

[M5σn（1－δ）βn‖xn－xn－1‖+21－δ〈f（q）－q，

xn+1－q〉]

则（9）式成立。

最后，证明{‖xn－q‖2}收敛到零。

根据引理3知，只要证明当{‖xn－q‖}的每一個子列{‖xnk-q‖}满足lim infk→∞ （‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）≥0，有lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－q〉≤0。

为此，假设{‖xnk－q‖}是{‖xn－q‖}的子列满足lim infk→∞ （‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）≥0，则

lim infk→∞（‖xnk+1－q‖2－‖xnk－q‖2）

=lim infk→∞[（‖xnk+1－q‖+‖xnk－q‖）×

（‖xnk+1－q‖－‖xnk－q‖）]≥0

由（7）式得

lim supk→∞{（1-βnk）1-λ2nkλ2nk+1μ2‖tnk-ωnk‖2+

（1-βnk）（a0nk-τ）∑si=1αink‖Tiun-unk‖2}

≤lim supk→∞（‖xnk-q‖2-‖xnk+1-q‖2+

βnM4）≤0

于是有

limk→∞‖tnk－ωnk‖=0（12）

limk→∞‖Tiunk－unk‖=0（i=1，2，…，s）

由limk→∞‖tnk－ωnk‖=0和limn→∞σnβn‖xn－xn－1‖=0，以及条件（C4）得

‖xnk+1－ynk‖≤βnk‖f（xnk）－ynk‖→0（k→∞）（13）

‖ynk－unk‖=‖α0nkunk+（1－α0nk）∑si=1φinkTiunk－unk‖

≤（1－α0nk）∑si=1φink‖Tiunk－unk‖→0（k→∞）（14）

‖ωnk－xnk‖≤βnkσnkβnk‖xnk－xnk－1‖→0（k→∞）（15）

‖unk－xnk‖=‖unk－ωnk‖+‖ωnk－xnk‖

≤‖tnk－ωnk‖+λnkλnk+1μ‖tnk－ωnk‖+

‖ωnk－xnk‖→0（k→∞）（16）

由（13）—（16）式得

‖xnk+1－xnk‖=‖xnk+1－ynk‖+‖ynk－unk‖+

‖unk－xnk‖→0（k→∞）（17）

因为{xnk}是有界的，则存在子列{xnkj}使得xnkjz∈H，并且满足

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉

=lim supj→∞〈f（q）－q，xnkj－q〉

=〈f（q）－q，z－q〉（18）

注意到xnkz，根据‖xnk－ωnk‖→0，可知ωnkz（n→∞），再结合（12）式和引理5得z∈Ω。另一方面，由（16）式可得unkz，又I－Ti在零点半闭，故由limk→∞‖Tiunk－unk‖=0可得z∈F（Ti）（i=1，2，…，s），即z∈∩si=1F（Ti）。因此z∈Ω∩∩si=1F（Ti）。

由q∈PΩ∩∩si=1F（Ti）f（q）和引理1得

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉=〈f（q）－q，z－q〉

≤0（19）

再根据（17）式及（19）式得

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－q〉

≤lim supk→∞〈f（q）－q，xnk+1－xnk〉+

lim supk→∞〈f（q）－q，xnk－q〉

≤0（20）

因此，结合条件（C4）及（9），（20）式和引理3可得limn→∞‖xn－q‖=0，即算法1迭代产生的序列{xn}强收敛到q。

本文所得的结果从以下几个方面改进和推廣了文献［7］和文献［14］的相关结论：

（1）将文献［14］中的一个不动点推广到有限个公共不动点，并将文献［14］中的非扩张映射不动点推广到了半压缩映射不动点；

（2）当α0n≡1时，本文算法1可变成文献［7］的算法；

（3）将文献［7］中单调映射弱化为伪单调映射。

3  数值实验

本节数值实验是在MATLAB-R2022a和Windows11中运行。用“n”表示算法的迭代次数，“‖xn+1－xn‖”来测量第n步的误差，迭代终止条件为‖xn+1－xn‖≤ε。

例1  设映射A：R2→R2，满足Ax=Mx+q，其中，q∈R2，M=NNT+P+D，其中，N是2×2阶矩阵，P是2×2阶斜对称矩阵，D是2×2阶对角矩阵且对角线上的元素非负，q，N，P的元素在（－2，2）中随机产生，D的对角元素在（0，2）中随机取值，映射A是单调且Lipschitz连续的，其中，Lipschitz常数是L=‖M‖，定义C={x=（ε1，ε2）∈R2|εi≤2，i=1，2}是非空闭凸集。针对例1选取ε为10－6，初始点x0=x1=（1，1）T，令f（x）=x20，定义映射Ti：H→H（i=1，2，3，4）分别是T1=－x12，T2=－x6，T3=x3，T4=x15，在算法1中选取参数αn=1n+1，α0n=n5n+4，α1n=n+15n+4，α2n=n+25n+4，α3n=n5n+4，α4n=n+15n+4，σn=0.1，λ1=0.5，μ=0.99。迭代终止条件为‖xn+1－xn‖≤ε，数值实验结果见图1。

从例1的数值实验结果来看，随迭代步数的增长，误差‖xn+1－xn‖越来越小并趋于0，验证了本文算法的有效性。

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（责任编辑：于慧梅）

Strong Convergence Theorem of Variational Inequality Problems and

a Finite Family of Semi-contractive Mappings

FANG Mengkai， GAO Xinghui*， GUO Yuerong， WNAG Yongjie

（School of Mathematics and Computer Science， Yanan University， Yan an 716099， China）

Abstract：

In Hilbert spaces， firstly，a new parallel iterative method is proposed to approximate the common elements of the set of solutions of pseudo-monotone variational inequality and a common fixed point set of a finite family of semi-contractive mappings. Secondly，under appropriate assumptions， the strong convergence of the iterative sequence generated by this algorithm is proved. Finally， some concrete numerical experiments are also included to explain the effectiveness of the proposed methods.

Key words：

variational inequality; a finite family of semi-contractive mappings; strong convergence theorems