基于分形理论的城市群轨道交通协调性分析

梅梦君，陈 鼎*，苏敏咸，王 成，许俊城

（1. 厦门理工学院机械与汽车工程学院，福建 厦门 361024；2. 厦门市卫星定位应用股份有限公司，福建 厦门 361006；3. 华侨大学计算机科学与技术学院，福建 厦门 361021）

城市群轨道交通协调性是评价各城市间轨道交通与城市形态演变、基础设施建设、供需关系调节等内容的重要指标［1］。它通过构建轨道交通线网与城市规模［2］、运营规模、运输承载力［3］等要素之间的相关性，对城市群整体进行多指标发展的一致性分析。其中，针对城市群中轨道交通线网长度与经济体量、人口规模等指标所开展的协调性量化分析，是从宏观层次上探究轨道交通线网形态与区域经济、社会协调发展格局的关键内容，因此，具有量化表征城市群综合协调性的分析方法成为当前研究的热点。城市群轨道交通线网包含干线铁路、区域轨道交通、城际轨道交通等，在形态上呈现出复杂、不规则的空间分布特点，这种空间形态分布符合分形理论对于复杂空间实体内自组织、自相似特征的理论描述。Mandelbrot［4］首次提出分形理论，阐述了系统或物质在时空维度上的形态相似性现象，以此反映事物形态从宏观至微观尺度变化的综合特征。基于分形理论，学者们分别从城市结构形态特征、轨道交通线网结构特点、城市社会经济要素等不同角度［5-8］对轨道交通与城市发展规划协调性展开研究，充分阐述了不同城市间线网复杂空间几何形态的相似性特征与其空间分布特点之间的关联性，并论证了线网分形维数的量化表征能力，研究成果为经济体量、人口规模等城市发展影响因素在城市群轨道交通协调性分析指标模型中的引入提供了理论基础。同时，已有研究中分形维数具有描述城市轨道交通线网与经济体量、密度与人口流动等城市发展因素的内在关联性功能［9-11］，这为将研究成果由城市尺度向城市群尺度拓展奠定了研究基础。然而，上述研究均建立在单一分形特征上，缺乏对人口规模和经济体量分形维数相互匹配程度的考量。为此，本文基于分形理论在局部特征与宏观几何空间整体之间的自相似性规律［12］，以轨道交通线网长度与人口规模、经济体量等特征指标间的多视角关联关系，揭示长三角、京津冀和粤港澳大湾区城市群内部空间结构的复杂特征，分析典型城市群轨道交通发展协调性，从而弥补单一特征指标在综合性分析上的局限性。

1 分形模型

分形理论是由Mandelbrot提出的一种定量表征空间复杂几何结构的数学理论分支。基于测度关系的回转半径模型是量化表征空间点、线、面和体几何结构分布规律的重要分形模型，模型假定测量区域内几何结构围绕中心呈现凝聚状分布，且在各个方向上均匀变化［13］，因此，不同观测尺度上的测度可以通过累计分布形式表示。以空间面域几何中心为圆心O，以r为回转半径形成n个同心环带，回转半径模型几何原理图如图1所示。回转半径模型定义空间内几何结构测度关系［13］则可表述为

图1 回转半径模型几何原理图Fig.1 Geometric schematic of the radius-length model

式（1）中：N（r）为区域范围内各同心环面中具有某种测度的分布累计数值；N（t）为第t个同心环带中某种测度的数量。

若空间几何结构存在相似性，则N（r）可以转变为测度r和指数D所构成的幂函数，即

式（2）中：D为定量表征回转区域内分形几何结构的非整数维度数，即半径分形维数。累计数N（r）和回转半径幂函数项rD之间若存在比例关系，设比例系数为k，则回转半径模型及其对数线性表达式可以表示为

式（4）中：C为常数项且可以通过ln（k）计算获得。

城市群轨道交通线网、人口规模和经济体量分布具有典型的分形特征，城市群中各城市的人口规模和经济体量按空间几何点状要素进行分布，线网则按照线状要素进行分布，两者同样在几何结构上具有相似性和拓扑同构性［12］。依据式（3）和式（4），将针对几何结构建立的回转半径模型分别延伸至线网、人口规模和经济体量的测度关系表达中，城市群轨道交通线网分布累计数L（r）、人口规模分布累计数P（r）和经济体量分布累计数G（r）构成的对数线性表达式则可进一步转化为

式（5）中：DL为线网半径分形维数；DP为人口半径分形维数；DG为经济半径分形维数；C1、C2和C3为常数项。

2 城市群轨道交通分形协调性指数模型

具有分形特性的空间几何结构，可用半径分形维数描述几何结构内部要素的分布规律及其本质特征［14］，例如长度、密度和聚集程度等。线网、人口规模和经济体量围绕城市群几何中心向外辐射，对应要素的密度在不同方向上呈现出同步的发展态势［15］。因此，通过对各要素特征量之间变化规律的相似程度进行评价，可以间接反映几何结构的协调性问题，相应地，各要素的半径分形维数提取和比较则成为评价模型建立的关键。

依据式（4）和式（5）中线网、人口规模和经济体量分布累计的对数线性表达式，以N（r）表示各项累计数的集合，N（r）=［L（r），P（r），G（r）］，采用线性回归方法对半径分形维数集合D进行统一提取，其中D= ［DL，DP，DG］，线性回归方程［16］由此可以表述为

对式（3）进行求导，得到几何结构内部要素密度分布为

结合图1 中线网、人口规模、经济体量要素密度在不同方向的同步变化规律，本文针对表征线网、人口规模和经济体量变化的半径分形维数进行归纳总结。显然，半径分形维数D=1 时，指数项rD仅随着半径线性递增，对应的几何要素累计数N（r）的变化速率相对稳定，这使得几何结构中各要素由中心沿半径方向均匀分布，具有均一性的稳定状态。半径分形维数D> 1 时，指数项rD随着测度半径非线性增大，反映了几何结构中各要素从中心向周边变化的速率递增现象，这使得几何结构中线要素的分枝及点要素的聚集更为频繁，提高了几何结构的复杂程度。当半径分形维数D< 1 时，增长速率随着半径增大逐渐降低直至趋于平缓，这反映了几何结构中各要素具有明显的中心趋向性，使得几何结构中线要素分枝相对简单。半径分形维数在各区间中的变化规律如表1所示。

表1 半径分形维数在各区间中的变化规律Table 1 Variation of fractal dimension of radius

由表1中半径分形维数的归纳结果不难发现，线网半径分形维数DL、人口半径分形维数DP和经济半径分形维数DG在各自数值区间内对于特定测度变化规律的表述存在一致性，这为城市群轨道交通分形协调性指数模型的建立奠定了基础。

假设线网、人口规模和经济体量发展相互匹配，那么在上述任一区间及其测度变化规律下，半径分形维数之间的比值在理论上应该趋近于1且具有分维一致性的特点；相应地，若存在差异性，则比值偏离1 且存在分维不匹配现象。但是采用单一要素的规律性结果仅能用于描述该要素的发展趋势，难以完整反映出城市群中人口、经济和线网要素之间频繁交叉的匹配程度，因此，本文将城市群几何空间结构中不同要素间半径分形维数的比值作为匹配指数，成为构建城市群协调性指数模型的关键。

依据表1中测度变化规律的一致性结论，以线网和人口半径分形维数的比例关系反映在单一人口分维空间中线网的占比情况，以线网和经济半径分形维数的比例关系反映单一经济分维空间中线网的贡献程度，由此构建的线网-人口匹配指数p，线网-经济匹配指数q，以及两者所形成的分形协调性指数模型α则可表示为

结合表1中半径分形维数的数值区间及其测度变化规律展开对协调指数模型的初步分析，假设式（8）中DL、DG、DP具有相近的数值时，p、q趋近于1，表明城市群中轨道交通线网由中心向外辐射，同时带动周边城市的经济发展和人口流动，特别地，若其中存在DL>DG> 1，则q> 1，表明城市群线网的向外辐射程度远超城市经济的扩张速度，线网存在超前建设的可能，并为经济建设提供方向性。

相同的匹配指数计算方法在线网与人口规模的匹配评价中同样适用，在此基础上进一步将线网-经济匹配指数与线网-人口匹配指数代入式（8），则可以为城市群协调性分析提供综合评价方法。若式（8）中存在DG>DP>DL> 1的半径分形维数关系，则有q 1，此时线网、人口规模、经济体量均沿半径延伸方向扩张，呈现经济覆盖范围同时大于人口覆盖范围和线网覆盖范围的特点，这就使得城市群中可能存在人口分散，线网数量不足且无法带动经济发展的问题。相应地，若半径分形维数存在DG

3 数据统计与量化分析

3.1 典型城市群数据统计

通过OpenStreetMap（OSM）开源地图提取2019 年典型城市群范围内的轨道交通线网，并从城市群中市级或直辖市统计局网站信息中汇总同年的人口和经济数据，构成典型城市群各发展因素的数据集，由此作为实例展开对轨道交通线网分形协调性的论证分析。依据图1，以回转半径增量20 km 对城市群进行同心圆划分，划分结果如图2所示。运用描述性统计分析方法对各圆环带所分割的人口规模、经济体量以及线网数据进行展示，统计特征量的极值、平均值、标准差如表2所示。

图2 典型城市群分形维数同心环带划分图Fig.2 Division of fractal dimension concentric ring of a typical urban agglomeration

图2 中，3 个典型城市群的线网、人口规模和经济体量在观测区域内均不是理想的均衡几何分布形态，且各自差异性相对明显。在线网方面，粤港澳大湾区点、线分枝较简单，整体区域辐射范围大、距离长，但是线网长度在半径方向上相对均匀分布，极值、平均值、标准差均为3个典型城市群中最小值，这说明圆环带所分割的各线网长度之间偏差较小，变化速率相对稳定。相应地，京津冀城市数量和线网分枝数量明显多于粤港澳大湾区城市数量，线网呈现出哑铃型布局特点，且线网在各圆环带中的线网长度极值、平均值和标准差均为3个典型城市群中最大数值。这表明了线网相较长三角和粤港澳大湾区呈现出线网长度大且离散分布的特点，以此满足较大观测区域内的交通运输需求；长三角城市群线网长度和离散程度近似三者中的中间位置，其线网在区域范围内呈现放射状分布，短距离线路居多且分枝数最大，其标准差相较样本整体的最大值和平均值并未存在显著差距。这说明各圆环带内的线网长度波动较小，分析结果与表2中的线网统计结果相吻合。

城市群内部的分工特性是影响人口和经济特性的一个重要因素，结合表2可知，长三角、京津冀和粤港澳大湾区在各个圆环带内人口规模和经济体量方面的平均值相近，三者人口规模平均值规模集中趋近于600 万人，经济体量平均值集中于7 000 亿元。特别的是，长三角和粤港澳大湾区经济体量方面的标准差分别为7 702.61 和8 595.03 亿元，京津冀人口规模方面的标准差为3 196 万人，这表明长三角和粤港澳大湾区在经济体量方面，以及京津冀在人口规模方面的存在较大波动。因此，长三角与粤港澳大湾区轨道交通线网多服务于经济体量，京津冀轨道交通线网则以人口规模作为服务对象。此外，圆环带的划分恰好体现出城市群内部城市的分工特性，如长三角城市群中位于同一圆环带内的苏州、无锡和杭州等多个城市，以科技、电子、贸易等城市职能带动城市群人口的流动，促进经济的发展，这也与该城市群强化周边城市的共同核心导向作用相吻合。

3.2 典型城市群轨道交通线网、人口和经济半径分形维数

依据回转半径模型及线性回归方程，计算得到每个圆环面内轨道交通线网分布累积数L（r）、人口规模累积数P（r）和经济体量累积数G（r），并将回转半径r绘制对数坐标于图中，结果如图3～5 所示。为便于结果分析和描述，各参数下角标数字表示3个典型城市群的顺序标记，不具有实际物理意义。

图3 长三角城市群各指标半径分形维数回归结果Fig.3 Regression results for the radius fractal dimension of each indicator in the Yangtze River Delta

图4 京津冀城市群各指标半径分形维数回归结果Fig.4 Regression results for the radius fractal dimension of each indicator in Beijing, Tianjin and Hebei

图5 粤港澳大湾区城市群各指标半径分形维数回归结果Fig.5 Regression results for the radius fractal dimension of each indicator in Guangdong-Hong Kong-Macao Greater Bay Area

图3~5 中，3 个典型城市群的线网半径分形维数存在DL，1>DL，2>DL，3> 1 的结果。这表明城市线网均属于向外辐射扩张的形态，但在扩张速率上，DL，1= 1.57，长三角城市群明显高于京津冀和粤港澳大湾区。这与表1 中结论保持一致性且符合式（8）中对半径分形维数域值区间和变化规律的描述。由回归分析的拟合优度结果可以发现，3 个城市群的回归判定系数R2均大于0.85，式（5）所构建的城市群各发展因素的分形特征较为明显，这为后续分形维数的分析提供了可靠的数值依据。

与此相似的分析同样可以应用于人口和经济点要素分析中，较为重要的是，粤港澳大湾区的人口半径分形维数DP，3= 0.93。这说明在人口分布上保持了均匀增长态势，各圆环带内的人口数据分布在平均值附近且保持稳定，这与表2中人口标准差为3个典型城市群中最小保持了一致；相反地，经济半径分形维数DP，3= 0.71，数值偏离1，表明粤港澳大湾区的经济随着半径增长到一定数值则趋于平缓，数据呈现离散态分布。该分析结论同样与表2中经济体量数据具有最大标准差这一结果相吻合。

长三角和粤港澳大湾区城市群中，半径分形维数之间的关系为DG

3.3 协调性量化分析

将式（6）计算得到的线网长度、人口规模和经济体量要素分形维数值输入式（8），分别计算长三角、京津冀和粤港澳大湾区3个典型城市群的线网-人口匹配指数p，线网-经济匹配指数q，以及协调性指数α，计算结果如表3所示。

表3 典型城市群的线网与人口、经济匹配指数和协调性指数Table 3 Matching index of transit network, population and economy

结合表3 中匹配指数结果分析，从中可以发现，长三角线网-人口匹配指数p1= 1.76，线网-经济匹配指数q1= 1.87，长三角城镇密度高，区域经济高度一体化，人口出行需求量大，超大城市群结构特征明显，利于交通建设，这说明城市群线网可以满足周边城市的人口出行和经济发展需要。粤港澳大湾区线网-人口匹配指数p3= 1.21，线网-经济匹配指数q2= 1.63，沿海且港口众多，经济体量由广州、深圳、香港和澳门四个核心城市向外辐射，其人口规模受到香港和澳门两个特别行政区的影响，保持相对稳定。京津冀线网-人口匹配指数p2= 1.01，线网-经济匹配指数q2= 0.90，是北方经济体量最大、活力最强的城市群，人口密度高且线网结构复杂。三者的线网-人口匹配指数和线网-经济匹配指数皆说明线网的覆盖范围需结合城市群整体实力进行建设，且依据人口规模相对较大的城市及个别城市的经济体量适当增加或减少线网分布。

结合表1、表3 可知，长三角城市群线网—城市规划协调性指数α1= 0.94，其值趋近于1，DL与DP、DL与DG的比值接近，这说明线网与人口、线网与经济的同步性发展趋势，同时体现了人口与经济两要素间的分维一致性特点。此外，q1>p1> 1 的比较关系表明线网相对人口规模和经济体量的增长速率较快，能够满足人口与经济的发展需求，这表明线网、人口和经济三要素之间的匹配一致性。结合表2中长三角城市群线网与人口、经济的标准差围绕平均值上下波动较小，展现出城市群内部的稳定性，这也从侧面验证了长三角城市群轨道交通与城市发展规划的相对均衡特性。京津冀城市群线网-城市规划协调性指数α2= 1.12，粤港澳大湾区城市群线网-城市规划协调性指数α3= 0.74，两者均偏离1，存在分维不一致现象。不同的是，京津冀城市群存在p2> 1 >q2的比例关系，这表明线网相对于人口增长速率较快，但相较于经济增长速率较慢，线网的建设更多地参考人口的分布情况；而粤港澳大湾区存在q3>p3> 1 的比例关系，这表明线网相对于人口和经济的增长速率都快，但经济相对于人口的增长速率更快。这与表2中京津冀人口规模要素、粤港澳大湾区经济体量要素的标准差与平均值差距较大相呼应，验证了京津冀城市群以人口规模为服务主体的城市发展格局，粤港澳大湾区城市群更以经济体量为主要服务领域的城市发展格局。

4 结论

本文基于分形理论，结合城市群轨道交通线网规划协调性的影响因素，构建城市群轨道交通线网、人口规模和经济体量要素间的分维协调性指数模型，探究线网长度-人口规模、线网长度-经济体量多角度关联关系，并结合城市群所属要素间的描述性统计进行典型城市群轨道交通协调性分析。结果表明，长三角城市群协调性指数达到0.94，轨道交通线网与人口规模和经济体量匹配度较平均，发展相对均衡；粤港澳大湾区协调性指数为0.74，轨道交通线网与经济体量匹配程度较高，线网侧重于服务经济；京津冀城市群协调性指数为1.12，轨道交通线网整体结构发展较复杂，线网-人口匹配度较高，线网侧重服务领域为人口。但是，城市群中仍存在内部空间结构的复杂特征和不合理的建设，整体协调性不足，如线网建设在粤港澳大湾区中并未满足人口流动的需求，而在京津冀城市群中线网也未跟随经济发展的趋势。3个典型城市群的协调性指数综合体现了城市群轨道交通线网结构与城市群人口规模、经济体量间的协同性和系统性。但需要指出的是，本次研究中所采用的回转半径模型是城市群几何中心展开的，对于诸如粤港澳大湾区等具有多分散中心的城市群微观结构的研究需要考虑更多的空间统计分布特征量，包括平均中心、中位数中心和线网核密度等，后续将在此次研究的基础上进一步开展模型微观影响因素的研究。