新高考背景下高中数学复习课之微专题策略

陈美兰

【摘要】高考作为学生要面对的一次重大考验，也是人生的一大转折点，重要性不言而喻，随着新高考政策的颁布与实施，对广大高中教育工作者来说是严峻挑战，同时对学生的备考也产生一定影响，他们应给予格外关注.在新高考背景下的高中数学教学中，复习课是一个常设课型，教师可引入微专题的复习模式，让学生产生更好的复习状态，提升他们的复习质量.本文以新高考背景下高中数学复习课之微专题为研究对象，同时制定部分有效策略.

【关键词】新高考；高中数学；复习课

微专题作为高中数学复习课中比较常用的一种方式，因为高中数学知识比较抽象，难度较大，微专题可以把抽象的复习内容转变为简单的学习过程，且立体直观的呈现出来，有助于学生进一步巩固所学的数学知识，帮助他们在未来高考中获得优异成绩.高中数学教师需主动响应新高考的要求，关注学生的个体差异与学习状态，不断完善微专题在复习课中的使用方式，使其更加易于接受，接触到更为具体与全面的数学知识，全力提升他们的数学知识水平［1］.

1  教材内容分析

微专题具有“微”的特征，与大专题相比较来说，通常属于大专题构成部分之一，其范围比较小，内容较少，极具精确性、精准性与针对性，往往围绕一种常见题型、某一特色问题或者一种常用解题方法等展开，同时也有“专”的特征，对某个特定数学问题的难点、原理、解法、思路等进行深层次分析.

本文以高中数学复习课中“函数零点数量的判断”为例介绍微专题的具体应用，函数的零点作为高中数学课程体系中的重要概念之一，是学生学习导数、不等式、二分法等知识的理论基础，本节课作为一节复习课，教师从不同视角把函数和方程、数和形巧妙整合起来，体现出函数和方程、数形结合、从特殊到一般、转化和化归等数学思想方法，增进他们对函数的零点相关知识的理解与认识.

本节复习课的主要目标是帮助学生能够熟练判断不含参数函数的零点数量，促使他们进一步掌握判断含参数函数零点数量的技巧［2］.

2  具体教学安排

2.1  关注基础，总结方法

例1  （1）函数f（x）=x2－3x－4的零点数量有几个？

（2）证明函数f（x）=lnx+x－3的零点数量有且只有1个；

（3）已知偶函数f（x）满足f（x－1）=f（x+1），且当x∈［0，1］时，f（x）=－x+1，那么有关x的方程f（x）=lg（x+1）在x∈［0，9］上解的数量有几个？

针对第（1）题，可以直接求方程x2－3x－4=0的根，或者通过画图的方式来判断该函数的零点个数.

针对第（2）题有两种解法：

解法1  因为函数f（x）单调递增，且f（1）〈0，f（e）〉0，根据函数零点的有关定理进行分析和判断，发现这个函数的零点数量为1个；

解法2  将原函数转变为函数g（x）=lnx与h（x）=x－3，发现这两个函数图像交点的横坐标只有一个，即为证明该函数有且只存在1个零点.

针对第（3）题，可以将原题转变成函数f（x）和函数g（x）=lg（x+1）在区间［0，9］中交点的数量问题.

通常而言，针对如函数f（x）=g（x）－h（x）的零点等价与方程g（x）－h（x）=0的根，继而等价于函数y=g（x）和y=h（x）图像之间的交点，这叫做分离函数法.

接着，教师组织学生一起探讨和归纳解题技巧，他们将会归纳如下：

①函数y=f（x）的零点数量就是对应方程f（x）=0根的数量；

②可运用函数零点存在性定理来判断零点的具体数量；

③借助等价变形的方法把方程解的情况转变成两个函数图像之间的交点问题.

设计目的：本组试题都属于对函数零点数量的判断，虽然考查的知识点以基础内容为主，但是能够展现出函数零点数量的实质，即为函数图像与x轴相交的点的横坐标，或者为f（x）=0的根［3］.

2.2  深化理解，培育素养

例2  已知函数f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函数g（x）=f（x）－m存在3个零点，那么实数m的取值范围是什么？

并安排以下变式：

变式1  已知函数f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函数g（x）=f（x）－mx存在2个零点，那么实数m的取值范围是什么？

变式2  已知函数f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函数g（x）=f（x）－m存在3个零点，分别是x1，x2，x3，那么x1+x2+x3的取值范围是什么？

变式3  已知函数f（x）=2x－1，x>0－x2－2x，x≤0，函数g（x）=f（f（x））－m存在3个零点，那么实数m的取值范围是什么？

解题思路  例2中的题目能够等价转变成方程f（x）=m刚好存在3个根，然后等价为函数f（x）图像和直线y=m之间的交点数量是3个，并结合直线y=m的上下变动情况轻松确定实数m的取值范围，同时也能够把这一问题的零点数量进行变换，该方法的实质是参变分离，即为分离参数法；

变式1能够转化成函数f（x）的图像与直线y=mx之间的交点数量为2个，结合直线y=mx围绕原点进行转动符合条件时直线的起始位置，从而把实数m的取值范围计算出来；

变式2是深化学生对数形结合思想与转化思想的理解和運用；

变式3设t=f（x），这时应分析方程f（t）=m与方程t=f（x）即可，如果当0〈m〈1时，f（t）=m存在3个解，分别记作t1，t2，t3，且（t1〈－1〈t2〈0〈t3），再根据f（x）=t1有1个解，f（x）=t2有1个解，f（x）=t3有3个解，由此一共得到5个解，与题意明显不符，同理可以分析当m=0，m=1，m〈0，m〉1的不同情况，综合分析可可得m=0或者m=1.

变式3可归结为复合函数的零点问题，该解题方法是对“f（t）=m”进行整体代换，即为对整体代换法的使用.

设计目的  本组题目都是结合函数零点数量来求参数范围，通过一题多变的方式揭示此类题目主要考查的是学生对数形结合思想的理解情况与应用能力，也就是根据函数图像同x轴之间的交点情况来判定零点个数，也可以拆分成两个函数进行分析，结合它们的公共点情况找到参数的具体范围，常规解题流程是先“形”后“数”.这样学生借助一题多变训练了解和掌握处理函数零点问题的几种常用方法，锻炼他们的解答此类数学试题的能力，基本实现微专题复习的教学目的［4］.

2.3  亲身实践，增强能力

例3  已知函数f（x）=2lnx－x2+ax（a∈R），如果函数g（x）=f（x）－ax+m在区间［1e，e］中存在2个零点，请求出实数m的具体取值范围.

经过前面几个环节的学习，学生基本学会处理函数零点问题中找到参数取值范围的技巧，教师应鼓励他们尽可能找出不同的解题方法，主要有以下几种：

解法1  图像法，运用导数对函数的单调性进行分析，根据题意画出图1，

图1

因为函数g（x）=f（x）－ax+m，

所以g′（x）=2x－x=－2（x+1）（x－1）x，

又因为x∈［1e，e］，

所以根据g′（x）=0能够求得x=1，

当1e≤x〈1时，g′（x）>0，函数g（x）具有单调递增的特性，

当1〈x≤e时，g′（x）〈0，函数g（x）具有单调递减的特性，

故当x=1时，函数g（x）有最大值g（1）=m－1，

又因为g（1e）=m－2－1e2，g（e）=m+2－e2，

所以g（x）=f（x）－ax+m在区间［1e，e］内存在2个零点需要满足的条件是g（1）=m－1>0，g（1e）=m－2－1e2≤0，g（e）=m+2－e2≤0，

解之得1〈m≤2+1e2，

所以说实数m的取值范围是（1，2+1e2］；

解法2  分离函数法，

因为出g（x）=2lnx－x2+m=0，

所以2lnx=x2－m，

让函数h（x）=2lnx（x∈［1e，e］），φ（x）=x2－m（x∈［1e，e］），

能够等价转变成函数h（x）和函数φ（x）的图像刚好存在2个交点，然后按照正常步骤进行求解.

解法3  参变分离法，

令g（x）=2lnx－x2+m=0，可以得到m=x2－2lnx，

能够转变成函数h（x）=x2－2lnx（x∈［1e，e］）同直线y=m刚好存在2个交点，然后按照正常步骤进行求解.

设计目的  本环节的安排紧紧围绕本节复习课的微专题展开，难度系数略高于前面两道例题，能够进行一题多解训练，教师要给予学生充裕的时间进行思考和分析，让他们亲自动手进行实践解题，从而实现检测练习的目的，使其将各自的解法分享出来，组织学生相互讨论和评价，使其及时发现问题和纠正，让他们深化理解这几种不同处理函数零点问题的方法，使其形成不错的解题能力［5］.

3  本课教学感悟

在本节复习课中采用微专题模式，带领学生复习“函数零点问题”，主要有以下几个方面的感悟：

（1）针对高中数学复习课来说，采用微专题教学，能够助推学生更好的处理部分热点问题与高频考点，提升他们复习行为的针对性与目的性，以此节省宝贵的复习时间，使其有的放矢弥补自己的不足之处，并增强对高考重点与热点的巩固，升华复习效果.

（2）在高中数学复习中，通常要安排一些月考、综合测试、单元测试与模拟考试等，针对考试中学生出现的问题，十分适合采用微专题的形式来讲评试卷，显得求专不求全，借助问题生成微专题，让他们解决在复习中真实存在的问题，使其复习行为变得根据针对性与目的性［6］.

（3）微专题教学能够充分激活学生的背景知识，发散他们的数学思维，使其深入探究解决数学试题的方法与窍门，利用一题多变帮助学生突破固有章节的束缚，使其通整合与串联建立完善的数学知识体系，促使他们对学习内容融会贯通，改善数学综合能力与素质.

4  总结

总的来说，在新高考背景下的高中数学复习课教学活动中，教师应充分意识到微专题的作用和价值，结合数学学科特征与知识特色巧妙引入微专题复习模式，把复杂、困难的高中数学复习内容设计成多个微专题，将复习任务变得更为精细化、精确化与精准化，降低学生的复习难度，从根本上帮助他们解决复习中遇到的问题，进一步提升数学学习能力，全力改善复习质量，使其以更好的心态去应对每一次考试，增强自信心，为高考做好充足准备.

【福建省莆田市2023年度名师工作室专项课题：“四新”背景下高中数学复习课之微专题策略研究（PTMS2023051）研究成果】

参考文献：

［1］张鹏理.高中数学复习中微专题的价值探究与实施途径［J］.数学教学通讯，2023（09）：43-45.

［2］姬彩生.利用微专题复习高中数学知识确保高考备考更科学［J］.中学数学，2022（11）：49-50.

［3］方章颜.基于深度学习的高中数学微专题教学策略［J］.中学数学，2022（15）：13-15.

［4］黃祥嘉.高中数学微专题课堂教学的有效实施［J］.试题与研究，2021（33）：97-98.

［5］倪树平.精准·精细·精炼：高中数学微专题深度教学的思考［J］.中学数学教学参考，2020（19）：67-70.

［6］陈志恩.再谈高中数学“微专题”教学——微专题的编制策略与方法［J］.中学理科园地，2020，16（05）：44-46.