例谈同构法在高中数学解题中的应用

殷春玲

【摘要】本文以同构法在高中数学解题中的应用为研究对象，系统阐述同构法的基本原理和具体应用过程，重点讨论其在比较大小、解方程或方程组以及解不等式等方面的应用.通过对案例的分析和解析，展示同构法在高中数学解题中的实际应用效果.同构法能够提高学生的问题分析能力和解题思维水平，对于培养学生数学素养具有重要意义.

【关键词】同构法；高中数学；解题技巧

由于数学知识的抽象性和复杂性，学生在解题过程中常常遇到困惑和难题.针对这一问题，研究者们不断探索和开发各种解题方法和策略，其中同构法作为一种新颖且有效的解题方法备受关注.本研究旨在探讨同构法在高中数学解题中的具体应用，并深入分析同构法的基本原理和解题步骤，从而为教学实践提供参考和借鉴.

1  同构法相关概述

1.1  同构法的含义及基本原理

同构法是一种在数学解题中常用的方法，其基本原理是通过寻找数学对象之间的相似性和等价关系，将复杂的问题转化为一个更简单的同构问题进行求解.同构字面上意味着两个或多个物体在某些方面具有相同的结构或特征.同构法的核心思想是将问题中的数学对象进行抽象，找到它们之间的相似性，并建立合适的映射关系.在解决同构问题时，可以利用已知的数学工具、公式和定理，将其得出的结论通过映射关系迁移到原问题上.

2  同构法在高中数学解题中的应用研究

2.1  同构法在不等式中的应用分析

同构法是高中数学中常用的一种解题方法，通过同构法，可以将不等式中的各项进行变形，使得原不等式与某个已知的不等式同构，从而简化不等式的求解过程.

例1  若当0＜x1＜x2＜a时，有不等式x2lnx1－x1lnx2x1－x2＞1成立，试求解a的最大值.

解析  这类不等式题目的求解是高中数学常见的题型，核心思想是将不等式进行同构化处理.具体而言，若是直接通过不等式求解x2的取值再推算a的取值范围，那么需要大量复杂的计算，可以通过同构化处理将不等式进行化简，就上述例题而言，可以将其无关变量整理，得到如下不等式：

lnx1+1x1＜lnx2+1x2

观察化简后的不等式，便可以将其转换为函数单调性的求解问题，即构造这样的函数，f（x）=lnx+1x，为了使上述不等式恒成立，则根据题目已给条件可知，必须使函数f（x）保持单调递增.由此便通过同构化处理将复杂的不等式问题转变为求解函数单调性的问题，学生可以快速地得出f（x）=lnx+1x的单调递增区间（0，1），在求解出x的取值后，便可以得出a的最大值为1的最终结果.

2.2  同构法在函数导数中的应用分析

同构法在导数中的应用是高中数学学习中一个重要的话题，该方法帮助学生理解导数的性质和应用，并且可以简化一些复杂的导数求解过程.下面结合高中数学的例题来详细介绍同构法在导数中的应用，并分析其在教学中的意义.

例2  现已知函数f（x）=aex－lnx－1.试证明该函数当a≥1/e时，f（x）≥0恒成立.

解析  就该例题而言，式子中指数、对数同时存在，无法直接确定函数的单调性.在此情况下，便可以考虑同构化思想，将指数对数项进行合并，经简化处理后再观察函数.具体如下：

当有a≥1e时，则可知f（x）≥exe－lnx－1恒成立，

因而可将上述证明题转变为证明exe－lnx－1≥0恒成立.

考虑到上式中指数、对数同时存在，通过同构化处理得到如下不等式：ex≥elnx+e，

将上述不等式两边同时乘以x，可知其等同于：

xex≥elnex+lnex等同于xex≥elnexlnex，

结合化简后的不等式构造函数，即g（x）=xex，最终又将上述问题转换为函数的单调性求解，即通过对该函数求导，研究其在题目限定区间内函数的单调性即可得出最终证明结果.

对g（x）进行求导，可知：

g′（x）=ex+xex=（x+1）ex，

由于ex大于0，所以函数g（x）在（-∞，-1］区间单调递减，在［-1，+∞）单调递增.

根据函数f（x）=aex－lnx－1可知x＞0，

所以g（x）在（0，+∞）为单调递增，

又有x大于0时x＞lnex，所以上式成立，

因而当a≥1/e时，f（x）≥0恒成立.

由此可见，通过引入同构法，可以帮助学生更好地理解导数的性质和应用，提高他们的数学建模和问题求解能力.

2.3  同构法在解析几何中的应用分析

通过同构法，我们可以更好地理解和解决解析几何中的问题，同时也有助于培养学生的逻辑推理能力和几何建模能力.

例3  已知双曲线C的方程为x2－y23=1，其与椭圆x28+y24=1有相同的焦点，且直线y=  3x为双曲线C的一条渐近线.若是过点P（0，4）的直线l与双曲线交于A、B两点，并与x轴相较于点Q，问当PQ=λ1QA=λ2QB，且λ1+λ2=－83时，Q点的坐标为多少.

解析  对于该例题而言，假设点A、B、Q坐标分别表示为A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，0）.结合题目已知条件可知，直线I过点P和点Q，那么根据P、Q坐标可以求出直线l的表达式：y=kx+4.

则点Q坐标为Q（－4k，0）.

因为PQ=λ1QA，

所以（－4k，-4）=λ1（x1+4k，y1），

所以－4k=λ1（x1+4k）－4=λ1y1，

解得：x1=－4kλ1－4ky1=－4λ1，

所以A（－4kλ1－4k，－4λ1），将点A坐标带入到双曲线方程中并进行整理，

得出：（3x20－3）λ21+6x20λ1+3x20－16=0，

按照同样的思路可以得到：

（3x20－3）λ22+6x20λ2+3x20－16=0，

由此可知，λ1与λ2分别为一元二次方程（3x20－3）λ2+6x20λ+3x20－16=0的两个根.

因此λ1+λ2=6x203－3x20=－83.

最终解出x0=±2，Q坐标即为（±2，0）.

3  结语

同构法是一种在高中数学解题中常用的策略，可以帮助将复杂的问题转化为简单的同构问题，并通过解决同构问题来得到原问题的解答.同构法不仅有助于学生理解数学对象之间的关系，更能让他们思维更加严谨和灵活，培养解决实际问题的能力.

参考文献：

［1］夏继平.例谈“同构法”在高中数学解题中的应用［J］.中學数学研究，2023（08）：46-48.

［2］张连吉.例谈构造法在高中数学解题中的应用［J］.福建中学数学，2017（05）：47-49.

［3］张利平.例谈构造法在高中数学解题中的应用［J］.数理化学习（高中版），2015（07）：18-19.