高中数学解题中分类讨论思想的运用

罗雅婧

【摘要】在高中数学教学中，教师应当善于运用分类讨论的数学思想开展解题教学活动.纵观近几年高考数学题目，每一年均会不同程度考查学生对分类讨论思想的运用能力.由此看来，分类讨论思想是高中数学解题教学中的重点内容.为了能够有效帮助学生掌握分类讨论的解题方式，教师可以通过理论知识讲解与习题训练相结合的方式开展教学，从而引导学生在不同的数学题型中运用分类讨论思想解决问题，进而有效提高学生的数学核心素养.

【关键词】高中数学;解题教学;分类讨论

很多高中学生在解答数学题目时无法从宏观视角思考问题，进而导致正确率较低，这主要是由于学生没有彻底掌握分类讨论的数学思想［1］.在面对不同的数学习题时，高中学生应当找出相应的切入点，并能够采用不同的标准进行解答［2］.因此，高中数学教师应当在教学实践过程中，积极带领学生进行解题训练，在课堂中为学生预留充足的时间进行自主探究，进而使学生能够深度揣摩这一数学思想，了解分类讨论在解题中的运用过程.本文分别从三角函数、三角形、导数等层面来详细阐述分类讨论思想的运用过程.

1  分类讨论思想在三角函数题型中的运用

学生在解答三角函数类型题目时，一般会运用分类讨论的数学思想来探究图象、相位以及周期的可能性［3］.因此，在看到具体题目后，教师应当引导学生从这三种可能性入手，深度挖掘题干中的关键信息，进而将可能性的范围一步步缩小，最终分类讨论找出正确答案.

例1  已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω>0，ω∈N*，0<φ<π）图象上A的坐标为π24，0，且该函数的一条对称轴为x=π6.如果看函数f（x）在区间π6，π3上单调，则φ的值为（   ）

（A）π6.  （B）π4.  （C）π3.  （D）2π3.

解析  通过阅读题干信息能够发现，函数f（x）在区间π6，π3上单调，我们可以得出π3－π6=π6≤T2，即12×2πω≥π6，最终能够确定ω的范围：0<ω≤6.

题干指出点A在函数f（x）图象上，且直线x=π6为函数f（x）图象的一条对称轴，那么我们能够得出：π6－π24=π8.此时需要进行分类讨论：

当π8=T4，那么T=2πω=π2，最终可以得出ω=4，符合0<ω≤6，满足题意；

当π8=3T4，那么T=2πω=π6，最终可以得出ω=12，不符合0<ω≤6，不满足题意；

因此得到f（x）=cos（4x+φ），题干指出x=π6为该函数的一条对称轴，那么4×π6+φ=kπ，k∈Z，φ=kπ－2π3，k∈Z，又因为0<φ<π，可以得出φ=π3，因此正确答案为选项（C）.

点评  在解答题目中，我们能够根据函数f（x）在某一区间中的单调特征来进一步找出该函数的周期范围，此时可借助函数周期公式来计算ω的范围；根据题干中已知点的信息、对称轴的信息可以开展分类讨论，探究不同可能性下ω的数值大小，看哪一情况下的ω符合范围，最终得出正确答案.

2  分类讨论思想在三角形题型中的运用

在解答三角形类型的数学题目时，学生往往会借助正弦定理、余弦定理进行辅助解答，在具体计算中可能会存在多种情况，此时教师应当引导学生来进行分类探究，对三角形的边或者内角等因素进行分类［4］.在推导过程中能够发现某些可能性的矛盾之处，学生可以据此舍去这一情况；假设在推导中无法證明矛盾，那么说明这一情况成立.

例2  在钝角△ABC中角A，B，C对应边a，b，c，已知a>b，a=6，且满足3sinB－3sinC=cosA，cos2A=－79，那么△ABC的面积为（   ）

（A）4.  （B）8.  （C）42.  （D）82.

解析  通过题干信息能够发现：a=6，3sinB－3sinC=cosA，此时运用正弦定理能够进一步得到：3b－3c=a=6，最终得出：b－c=2①；又因为cos2A=2cos2A－1，cos2A=－79，最终得出：cosA=±13.

此时进行分类讨论：

当cosA=13时，此时运用余弦定理能够进一步得出：a2=b2+c2－2bccosA，即36=b2+c2－23bc=（b－c）2+43bc=4+43bc，即bc=24②；综合式子①②能够计算得到b=6，c=4，不符合题意；

当cosA=－13时，sinA=1－cos2A=223，此时运用余弦定理能够进一步得出：4+83bc=36，即bc=12，根据式子①能够计算得到b=1+13，c=－1+13，满足a>b，则S△ABC=12bccosA=12×12×223=42，因此正确答案为（C）选项.

点评  首先根据题干信息列出等式，再利用正弦定理计算得出cosA的两个可能性数值；运用分类讨论思想来对两种情况进行逐一分析，最终发现cosA=13不符合题意，而cosA=－13符合题意，因此，计算出当cosA=－13时△ABC的面积即可.

3  分类讨论思想在导数题型中的运用

导数题是最易考查分类讨论思想的一类题目，一般会运用分类讨论的数学思想来探究参数值的可能性，进而分析导数在不同区间中的单调性情况［5］.因此，授课教师可以引导学生对参数情况进行分类讨论，最终分析其是否符合题意.

例3  已知函数f（x）=xex+1，g（x）=a（ex－1），当x>0时，有f（x）≥g（x），则实数a能取到的最大整数为（  ）

（A）1.  （B）2.  （C）3.  （D）4.

解析  根据题干信息进行假设，令h（x）=f（x）－g（x）=xex+1－a（ex－1）=（x－a）ex+a+1，那么可以得出h′（x）=（x－a+1）ex.此时进行分类讨论：

当a≤1时，那么可以发现h′（x）>0在（0，+∞）上恒成立，这说明h（x）在（0，+∞）上单调递增，只要h（0）≥0就可满足题意，经计算得出h（0）=1，满足题意.

当a>1时，令h′（x）=0，最终计算可以发现x=a－1，那么当0a－1时，h′（x）>0，这说明h（x）单调递增；h（x）min=h（a－1）=－ea－1+1+a，要想满足题意只需-ea－1+1+a≥0，即1+a≥ea-1.当a=2时，3>e成立；当a=3时，4>e2不成立.

汇总后能够发现，a最大为2，因此正确答案为（B）项.

点评  题目中要学生计算得出参数a的最大整数值，为了能够解决这一问题，学生就需要将该问题进行转化，从而探究函数恒成立的问题，进而求得函数的最值.由此看来，在导数题型中分类讨论主要探究最值，学生应当熟练运用导数相关知识进行解答.

4  结语

高中学生在运用分类讨论思想进行解答时，需要深度挖掘题干信息，进一步明晰分类依據，并熟练使用相关知识来对分类情况进行取舍.因此，数学教师在开展解题教学时，需要引导学生掌握分类讨论的解题技巧，把握分类讨论的解题思路，帮助学生积累丰富的解题经验，有效提高学生的实践运用能力.

参考文献：

［1］刘朝清.高中数学教学中分类讨论思想的应用探讨［J］.科学咨询（教育科研），2023（05）：232-234.

［2］朱亚丽. 高中数学分类讨论思想教学研究［D］.重庆：西南大学，2022.

［3］曾祥均.浅谈分类讨论思想在高中数学解题中的应用［J］.数学学习与研究，2022（32）：146-148.

［4］耿琪，王靖钊.高中数学教学中分类讨论思想的应用［J］.新课程教学（电子版），2022（15）：132-133.

［5］牛伟.基于核心素养的高中数学分类讨论教学研究［J］.数学教学通讯，2022（21）：53-54.