高中数学的主要最值问题及解题方法探讨

郑菊萍

【摘要】“求最值”问题是高中数学考试中学生容易失分的一类题型，其对学生基础知识的掌握情况和逻辑思维能力具有较高的要求.学科教学中，教师应注重此类问题的归纳总结，引导学生掌握解题规律和方法，以此帮助学生更好地应对此类题型.本文对不等式、解析几何、向量三个知识板块中最值问题的求解方法进行归纳和阐述，以供参考和借鉴.

【关键词】高中数学；最值问题；解题方法

1  不等式最值问题的解题方法

1.1  添项构造法

此方法的解题思路为：观察题目已知条件特征，思考已知条件、求解代数式、不等式基本性质之间的关系，在此基础上，通过增添项目的方式，对求解代数式进行转化变形，使式子满足使用不等式基本定理的条件，从而利用不等式基本定理完成最值的求解［1］.

例1  已知：x＜15，求函数y=5x+15x－1的最大值.

由x＜15可知5x＜1，即1－5x＞0.

又因为y=5x+15x－1

=1－1－5x+11－5x，

根据不等式基本定理a+b≥2ab可知，

y=1－1－5x+11－5x≤

-121－5x×11－5x=－1，

当且仅当1－5x=1，1－5x时取等号，

由此解得函数y=5x+15x－1的最大值为-1.

1.2  换元法

此方法的解題思路为：创造一个单一变量，利用其替代题目中的某个较为复杂的表达式，以此实现求解题目的转化变形，使其满足使用某种性质或定理的条件，从而完成最值的求解.

例2  已知－6≤a≤3，求3－aa+6的最大值.

令tx=3－aa+6=－ a+322+814，a∈－6，3.

由二次函数的基本性质可知，

tamax=t－32=814，

故3－aa+6的最大值为tamax=814=92.

2  解析几何最值问题的解题方法

2.1  利用三角函数有界性求解

在解答解析几何知识板块最值问题时，若题目中存在“圆与直线相交”“圆与三角形之间存在特殊位置关系”等信息时，可优先考虑利用三角函数的有界性进行解题［2］.

例3  已知圆C：x－12+y－22=2，若等边三角形PAB的一条边AB为圆C的一条弦，求PC的最大值.

图1

根据已知条件，在直角坐标系中绘制出圆C与等边三角形PAB的位置关系示意图（见图1）.连接AC、BC、PC，PC与AB交于点D.

因为AC、BC均为圆C的半径，

所以AC=BC.

又因为△PAB为等边三角形，

所以D为AB的中点，且PC⊥AB.

由圆C：x－12+y－22=2，

可知半径R=2，

则AD=2cosθ，CD=2sinθ，

等边△PAB中，

PD=32AB=6cosθ，

故PC=CD+PD=2sinθ+6cosθ=22sinθ+π3.

根据三角函数的有界性可知

22sinθ+π3≤22，

由此得出PCmax=22.

2.2  构造函数进行求解

此方法的解题思路为：分析已知条件，找出问题中的变量，根据数值、图形两方面的关系，写出目标式，构造出函数.然后，根据函数的基本性质完成最值的求解.

仍以上述题目为例.

设AD=x，x∈0，2，

则PC=3x+3－x2.

记fx=3x+3－x2，

则f′x=3－x2－x2，

令f′x=0，可解得x=62∈0，2，

当x∈0，62时，f′x≥0，函数单调递增；

当x∈62，2时，f′x＜0，函数单调递减.

故当x=62时，fx取最大值，

即f62=22，由此可知，PCmax=22.

3  向量最值问题的解题方法

向量最值求解也是高考中常见的题型.针对此类题型，解题时应先结合一致条件，细心梳理出各向量之间的关系，然后基于投影定义、向量模公式、数量积公式、数乘运算法则等知识的整合运用，建立关于x、y、z的关系式，以此减少目标式中变量的个数，将向量最值求解转化为代数式最值求解，在此基础上灵活运用以下方法进行求解［3］.举例（略）.

3.1  数形结合法

该方法的解题思路为：分析、挖掘题目中已知条件和目标式的几何意义，在此基础上建立直角坐标系，将反映已知条件的图形画在坐标系中，通过图形位置关系的分析，明确目标式获取最值的情形，完成解题.具体解题方法（略）.

3.2  导数法

此方法的解题思路为：根据已知条件确定自变量和取值范围，然后将目标式视为一个函数，对其进行求导，在此基础上根据导函数与“0”的大小关系，判断函数的单调性和单调区间，进而确定出函数的极值，完成解题.运用该方法解答向量最值问题时的关键点为构造出合适的函数式.具体解题方法（略）.

参考文献：

［1］苗祥磊，王德朋.关于解决高中数学中最值问题的分析［J］.数理化解题研究，2023（28）：19-21.

［2］宫里华.高中数学常见最值问题及解题策略探究［J］.数理天地（高中版），2023（15）：4-5.

［3］轩爱成.高中数学最值问题求解策略教学探讨［J］.高考，2021（24）：73-74.