“不动”点“妙”解数列通项

王春宇

【摘要】数列是不动点妙解的重要应用领域，但有些数列的通项公式由于递推关系的复杂性而难以求解.本文介绍不动点妙解数列通项的方法，通过寻找数列中的不动点，将数列中的某一项作为参数，代入递推关系式中，求解得到该项的通项公式.该方法可以简化数列递推关系的处理，使得求解数列通项公式更加容易.

【关键词】高中数学；数列；不动点

数列在高中数学中占有很重要的地位，而有些数列的通项公式由于数列递推关系的千变万化变得很复杂.定义方程f（x）=x的根为函数f（x）的不动点，通过函数不动点，可把数列递推关系an=fan－1转化为我们熟知的等差数列、等比数列或较易求通项的数列

命题1  形如an=pan－1+q（p≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不动点，即λ=pλ+q，则an－λ=p（an－1－λ），这样我们就得到{an－λ}的等比数列.

证明  因为an－λ=pan－1+q－λ=pan－1+q－pλ－q=p（an－1－λ），

所以{an－λ}为等比数列.

命题2  形如an=aan－1+bcan－1+d（c≠0，ad－bc≠0），λ是此形式an=f（an－1）的不动点，即λ=aλ+bcλ+d，则1an－λ=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ（a，b，c，d，λ为常数），令bn=1an－λ，这样我们就得到形如an=pan－1+q.

证明  因为λ=aλ+bcλ+d，

所以b－dλ=cλ2－aλ，

所以1an－λ=1aan－1+bcan－1+d－λ

=1（a－cλ）an－1+b－dλcan－1+d=can－1+d（a－cλ）an－1+b－dλ=can－1+d（a－cλ）an－1+cλ2－aλ=can－1+d（a－cλ）（an－1－λ）=c（an－1－λ）+cλ+d（a－cλ）（an－1－λ）=cλ+da－cλ·1an－1－λ+ca－cλ.

例1  已知数列an的首项为a1=5，前n项和为Sn，且Sn＋1=2Sn+n+5（n∈N*），求数列an的通项公式.

解  由已知Sn＋1=2Sn+n+5，

得当n≥2时，Sn=2Sn－1+（n-1）+5，

两式相减，得an＋1=2an+1（n≥2），

当n=1时，S2=2S1+6，

即a1+a2＝2a1+6，

即a2=a1+6，

又a1=5，所以a2=11，

从而a2=2a1+1，

故an＋1=2an+1对n∈N*成立.

令x=2x＋1，则x=-1，在递推式an＋1=2an+1两边同时减去－1，

即an＋1+1=2（an+1），

所以数列{an+1}是公比为2的等比数列，

所以an+1=（a1+1）×2n－1=6×2n－1，

故an=3×2n-1（n∈N*）.

例2  （重庆高考题）设数列an满足a1=1，8an+1an－16an+1+2an+5=0（n≥1），求数列an的通项公式.

解  方法1

化简8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，

则x=12或54.

在递推式an+1=2an+516－8an两边同时减去12，

即an+1－12=2an+516－8an－12，

化简得1an+1－12=21an－12－43.

令bn=1an－12，

得bn+1=2bn－43，

再令λ=2λ－43，则λ=43，

从而bn+1－43=2bn－43，

故bn－43=2n－1b1－43.

又b1=1a1－12=2，

从而得bn=4+2n3.

又bn=1an－12，

故an=5+2n－14+2n.

方法2  化簡8an+1an－16an+1+2an+5=0，

得an+1=2an+516－8an，

令x=2x+516－8x，则x=12或54.

在递推式两边同时减去12或54，

即an+1－12=6（an－12）16－8an，

an+1－54

=12（an－54）16－8an，

所以an+1－12an+1－54=12an－12an－54，

从而an－12an－54=12n－1a1－12a1－54=－42n，

所以an=5+2n－14+2n.

对于求此类一次齐次分式数列通项，方法1不管有一个不动点还是两个不同不动点都可以，但方法2要求更苛刻一些，它要求有两个不同的不动点.

结语

数列很能锻炼学生的思维，它有一定的技巧，不动点“妙”解数列（特别是分式数列）通项就是这样的一种技巧，我们要一看到求数列通项就看看“不动点法”可不可以用，灵活运用它.其实不动点还可以解决更多的数列通项的题，大家如果有兴趣可以更深入地探究，只要大胆尝试，就会有发现.千变万化的递推关系，“不动”点以静制动，点到路“通”，“妙”解分式数列.

参考文献：

［1］侯雪花.等差数列、等比数列的一个新的性质［J］.2007（19）：17-18.

［2］张玉良.基于构造法的高中数学解题教学——以等差、等比数列为例［J］.2019（13）：135.

［3］田彦武.等差数列的一个新性质［J］.2008（1）：16-17.