函数不等式的三种解题技巧

史旭东

【摘要】在新课标背景影响下，在职业高中数学教学中要以培养学生核心素养为基础，全面提升学生的思维能力、解题能力和实践能力.对于函数不等式模块的教学来说，此模块的教学内容和传统的教学内容已然发生了一定的变化，但是也和以往的教材存在一些相同点.因此在当下的职业高中数学教学中，必须要充分结合全新的教材设计，针对性地将函数不等式模块教学所存在的问题进行解决，让学生能够将本模块的知识内容以及解题技巧进行充分掌握，从而彰显新课标背景下的教育改革实效.

【关键词】函数不等式；数形结合；解题技巧

1  构建具体函数进行解题

在面对函数不等式相关问题的解答过程中，一般会将题目中所给的函数解析式直接代入，然后求出不等式的解集，如果在此过程中发现无法求出解集，或者是求解过程过于困难，那么就可以把解题思路放在构建一个新函数的方向上.通过新函数奇偶性和单调性的相关性质，再利用函数图象进行思考，通过这种方式便能让整个题目的解答过程更加简便，我们在思考这类问题的过程中思路也会更加清晰，这一点同样也利用到了数形结合的概念.

例1   已知f（x）为偶函数f（x）x≠0的导函数，在x∈0，+∞的时候，xf′x－2fx>0，那么不等式4fx+2021－x+20212f－2<0的解集是（  ）

（A）－2023，－2021.

（B）－∞，-2021∪－2021，－2019.

（C）－∞，－2023.

（D）－2023，－2021∪－2021，-2019.

解析  由已知xf′x－2fx>0x>0，

因此x2f′x－2xfx>0.

由此可得x2f′（x）－2xf（x）x4>0.

设F（x）=f（x）x2，

可得F′x=x2f′（x）－2xf（x）x4>0.

因此F（x）在0，+∞为增函数.

F－2=f（－2）4，

F（x+2021）=f（x+2021）（x+2021）2.

因为4fx+2021－（x+2021）2f（－2）<0，

所以f（x+2021）（x+2021）2

因此Fx+2021

又因为f（x）为偶函数，所以Fx=f（x）x2同樣为偶函数，

所以x+2021<2，

可得－2023

又因为x+2021≠0，

因此x≠－2021，

由此可得x∈（－2023，－2021）∪（－2021，-2019）.

因此本题选（D）.

例2  已知函数f（x）为定义在R上的可导函数，对于任意实数x，都存在f（－x）f（x）=e2x，在x<0的时候f′x+fx>0，如果ecf2c+1≥fc+1，那么实数c的取值范围为（   ）

（A）0，+∞.    （B）－∞，0.

（C）－23，0.  （D）0，23.

解析  由已知f（－x）f（x）=e2x，

可得f（－x）ex=exfx=e－xf－x，

设k（x）=exfx，

那么k（－x）=k（x），所以k（x）为偶函数.

由于在x<0的时候，f′x+fx>0，

可得k′（x）=exf′（x）+f（x）>0，

因此函数k（x）在－∞，0上单调递增，所以k（x）在0，+∞上单调递减.

由于ecf2c+1≥fc+1，

可得e2c+1f2c+1≥ec+1fc+1

所以k（2c+1）≥kc+1，|2c+1|≤|c+1|.

由此可得-23≤c≤0，

因此本题选（C）.

2  构建抽象函数进行解题

结合题目所给出的条件问题去构建一个新的辅助函数，这是在解答函数不等式相关问题时所应用的一种最为关键的技巧.在题干中已经告知了一些方程、最值或者是不等式相关的信息的时候，就需要以此为基础去构建目标函数，同时要拟定变量的限制条件.随后对函数最值、单调性等条件进行分析，以此来理清解题思路.

例3  定义在R上的函数f（x）满足e4x+1fx+2=f－x，同时对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）>0，（f′（x）是f（x）的导数），那么下面的叙述中正确的一项为（  ）

（A）e6f3>f－1.

（B）e4f2>f0.

（C）e2f3>f2.

（D）e10f3>f－2.

解析  设F（x）=e2xfx，

可得F′（x）=2e2xfx+e2xf′（x）=e2x［2f（x）+f′（x）］.

已知f（x）对任意的x≥1都有f′（x）+2f（x）>0，

所以F′（x）>0，

那么F（x）在1，+∞上单调递增.

Fx+2=e2x+2fx+2，

F（－x）=e－2xf－x.

由于e4x+1fx+2=f－x，

因此e2xe2x+2fx+2=f－x，

且e2x+2fx+2=e－2xf－x.

所以F（x+2）=F（－x），可得F（x）关于x=1对称，因此F（－2）=F（4）.

又因为F（x）在1，+∞上单调递增，

因此F（3）

所以e6f3

F（3）=F（－1），F（0）=F（2），因此选项（A）（B）也都不对；

F（3）>F（2），所以e2f3>f2，

因此本题选（C）.

3  结语

总的来说，在函数不等式的解题过程中，会涉及较多的抽象函数问题，但是许多学生都会因为这类抽象函数而降低了自己的答题效率和正确性.在面对函数不等式类的问题解答过程中，只要能够按照题目所给的不等式，联想导数的运算法则，然后以辅助函数的构造为基础，再通过导数对其单调性进行判断就能够迅速解出这类函数不等式的题目.

参考文献：

［1］潘小峰，唐鹏.一道函数不等式引发的指对数跨阶变形的思考［J］.中学数学研究，2023（06）：44-46.

［2］李秀元.含参函数不等式问题的解法破解与思考［J］.中学数学研究（华南师范大学版），2023（09）：46-50.

［3］于后勇.培养高中生数学解题技巧的教学研究［J］.中学数学，2019（21）：44-45.