巧借抽象函数结构，妙构特殊函数模型

周利平

【摘要】涉及抽象函数的求值或判断问题，是近年新高考数学试卷中的一个热点与难点．笔者结合实例，就一些具有一定结构特征的抽象函数类型，进行特殊化处理，构建特殊函数模型来分析，归纳总结构建函数类型与技巧，引领并指导数学教学与复习备考．

【关键词】抽象函数；结构特征；特殊函数；指数

在解决一些涉及抽象函数的小题（选择题或填空题）时，巧妙借助抽象函数的结构特征，合理构建与之相吻合的特殊函数模型，结合题设中的相关条件配凑相吻合的系数或参数，进而利用特殊化思维来寻找解题的切入点，正确分析与判断．

1  正比例函数模型

例1  （多选题）已知函数f（x）的定义域为R，其满足关系式f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立，且当x<0时，恒有不等式f（x）>0成立，则下列四个说法中正确的是（  ）

（A）f（0）=0.

（B）f（x）为奇函数.

（C）f（x）在区间（m，n）上有最大值f（n）.

（D）f（x－1）+f（x2－1）>0的解集为{x|－2

解析  根据题中满足关系式f（x+y）=f（x）+f（y）恒成立的条件，结合其对应的结构特征，选取特殊函数f（x）=－x，使其吻合恒成立的关系式，由特殊函数的解析式可知f（0）=0，且f（x）为奇函数，故选项（A）和（B）正确；

可得f（x）在区间（m，n）上有最大值f（m），

故选项（C）错误；

由f（x－1）+f（x2－1）>0可得f（x－1）>－f（x2－1）=f（1－x2），则有x－1<1－x2，

即x2+x－2<0，解得－2

故选项（D）正确；

故选答案：（A）（B）（D）．

点评  借助正比例函数模型來特殊化解决此类问题时，其中正比例函数模型f（x）=kx（k≠0）中的正负系数决定函数的正负取值情况以及函数的单调性，根据具体场景加以合理正确选取．

2  指数函数模型

例2  （2023届高考强基联盟10月模拟数学试卷）（多选题）已知函数y=f（x）的定义域为R，且对任意x，y∈R，有f（x）f（y）=f（x+y－1），且当x>1时，f（x）>1，则（  ）

（A）f（1）=1.

（B）f（x）的图象关于点（1，f（1））中心对称.

（C）f（x）在R上不单调.

（D）当x<1时，0

解析  根据题中满足关系式f（x）f（y）=f（x+y－1）恒成立的条件，结合其对应的结构特征，选取特殊函数f（x）=ex－1，该函数f（x）满足题设条件，则知f（1）=1，f（x）在R上是单调递增函数，选项（A）正确，选项（B）（C）错误；

而当x<1时，可得0

点评  指数函数模型的基本特征是其吻合指数幂运算法则f（x）f（y）=f（x+y），而具体的系数配凑往往要结合具体的问题场景加以合理构建，特别是涉及指数函数模型中的指数以及系数等，可以依托现实场景来进行适当的加减配凑，从而确定相应的常数，实现指数函数模型中特殊函数的构建．

3  对数函数模型

例3  （多选题）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x），当x>1时，不等式f（x）<0恒成立，且满足f（xy）=f（x）+f（y），又有f（2）=－1，则下列四个说法中正确的是（  ）

（A）f（1）=0.

（B）函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减.

（C）f12023+f12022+…+f13+f12+f（2）+f（3）+…+f（2022）+f（2023）=2023.

（D）对应不等式f（1x）－f（x－3）≥2的解集为［4，+∞）.

解析  根据题中满足关系式f（xy）=f（x）+f（y）恒成立的条件，结合其对应的结构特征，选取特殊函数f（x）=log0.5x，使其吻合恒成立的关系式，由特殊函数的解析式可知f（1）=0，且f（x）在区间（0，+∞）上单调递减，故选项（A）（B）正确；

而f1x+f（x）=log0.51x+log0.5x=log0.51=0，则有

f12023+f12022+……+f13+f12+f（2）+f（3）+…+f（2022）+f（2023）=0，故选项（C）错误；

由对应不等式f（1x）－f（x－3）≥2，变形可得log0.51x－log0.5（x－3）≥2，整理有log0.51x（x－3）≥2=log0.514，

解得1x（x－3）>01x（x－3）≤14，即x≥4，则对应不等式的解集为［4，+∞），故选项（D）正确；

故选答案：（A）（B）（D）．

点评  对数函数模型的基本特征是其吻合对数运算法则f（xy）=f（x）+f（y），而具体的系数配凑往往要结合具体的问题场景加以合理构建，也是解决此类问题时要特别注意的一个基本点．

4  结语

借助特殊函数模型的构建来解决一些涉及抽象函数的小题（选择题或填空题），关键是充分利用题设条件中对应抽象函数的结构特征以及与之对应的函数基本性质，合理联想并配凑与之相关的特殊函数模型，使之吻合题设条件，进而利用特殊思维来分析与解决，优化解题过程，提升解题效益．