一道圆锥曲线角最大值问题的解法探究

王新新

【摘要】圆锥曲线最值问题是高考数学压轴题的常考题型之一，而在解析几何这一大类中涉及的几何量如角、边长、面积是求最值的常见对象.本文依据典型实例探究此类问题的解法思路.

【关键词】圆锥曲线；角最大值；高中数学

在求角最值类型的问题中，难点在于如何将角的最值转化为研究代数式计算或者利用数形结合思想通过直观图形进行求解.本文将根据一道圆锥曲线角最大值问题的典型例题探索此类题目的解题思路.

例题  已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为223，直线l与椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|=23.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图1，设直线l过点（1，0）且倾斜角为钝角，P为弦AB的中点，当∠OPB最大时，求直线l的方程.

图1

对于问题（1）易得椭圆C的方程为：x29+y2=1.问题（2）有如下几种解法.

思路1  转化为斜率问题，利用正切公式

在解析几何背景下有关角的表示问题，要注意到角本质上是由直线相交构成的，而与直线有关的角就是直线斜率所代表的倾斜角，对于倾斜角可以用正切公式处理，而角可以由倾斜角相加或相减得到，因此利用两角和差的正切公式就可以表示出角的正切值大小.

解  设点A（x1，y1），B（x2，y2），

则直线AB的方程为y=k（x－1）（k<0）.

由A，B两点在椭圆上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

两式相减整理得到y12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根据斜率的表达式此等式可化为kOPkAB= －19，

所以kOP=－19k.

設直线l，OP的倾斜角分别为α，β，

则∠OPB=α－β，tan∠OPB=tan（α－β）

=tanα－tanβ1+tanαtanβ=98k+19k

=－98－k+1－9k≤－98×23=－34.

当且仅当k=－13时取等号，

所以直线l的方程为y=－13（x－1）.

正切值是研究角大小最有效的三角函数形式，在运算过程中，要注意所求角是由哪两条直线相交构成的，应该如何通过角之间的转化得出，选取不同的角运算量一般也不相同.

思路2  转化为向量的坐标运算

向量是解决解析几何问题的重要工具，因为向量点乘公式中带有角的余弦值形式，所以可以找到两向量夹角即为所成角的向量，再结合题目条件代入向量的坐标形式运算，即可得到角的余弦值并讨论大小.

解  设直线AB的方程为y=k（x－1）（k<0），

点A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），

则由A，B两点在椭圆上可得

x129+y12=1，x229+y22=1.

两式相减整理得到y12－y22x12－x22=－19，

即y1+y2x1+x2·y1－y2x1－x2=－19，

根据斜率的表达式此等式可化为kOPkAB=－19，

所以kOP=－19k.

易得y0=－x09k.

当∠OPB最大时，∠OPA最小，

结合图形可知∠OPA∈0，π2.

由PA=12BA，

cos∠OPA=|PO·PA||PO‖PA|=|PO·BA||PO‖BA|

=|x0+ky0|1+k2·x02+y02

=8911+k2·1+181k2

=891+181k2+k2+181≤45，

当且仅当k=－13时取等号，

所以直线l的方程为y=－13（x－1）.

在讨论时要先确定角的大致范围，理清余弦函数在此区间内的变化趋势，其次在得到最值后要对取等条件进行回代，对角的范围进行检验.

思路3  利用点到直线的距离公式，并结合正弦值讨论

点到直线的距离公式：对于平面上一点（x0，y0），其到直线l：Ax+By+C=0（其中A，B不同时为零）的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2.通过将角对应的边的长度表示出来，再结合其斜边的长度表达式，就可以得到角的正弦值.对于正弦值的大小进行讨论即可.

解  当∠OPB最大时，∠OPA最小，

由图形可知∠OPA∈0，π2.

要使∠OPA最小，在此范围内，可以转化为sin∠OPA最小.

设点A（x1，y1），B（x2，y2），

直线AB的方程为y=k（x－1）（k<0），

与x29+y2=1联立，

可得（9k2+1）x2－18k2x+9k2－9=0，

所以x1+x2=18k29k2+1，

y1+y2=k（x1+x2－2）=－2k9k2+1，

得到点P的坐标为（9k29k2+1，－k9k2+1）.

由原点到直线l的距离d=－kk2+1，

则点O到点P的距离可表示为

|OP|=（9k29k2+1）2+（－k9k2+1）2

=－k81k2+19k2+1，

对于∠OPA的正弦形式可得

sin∠OPA=d|OP|=9k2+1（k2+1）（81k2+1）

=81k4+18k2+181k4+82k2+1，

对此式进行变换得1－64k281k4+82k2+1=1－6481k2+1k2+82≥35.

当且仅当k=－13时等号成立，所以直线l的方程为y=－13（x－1）.

在讨论角的大小之前要先确定角的范围，在对正弦值表达式进行化简的过程中要利用齐次构造思想，将其转化为可以使用基本不等式的形式，再进行运算即可.

结语

以上三种方法从三个层面解决了这道圆锥曲线角最大值问题，核心就在于如何将难以通过计算研究的角的大小转换为代数的运算.其次无论是三角函数的哪一种表示方法，都要注意对角的范围进行讨论，这样才能避免错解漏解的情况.