从一道大小比较题目的解决看数学思维之美

刘爱峰

【摘要】从一道大小比较题目的解决，可以领略数学技巧、数学思想、数学方法等数学思维之美，从而体会到较复杂的大小比较问题是培养学生数学思维能力的重要载体.

【关键词】大小比较；高中数学，数学思维

题目  对于n>1，n∈N+，试比较logn（n+1）与logn+1（n+2）的大小.

这是经常见到的大小比较问题，通常有以下三种解法.

解法1  作差比较法

logn（n+1）－logn+1（n+2）

=1logn+1n－logn+1（n+2）

=1－logn+1n·logn+1（n+2）logn+1n>

1－logn+1n+logn+1（n+2）22logn+1n

=1－logn+1（n2+2n）22logn+1n>

1－logn+1（n+1）222logn+1n=0.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法2  作商比較法

由已知得logn（n+1）>0，logn+1（n+2）>0.

logn+1（n+2）logn（n+1）=logn+1（n+2）·logn+1n

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

解法3  logn（n+1）－logn+1（n+2）=logn（n+1）－logn（n+2）logn（n+1）

=log2n（n+1）－logn（n+2）logn（n+1），

而logn（n+2）=logn（n+2）·lognn

=logn（n2+2n）22

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

点评  以上三种解法，看似不同，实质相同：基本思路都是作差或作商，先化为同底的对数，然后再进行不等式的放缩变换，体现了数学技巧的灵活运用.特别是解法3中将logn（n+2）化成logn（n+2）·lognn达到了与log2n（n+1）次数相同，然后进行放缩变换也体现了对数学式的较高感悟能力，有初步的构造思维.然而，以上三种解法都体现了对数学知识的工具性理解：比较大小通常的办法就是作差、作商，然后逢山开路、遇水架桥.这种比较大小的最初体验在小学：两个分数的大小比较方法就是作差—化同分母，或作商—看比值.这种认识的固化就是这三种解法的思路来源.

下面的解法会让你耳目一新，然追根溯源又在情理之中.

解法4  由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

所以可设logn（n+1）=1+α，logn+1（n+2）=1+β（α，β为正常数），

所以n+1=n1+α，n+2=n+11+β，

所以1+1n=nα，1+1n+1=（n+1）β.

易得1+1n>1+1n+1，

于是nα>（n+1）β>nβ，

所以α>β，

故logn（n+1）>logn+1（n+2）.

点评  通过巧妙设元，将对数形式转化成了一边是整式另一边是幂函数形式，下一步又将其转化为一边是1+1n和1+1n+1，另一边为nα和（n+1）β的形式，有多少学生能够想到呢？追根溯源，这种想法也应该能想到，对数与指数本来就是可以互化的，化成幂函数形式毫不稀奇，然而转化成一边是1+1n和1+1n+1则有直觉思维的成分，需要较高的数学素养.

解法5  由已知得logn（n+1）>1，logn+1（n+2）>1.

logn（n+1）－1=ln（n+1）lnn－1=ln1+1nlnn，

logn+1（n+2）－1=ln（n+2）ln（n+1）－1

=ln（1+1n+1）ln（n+1）.

因为0

所以1lnn>1ln（n+1）.

又ln1+1n>ln1+1n+1>0，

所以ln1+1nlnn>ln1+1n+1ln（n+1）.

所以logn（n+1）>logn+1（n+2）.

点评  这个解法是不是更新奇？该思路的产生是基于：logn（n+1）和logn+1（n+2）都只比1大“一点点”，它们都减去1，只比较剩下的部分就行了.追根溯源，就像是小学生比较54和65的大小，有的学生是这样思维的：假设有5个苹果平均分给4个人，当然是每人先分一个苹果，然后再分剩下的那1个苹果，每人分14；假若有6个苹果分给5个人，则每人先分一个苹果后，再分剩下的一个苹果每人再得15.显然54>65.只是让人兴奋的是：logn（n+1）和logn+1（n+2）减1后形成的分式恰好分子与分母的单调性是相反的.

通过以上五种解法，领略了数学思维之美.对上述内容进行概括，logn（n+1）与logn+1（n+2）的大小比较问题实质上就是函数f（x）=logx（x+p）（x>1，p为正常数）的单调性问题，由解法5我们不难证明函数f（x）=logx（x+p）（x>1，p为正常数）为单调递减函数.

证明  设1

则f（x1）=logx1（x1+p）=ln（x1+p）lnx1－1+1=ln1+px1lnx1+1，

f（x2）=logx2（x2+p）

=ln（x2+p）lnx2－1+1=ln1+px2lnx2+1.

由10，

知1+px1>1+px2>1，

ln1+px1>ln1+px2>0，

由lnx2>lnx1>0，

知1lnx1>1lnx2>0，

所以ln1+px1lnx1>ln1+px2lnx2.

所以f（x1）>f（x2）.

所以函数f（x）=logx（x+p）（x>1，p为正常数）为单调递减函数.

当然，也可以用导数证明该函数的单调性.至此类似logn（n+1）与logn+1（n+2）的大小比较问题可以说得到了较完美的解决.