二三混水平U型设计的平均中心化L2-偏差

韦锦慧，汪政红

（中南民族大学 数学与统计学学院，武汉 430074）

均匀设计是一种非常强大的试验设计方法，被广泛应用于纺织工业、制药、航空航天等领域，空间填充的均匀性是其最重要、最本质的特征，早期采用Lp-星偏差来衡量均匀性，为了克服Lp-星偏差的弱点，HICKERNELL［1］基于泛函分析中的再生核给出了偏差的统一表达式，同时定义了许多新的偏差，如中心化偏差、可卷偏差、离散偏差等，其中，中心化偏差适用于定距尺度因子，对不同设计的均匀性的区分度合理［2］，因此得到广泛应用.

寻找偏差的下界是一个不可忽视的课题.下界可用作随机搜索算法的基准，也可用于比较一些设计的优劣.当一个设计的偏差达到偏差下界时，该设计是均匀设计.文献［3］首次研究两水平正规部分因子设计在中心化L2-偏差的下界，文献［4］在其基础上扩展到非正规情形.与文献［3］相比，文献［5-7］进一步得到了更紧的下界，文献［8］研究了三水平和四水平设计的中心化L2-偏差的下界，文献［9］提供了一个针对四水平设计更紧的下界.

文献［10］考虑所有通过水平置换技术得到的组合同构设计，定义了平均中心化L2-偏差（Average centeredL2-discrepancy，ACD），并推导了三水平设计的平均中心化L2-偏差与它的广义字长型（Generalized word length pattern，GWP）之间的关系，提出了均匀最小低阶混杂的概念.文献［11］将文献［10］的结论从三水平推广至任意q 水平对称设计.文献［12］进一步将中心化偏差推广至一类满足条件的偏差，含有中心化L2-偏差、可卷偏差、混合偏差与Lee 偏差，得到任意q 水平设计的平均偏差与GWP 之间的解析表达式.由于二三混水平设计在实践中应用最为广泛，本文考虑采用水平置换技术，研究二三混水平U型设计的平均中心化L2-偏差.

1 预备知识

1.1 平均中心化L2-偏差

1.2 广义最小低阶混杂准则

其中，0 ≤k1≤s1，0 ≤k2≤s2.

文献［13］定理4给出了非对称设计的广义字长型，定义如下：

1.3 正交性准则

向量B=(B1(d)，B2(d)，…，Bs(d))描述了设计d的正交性程度，序贯最小化向量B，即为正交性准则.

2 ACD与GMA之间的联系

文献［10］和文献［11］分别给出了三水平和q水平对称设计的ACD 的计算公式及其证明，但关于混水平设计的ACD 计算公式在文献中未见，本节首先给出二三混水平U 型设计的ACD 公式及详细证明，然后由此导出ACD与GMA之间的联系.

给定设计d中的某一试验点x，考虑所有可能的水平置换，对二水平部分而言，其f1值保持不变，都是；对三水平部分而言，每个s2维数组会重复2s2次，故：

证毕.

偏差是从均匀性刻画设计的填充特性，Hamming距离分布刻画了试验空间中，具有某种距离的试验点成对的数量，Hamming距离分布与GWP存在紧密的联系，下述定理刻画了平均中心化L2-偏差与GMA的联系.

其中R={(k1，k2)：k1=0，…，s1，k2=0，…，s2，k=k1+k2}.

代入（3）式，即可证得（4）式成立.证毕.

定理2 表明，序贯最小化广义字长型(A0(d)，A1(d)，…，As(d))，即较小的k且较小的Ak(d)值会得到较小的ACD（d）值，即GMA 设计拥有较小的ACD（d）值，说明了以ACD 度量的均匀性准则与GMA 准则的一致性.

3 ACD与正交性之间的联系

正交性准则刻画了设计d与正交设计随强度递增时的偏离程度，本节主要讨论以ACD 度量的均匀性准则与正交性准则之间的联系.

定理3对二三混水平设计d∈U(n；)，有：

将（6）式代入，结合Bij(d) 的定义即可证得定理3.证毕.

4 ACD的一个下界

平均中心化L2-偏差精确的下界可以作为寻找均匀设计的基准，在推导下界之前，先给出如下重要引理.

代入（3）式，即可证得结果.证毕.

5 数值例子

例1考虑设计d1∈U(6；24× 32) 与设计d2∈U(6；24× 3)，

根据定理1～定理4，计算可知：[ACD(d1)]2=LBC(6，4，2)=0.2130，e=1，[ACD(d2)]2=LBC(6，4，1)=0.1606，e=1，设计d1、d2都是基于平均中心化L2-偏差的均匀设计.