基于扫频检测的微机械陀螺耦合误差系数辨识

郑旭东，夏陈浩，王雪同，佟文元

（浙江大学 航空航天学院，杭州 310007）

标度因数与零偏是微机械（Micro Electromechanical System,MEMS）陀螺两个重要的性能参数，保持零偏和标度因数的稳定性是提升陀螺性能使其满足导航需求的一个巨大的挑战。然而，受到微机械加工工艺误差、陀螺内部损耗以及误差源温度敏感性等因素的影响，陀螺敏感结构存在刚度耦合（又称正交耦合）、阻尼耦合、力耦合等误差因素，造成大量耦合误差，严重影响了陀螺的零偏、标度因数稳定性等关键性能指标[1,2]。

为了减小耦合误差的影响、提高微机械陀螺的性能，国内外诸多单位对包括刚度耦合、阻尼耦合、力耦合在内的耦合误差特性与补偿技术进行了理论分析与研究。其中，刚度耦合误差信号与科氏信号相位正交，对陀螺性能的影响受解调相位的作用，文献[3][4]通过设置正交抑制电极与正交抑制环路的方式抑制刚度耦合误差；文献[5]通过建立非理想陀螺系统实现耦合误差的校正；文献[6]在不改变结构和电极配置的前提下，基于检测模态反馈信号进行正交补偿。阻尼耦合误差信号与科氏位移同频且同相，直接影响陀螺输出，文献[7]采用模态反转手段，将驱动模态偏转到阻尼轴方向消除阻尼耦合误差；文献[8]利用能量衰减法对全角陀螺阻尼耦合误差进行分析与补偿。力耦合误差信号与科氏位移同频，且同时存在同相分量与正交分量，直接影响陀螺输出，文献[9]通过周期性地反转驱动力的极性，实现同相力耦合误差的自补偿。

以上研究虽然在一定程度上抑制了耦合误差的影响，但对耦合误差的作用机理缺乏定量说明。基于此，一些研究机构针对耦合误差系数的辨识提供了一些方案。文献[10]基于静电负刚度效应改变谐振器的刚度分布与刚度值使其达到模态匹配，通过调谐电压实现刚度耦合系数与激励力偏转角的辨识；文献[11]根据振动和模态理论，基于扫频测试数据实现了对刚度耦合系数、阻尼耦合系数与驱动力不对称系数的辨识；文献[12]同样基于陀螺频域特性，利用扫频测试数据实现了对刚度耦合系数与阻尼耦合系数的辨识；文献[13]根据非理想陀螺动力学方程结合衰减法实现了阻尼耦合系数的辨识；文献[14]利用参量激励技术实现力耦合系数辨识。

尽管上述研究对微机械陀螺内部的耦合误差进行了深入分析并提供耦合误差系数的辨识方案，但大都简化了陀螺模型，只考虑了一部分误差，限制了误差系数的辨识精度。此外，多家机构基于陀螺振动的频域特性，利用扫频参数实现部分耦合误差系数的辨识，但对该方法的适用性缺乏研究，而这会在辨识过程中引入其他误差，导致辨识结果缺乏可靠性。

本文针对微机械陀螺阻尼耦合误差、刚度耦合误差、力耦合误差三种耦合误差，提供了一种基于扫频测试的微机械陀螺误差系数辨识方案，并通过数值仿真的形式对此方案进行详细的验证说明，最后以嵌套环陀螺为平台完成了辨识实验。通过误差系数的辨识，可分析以上三种耦合误差的特性与主要影响因素，为误差补偿与抑制、陀螺零偏性能的提高、结构优化、工艺改进提供指导。

1 微机械陀螺动力学方程拓展及误差模型

本文讨论的微机械陀螺工作在调幅（Amplitude Modulation,AM）模式，驱动模态为X 模态，检测模态为Y 模态，通过解耦梁与中心质量块相连，其简化的动力学模型如图1 所示。

图1 非理想微机械陀螺简化模型Fig.1 Simplified model of non-ideal MEMS gyroscope

理想状态下动力学方程可写为：

其中，m为陀螺敏感结构的质量；x、y分别表示驱动模态、检测模态的位移；cxx、cyy分别表示驱动模态与检测模态的阻尼；kxx、kyy分别表示驱动模态与检测模态的刚度；Ω表示系统旋转角速度；Fx、Fy分别表示驱动模态与检测模态施加的激励力，可表示为正弦信号：

其中，Fxd、Fyd分别表示驱动模态与检测模态激励力的幅值；ωd表示激励力的频率；φxy表示驱动模态与检测模态激励力之间的相位差。

对于实际的陀螺，在陀螺刚度梁、电极的微机械加工生产及装配过程中，由于工艺误差、应力的存在，陀螺敏感结构在几何上不完全对称，存在激励电极不对准、驱动轴偏转、检测轴偏转等耦合误差因素[15,16]。

对于陀螺机械敏感结构存在的耦合误差，图1 虚线部分展示了几何不对称下陀螺敏感结构的模型，由于刚度轴偏转角θω、阻尼轴偏转角θτ、驱动轴激励电极偏转角θx、检测轴激励电极偏转角θy的存在，陀螺两个模态之间存在刚度耦合、阻尼耦合以及两个模态激励电极偏转角引起的力耦合。考虑以上误差项，对陀螺动力学方程进行扩展，扩展的动力学方程可写为[14]：

其中，cxy、cyx表示驱动模态与检测模态之间的阻尼耦合系数，与阻尼轴偏转角θτ有关；kxy、kyx表示驱动模态与检测模态之间的刚度耦合系数，与刚度轴偏转角θω有关，由于两个模态的正交性，通常可认为cxy=cyx，kxy=kyx；θx表示驱动模态激励电极偏转角；θy表示检测模态激励电极偏转角。

驱动模态谐振状态下由科里奥利力引起的科氏位移可表示为：

其中，xcol、ycol分别表示驱动模态与检测模态由科里奥利力引起的科氏位移；ωy表示检测模态谐振频率，且分别表示检测模态响应的增益与相移；Qx、Qy分别表示驱动模态与检测模态的品质因子；φx、φy分别表示驱动模态与检测模态的振动相位；Ax、Ay分别表示驱动模态与检测模态的振动位移幅值。

下面分别介绍三类耦合误差主要产生机理及对陀螺输出的影响。

1.1 阻尼耦合误差

阻尼耦合误差对应于阻尼耦合系数cxy、cyx，主要来源于陀螺敏感结构与衬底间的流体耦合与各向异性损耗[2]。

根据式(4)，若存在阻尼耦合，陀螺敏感结构的驱动模态振动会使检测模态产生一个与驱动模态振动速度成正比的同频阻尼耦合力，进而引起检测模态上的阻尼耦合振动yc；同理，检测模态振动也会引起驱动模态的阻尼耦合力，造成驱动模态上的阻尼耦合振动xc。谐振状态下，有：

比较式(5)和式(6)可得，阻尼耦合误差位移与科氏位移同频且同相，难以通过信号处理的方式消除，直接影响了陀螺输出。

1.2 刚度耦合误差

刚度耦合误差对应于刚度耦合系数kxy、kyx，主要来源于因加工误差、残余应力导致的刚度轴偏转与弹性梁失衡，由刚度耦合引起的陀螺检测模态位移输出也称为正交误差[2-4]。

根据式(4)，若存在刚度耦合，陀螺敏感结构的驱动模态振动会导致检测模态产生一个同频刚度耦合力Fyk=-kyxx，该力与驱动模态振动位移成正比，引起检测模态的刚度耦合振动yk；同理，检测模态振动也会造成驱动模态的刚度耦合力Fxk=-kxyy，造成驱动模态上的阻尼耦合振动xk。谐振状态下，有：

比较式(5)和式(7)可得，刚度耦合误差位移与科氏位移同频，但相位正交。因此，可通过相干解调技术实现科氏位移同相信号与科氏位移正交信号的分离，在最佳解调相位下消除刚度误差位移对陀螺输出的影响，但由于电路相移、驱动模态非受迫振动、陀螺参数的温度敏感性等非理想因素的限制，最佳解调相位难以完全对准且非恒定，此时刚度耦合位移仍会影响陀螺输出。

1.3 力耦合误差

力耦合误差对应于激励电极偏转角θx、θy，主要来源于加工误差、应力影响、致动过程造成的激励电极之间的不对准和不平衡[2,11]。对式(4)右边整理得：

其中，λxy、λyx为力耦合系数；Fxcos、Fycos分别表示驱动模态与检测模态的同轴激励力。

根据式(4)可得，若驱动模态存在激励电极偏转角，在驱动激励电极施加激励信号时，会在检测模态产生激励信号分量Ffxy=Fxsinθx，其大小与驱动激励信号成正比，进而引起检测模态上的力耦合振动yf；同理，若检测模态存在激励电极偏转角且施加激励信号时，会在驱动模态产生激励信号分量Ffyx=-Fysinθy，造成驱动模态力耦合振动xf。谐振状态下，有：其中，φxy为检测激励信号与驱动激励信号之间的相位差。

比较式(5)和式(9)可得，力耦合误差位移与科氏位移同频，且存在同相分量与正交分量。由于谐振相位接近 -π/2，力耦合位移与科氏力同相的分量占主导，直接影响了陀螺输出，且难以通过信号处理手段消除。

2 基于扫频的误差系数辨识方法

2.1 理论推导

本文需要辨识的耦合误差系数包括刚度耦合系数kxy=kyx、阻尼耦合系数cxy=cyx、驱动模态到检测模态的力耦合系数λyx和检测模态到驱动模态的力耦合系数λxy。

在陀螺AM 开环工作模式下，检测模态不加力，将动力学方程简化，阻尼系数与刚度系数用陀螺品质因子、谐振频率表示，对式(4)整理得：

其中，系数η=cxy/m=cyx/m，α=kxy/m=kyx/m。

为了得到角速度输出，需要在后端电路上对两个模态的位移输出进行采样、滤波等数据处理，采样后的驱动模态、检测模态位移信号可以视为离散时间序列x[t]、y[t]，根据离散傅里叶变换：

将式(11)代入式(10)后化简得到：

在系统无外界角速度输入的情况下，可解得驱动模态与检测模态振动位移信号的离散时间傅里叶变换。

其中，

将式(13)中的两式相除，并忽略两个系数相乘的小量，化简得到：

取式(15)的实部，用扫频设定的频率ωn换kn得到：

其中，S(ωn)是通过扫频测试得到的驱动模态和检测模态的幅频、相频数据计算得出，具体步骤见3.3 节；a(ωn)、b(ωn)、c(ωn)由扫频得到的陀螺品质因子和谐振频率确定。

式(16)用矩阵整理，令：

则Y=XP。误差系数估计值为：

同理，在陀螺驱动模态不加力、检测模态加力的情况下，可以实现对检测模态到驱动模态的力耦合系数λxy的辨识，本文不再说明。文中提到的力耦合系数均指驱动模态到检测模态的力耦合系数λyx。

2.2 误差系数辨识精度影响因素数值仿真分析

基于上述耦合误差系数辨识的理论推导过程，可以看到，耦合误差系数的辨识精度受到陀螺本身结构参数、幅值测量误差、相位测量误差的影响。由于各种影响因素互相耦合，因此采用数值仿真方式对此方法辨识的耦合误差系数效果进行分析，得出此方法的适用性，并给出辨识结果有效与否的判断依据。

微机械陀螺的结构参数设置如表1 所示。

表1 微机械陀螺结构参数Tab.1 Structural parameters of MEMS gyroscope

仿真流程示意图如图2 所示。

图2 仿真流程示意图Fig.2 Simulation process diagram

根据耦合误差系数设置确定微机械陀螺拓展的动力学方程，结合陀螺结构参数与扫频输入参数可以解得陀螺驱动模态与检测模态的振动位移信号。在一定测量误差下，根据驱动模态、检测模态的振动幅值与相位对耦合误差系数进行辨识，并与设置值进行比较，研究此方法对于力耦合系数、阻尼耦合系数和刚度耦合系数的辨识准确度，用理论相对误差 ΔRerr(i)表示：

其中，Rids(1)、Rids(2)、Rids(3)分别表示仿真辨识的力耦合系数、阻尼耦合系数和刚度耦合系数；Rset(1)、Rset(2)、Rset(3)分别表示设置的力耦合系数、阻尼耦合系数和刚度耦合系数。

2.2.1 不同耦合误差系数辨识结果的理论相对误差

根据微机械陀螺动力学方程，不同的耦合误差系数大小会对陀螺的振动造成不同的影响。为更好地表示耦合误差系数与陀螺主要结构参数之间的关系，定义耦合误差比例系数。其中，阻尼耦合误差比例系数k1=mη/cxx；刚度耦合误差比例系数k2=mα/kxx，k1、k2与力耦合系数λyx的取值范围均在-1～1 之间。因此，耦合误差系数可以表示为：

由于耦合误差比例系数的符号不影响最终辨识精度，因此将不同的耦合误差比例系数设置在0～1 之间，对采用此方法辨识的耦合误差系数理论相对误差进行仿真分析，结果如图3 所示。由图3 可知：随着力耦合系数的增大，阻尼耦合系数与刚度耦合系数辨识结果的理论相对误差会随之增大，而力耦合系数辨识结果的理论相对误差则先减小后增大；阻尼耦合系数的大小对力耦合系数和刚度耦合系数的辨识影响不大，但与阻尼耦合系数本身辨识结果的理论相对误差呈反相关趋势；随着刚度耦合系数的增大，三种耦合系数的辨识的理论相对误差均呈上升趋势。若取2%为耦合误差辨识结果有效性的判断依据，可以发现，使用该方法辨识耦合误差系数时，阻尼耦合系数的辨识存在巨大的误差，因此需对辨识结果进行可靠性的校验。

图3 不同耦合误差比例系数下辨识结果的理论相对误差Fig.3 Theoretical relative error of identification results under different coupling error proportional coefficients

2.2.2 幅值和相位测量误差对辨识结果的影响

根据此方法论述的耦合误差辨识模型，实际测试中的幅值和相位误差直接关系到耦合误差系数辨识的精度。为探究幅值和相位测量误差与耦合误差系数辨识精度的关系，在现有测试条件下验证此方法的可行性，并进行仿真分析。

对于测量过程中的幅值测量噪声，用幅值噪声峰峰值NA衡量，表示对同一幅值信号采样过程中最高值与最低值的差值。幅值越大，幅值误差也越大。因此，对包含噪声的幅值采样结果，本文将其表示为：

其中，R(ω)为-1～1 之间的随机函数，Ax(ω)、Ay(ω)分别表示含噪声的驱动模态与检测模态的振动位移幅值数字量分别表示不含噪声的驱动模态与检测模态的振动位移幅值数字量。

对于测量过程中的相位误差，包含相位偏移不对称度ΔΨ与相位测量噪声。其中，相位偏移不对称度指的是驱动模态相位测量误差与检测模态相位测量误差的差值；相位测量噪声用相位噪声峰峰值Nφ衡量，表示对同一相位信号采样过程中最高值与最低值的差值。因此，对包含测量误差的相位采样结果，本文将其表示为：

其中，ΔΨ1与ΔΨ2分别表示驱动模态与检测模态的相位测量偏移，且分别表示含噪声与偏移的驱动模态和检测模态的振动相位；分别表示不含噪声与偏移的驱动模态和检测模态的振动相位。

仿真结果如图4-图6 所示。

图4 幅值噪声峰峰值对耦合误差系数辨识影响Fig.4 The influence of amplitude noise peak to peak on the identification of coupling error coefficients

图5 相位噪声峰峰值对耦合误差系数辨识影响Fig.5 The impact of phase noise peak to peak on the identification of coupling error coefficients

图6 相位偏移不对称度对耦合误差系数辨识影响Fig.6 The impact of phase offset asymmetry on the identification of coupling error coefficients

由图4-图6 可以看出：幅值噪声峰峰值对耦合误差系数辨识准确度的影响不大；随着相位噪声与相位偏移不对称度的增大，耦合误差系数辨识结果的理论相对误差均显著上升，但刚度耦合系数与力耦合系数的辨识结果在多数情况下仍处在可接受范围内。此外，阻尼耦合系数的辨识结果对幅值、相位的测量误差十分敏感，在较大的测量误差下难以有效辨识。

3 基于扫频测试的误差系数辨识实验测试

以嵌套环陀螺为例进行测试，验证本文的微机械陀螺耦合误差辨识方法，并给出精度分析。测试平台实物图如图7 所示，包括模拟板与数字板，通过串口接收控制指令并输出测试数据。实验所用的陀螺与控制环路如图8 所示。由FPGA 生成驱动力与载波信号，并对驱动模态与检测模态的振动信号进行信号处理，最终通过串口输出：驱动模态振动幅值、驱动模态振动相位、检测模态振动幅值、检测模态振动相位和扫频频率。

图7 测试平台实物图Fig.7 Actual diagram of the test platform

图8 微机械陀螺控制环路Fig.8 The control loop of MEMS gyroscopes

3.1 陀螺模态参数扫频辨识

图9 给出陀螺驱动模态和检测模态的扫频测试曲线，根据曲线的峰值与半功率点可求出驱动模态与检测模态的谐振频率与品质因子，结果见表2。

表2 模态参数辨识Tab.2 Modal parameter identification

图9 扫频检测结果Fig.9 The results of swept-frequency measurement

根据模态参数辨识结果，可获得式(17)中的X矩阵。

3.2 幅值和相位修正

在实际陀螺中，驱动模态振动信号Axa与检测模态振动信号Aya经过电容-电压（Capacitance-Voltage,CV）测量模块转换为电压信号，再由ADC 模块转化为数字信号Axd、Ayd，解调后得出驱动模态与检测模态各个频率对应的幅值与相位信息。然而受加工误差、电路元器件等因素影响，检测到的位移数字量、相位与实际值相比存在偏差，因此需要进行幅值和相位修正。

对于驱动模态，振动位移可写为

其中，SFx为驱动模态实际位移到位移数字量的转换系数；SFAV_x为驱动模态激励电压数字量Vxd到驱动力Fxa的转换系数。

同理对于检测模态，可以得到：

其中，SFy为检测模态实际位移到振动位移数字量的转换系数；SFAV_y为检测模态激励电压数字量到驱动力的转换系数；Vyd为检测模态激励电压数字量。

给两个模态施加同样大小的激励电压数字量，即Vyd=Vxd=Vd，考虑SFAV_x=SFAV_y，则此时两模态实际位移到位移数字量的转换系数比kSF为：

测试数据及结果如表3 所示。

表3 转换系数比辨识Tab.3 Conversion coefficient ratio identification

由于相位偏移不对称度对阻尼耦合系数的辨识有极大的影响，而元器件、FPGA 内部的相位延迟难以测量，因此在相位修正时，本文将理论谐振相位与实际谐振相位的差值作为相位补偿量。理论上，陀螺在谐振状态时谐振相位为-90 °，记实验测得的驱动模态与检测模态相位信号分别为φxg(ω)、φyg(ω)，则补偿后的驱动模态相位信号为：

补偿后检测模态相位信号为：

考虑到幅值和相位测量误差对辨识结果的影响，由于驱动模态和检测模态的电容检测电路相同，在8014.3 Hz 驱动力频率下驱动陀螺，得到不同采样时刻下驱动模态振动幅值数字量Ax(t)与振动相位φx(t)如图10 所示。因此，幅值噪声峰峰值NA与相位噪声峰峰值Nφ可表示为：

图10 驱动模态幅值与相位原始信号Fig.10 Raw amplitude and phase signal of drive mode

根据图4 和图5，阻尼耦合系数辨识结果的理论相对误差大于1000%，因此需对原始信号进行低通滤波处理，处理后的结果如图11所示。此时阻尼耦合系数辨识结果的理论相对误差约为9%。

图11 驱动模态幅值与相位低通滤波后信号Fig.11 Amplitude and phase signal after low-pass filtering of drive mode

3.3 耦合误差系数辨识及可靠性衡量

在陀螺驱动模态施加扫频激励信号，检测模态不加力，获得驱动模态与检测模态的幅频、相频信息并进行低通滤波处理，进一步获得式(16)中Y(ωn)与X(ωn)。其中，对于驱动模态，记测得的幅值信号为Ax(ω)，补偿后的相位信号为φx(ω)，则驱动模态频域信息可表示为X(ω) =Ax(ω) cos(φx(ω)) +i ∙Ax(ω) sin(φx(ω))；对 于检测模态，记测得的幅值信号为Ay(ω)，补偿后相位信号为φy(ω)，考虑到实际位移到位移数字量的转换系数，可以将检测模态的频域信息表示为

辨识结果如表4 所示。

表4 耦合误差系数辨识结果Tab.4 Identification results of coupling error coefficients

将辨识出来的耦合误差系数代入式(10)，得到拟合的扫频曲线，与实测扫频曲线的对比如图12 所示。

图12 实测数据与拟合数据对比Fig.12 Comparison between measured data and fitted data

运用曲线回归拟合优度RNL进行分析。若用ymea[ωi]表示实测量，yfit[ωi]表示拟合量，则拟合优度RNL的计算公式为：

式(29)将 {ymea[ωi]}与 {yfit[ωi]}视为N维空间的点，利用两点之间的距离表示拟合的精度。若距离越小，则RNL值越大，拟合精度越高，耦合误差系数辨识的精度也越高。计算图12 中各拟合曲线的拟合优度，结果如表5 所示，可见整体拟合精度非常高。

表5 各曲线拟合优度Tab.5 Goodness of fit of each curve

进一步考虑2.2.1 节分析，将表2-表4 的测试结果代入式(10)-式(18)，在表4 辨识结果下计算耦合误差辨识结果的理论相对误差，结果如表6 所示。

表6 当前参数下耦合误差系数辨识结果理论相对误差Tab.6 Theoretical relative error of coupling error coefficient identification results under current parameters

4 结论

本文针对微机械陀螺中耦合误差，分析了刚度耦合、阻尼耦合、力耦合对陀螺输出的影响，提出了一种仅根据扫频检测数据即可实现的耦合误差系数辨识方案，实现了对刚度耦合系数、阻尼耦合系数和力耦合系数的辨识，并对该方法的辨识准确度进行分析，给出拟合优度与理论相对误差两种衡量指标。结果表明：不同陀螺的结构参数、幅值测量误差、相位测量误差均影响辨识准确度；三类误差系数中，阻尼耦合系数的辨识准确度最低，且极易受相位测量误差的影响；对幅值、相位测量结果进行低通滤波能有效提高辨识结果的准确度。实验结果为：该陀螺力耦合系数、阻尼耦合系数、刚度耦合系数分别为-0.000374、-6.96×10-8N·s/m、0.103 N/m；理论相对误差分别为0.542 ppm、6.09%、0.205 ppm；辨识曲线的拟合优度为0.99。