近二十年我国数形结合思想研究知识图谱分析

陈 婷 邱爱萍 周凤燕

(绍兴文理学院，浙江 绍兴 312000)

数学是研究数量关系和空间形式的科学，即简单抽象的数与直观生动的形。我国杰出数学家华罗庚曾说:数形结合百般好，隔裂分家万事休。将数与形相结合，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，就是数形结合思想。数形结合思想有助于学生培养数学思维、提高抽象概括能力，发展灵活运用数学知识的能力。[1]数形结合思想作为一种数学思想，正对应着“四基”中的数学基本思想。《义务教育数学课程标准(2022 年版)》(以下简称《课程标准(2022)》)提出:要让学生在学习“图形与几何”的过程中感悟数形结合的思想与意义，会用数形结合的方法分析和解决问题，从而在空间观念的基础上进一步建立几何直观，提升抽象能力和推理能力。鲍建生等[2]在分析初中阶段几何直观的表现形式时也提及应感悟数形结合思想。《普通高中数学课程标准(2017 年版2020年修订)》中的直观想象也蕴含着代数与几何、直观与抽象的融合，即数与形之间多层面的交叉表达。[3]基于此，笔者以近二十年来中文知网所收录的期刊论文为数据，利用CiteSpace 软件进行计量分析，探寻我国数形结合思想研究的发展现状，并为今后的研究提出建议。

一、研究数据与方法

(一)研究数据

以“数学”与“数形结合”为主题词在中国知网(CNKI)进行高级检索，文献来源限定为学术期刊，时间范围选择2000—2022 年，手动筛选出符合要求的文献，最终获得有效文献共1044 篇。导出Refworks 格式后，使用CiteSpace 软件进行转换，得到用于分析的原始数据。

(二)研究方法

CiteSpace 能够以直观形象的科学知识图谱反映和揭示一个现实领域的本质与规律。[4]笔者借助CiteSpace6.2.R2 版本，分别从发文量、论文作者与机构、关键词三方面绘制数形结合思想的知识图谱，探寻数形结合思想的研究现状。

二、研究图景

(一)发文量的变化趋势

为了研究数形结合思想的研究热度，笔者使用CiteSpace 软件对该主题下论文的发文量进行了统计。图1 直观表明近20 年数形结合思想的发文量呈现三个阶段的变化:2000—2006 年，该领域的发文量波动增长，年均发文量25 篇；2007—2018 年，该领域的发文量大幅度上升，2018 年到达峰值85 篇；2019—2022年，呈下降态势，2022 年发文量仅31 篇。总体而言，近二十年关于数形结合思想的研究发文量较多，说明学者们对这一研究问题有较高的兴趣。

图1 2000—2022 年数形结合思想发文量趋势

(二)论文作者与研究机构分析

1.作者合作图谱

作者合作图谱可以反映某个研究领域内学者之间的合作关系。在CiteSpace 中选择“Author”，设置时间范围为2000—2022 年，时间切片为2 年，得到节点数318，连线数36，密度0.0007 的作者合作图谱(见图2)。可以看出该图谱网络零散且作者间连线较少，说明该领域多为自主研究，缺乏合作研究。进一步根据普赖斯定律，计算出发文量≥2 篇为核心作者，统计出核心作者共10 人，占作者总数的0.97%，表明该研究领域尚未形成核心队伍。

图2 作者合作图谱

2.机构合作图谱

机构合作图谱可以反映某个研究领域内机构之间的合作关系。在CiteSpace 中选择“Institution”，得到节点数312，连线数15，密度0.0003 的机构合作图谱(见图3)，说明不同机构之间的合作较少。其中南阳师范学院数学与统计学院发文3 篇，居发文量第一；其次为发文量两篇的研究机构，共20 所。由此可见，数形结合思想的研究缺乏合作与进一步深入拓展。

图3 机构合作图谱

(三)关键词图谱分析

1.关键词共现图谱

关键词是对论文核心内容的提炼。通过对数形结合思想研究相关文献的关键词进行分析，有助于揭示一定时期内该领域的研究热点。在CiteSpace 中选择“Keyword”，生成节点数429 个，连线数1126 条，网络密度为0.0123 的关键词共现图谱(见图4)。图谱中的每个节点表示关键词，连线表示关键词之间的共现关系。用圆圈表示关键词出现次数，半径越大频次越高，圆圈由里向外则代表时间由远及近。由图4 可知，“数形结合”出现次数最多，其次是“小学数学”“初中数学”“数学思想”“数学教学”“应用”“高中数学”等关键词。可见数形结合思想的研究普遍基于小学、初中、高中三阶段的数学教学，且侧重于应用层面。

图4 关键词共现图谱

2.关键词聚类图谱

为进一步探索数形结合思想的研究热点以及高频关键词之间的联系，在1044 份样本文献的关键词共现图谱基础上进行关键词聚类，得到了有关数形结合思想研究的关键词聚类图谱(见图5)。从中发现有“数形结合、小学数学、数学方法、初中数学、圆锥曲线、不等式、分类讨论、一次函数、中学数学、空间观念、以形助数”等11 个聚类标签。主要可分为三类:第一类侧重于数形结合思想在数学教学中的渗透，即在小学数学、中学数学、初中数学三个学段之中；第二类则侧重于数形结合思想发展学生的逻辑思维，即分类讨论、空间观念、以形助数；第三类侧重于能够体现数形结合思想的具体数学知识点，即圆锥曲线、不等式、一次函数。

图5 关键词聚类图谱

三、研究内容分析

通过关键词共现图谱可发现数形结合思想贯穿于各个学段的数学教学，且在应用方面受到了一定程度的重视。关键词聚类图谱更是厘清了有关数形结合思想的三类研究方向。由于数形结合思想作为一种数学思想，必定是融入于各个学段并发挥着培养学生数学思维、提升学生数学素养的功能，笔者对于第一、二类聚类标签不再赘述。以下将结合第三类聚类标签中的圆锥曲线、不等式、一次函数展开内容分析。

(一)数形结合思想融入圆锥曲线

圆锥曲线是高中解析几何的核心内容，包括椭圆、双曲线与抛物线。对于圆锥曲线的一些研究，如用坐标法推导圆锥曲线的标准方程、用代数式对圆锥曲线的性质进行证明，体现了代数与几何的紧密联系，蕴含着数形结合的思想方法。章建跃认为，[5]数形结合思想不仅降低了圆锥曲线的抽象程度，还统领着学生学习圆锥曲线 “特征—方程—性质—应用”的全过程。通过对圆锥曲线的研究，学生体会到曲线与方程之间的对应关系，提升了直观想象与数学抽象等素养。而在应用解题方面，圆锥曲线的综合题目能够很好地体现数形结合思想的优势，例如建立平面直角坐标系求轨迹方程、利用几何法求最值、联立方程组判断直线与圆锥曲线的位置关系等。由于圆锥曲线的综合题型计算过程复杂、计算量庞大，学生需要掌握灵活的计算技巧，深入理解圆锥曲线的概念。合理运用数形结合思想能够帮助学生降低题目难度、快速解题。[6]杨华[7]就圆锥曲线的最值问题展开分析，认为可以利用转化函数、三角换元、转移变量等方法解题。有关圆锥曲线的综合问题不仅考查学生的数形结合思想，还考查学生的数学思维与创新能力。可以看出，数形结合思想在圆锥曲线的学习过程与应用解题中都起着降低难度的作用。

(二)数形结合思想融入不等式

不等式是初中代数的重要内容之一，用于表示数量之间的不等关系。在初中阶段学习不等式时，学生不仅要掌握不等式的概念、性质与应用，还要能够在数轴上表示出不等式的解集，这正体现了数形结合思想。鲁彦坤[8]认为数形结合就是找准数与形的契合点，根据对象的属性，将数与形巧妙地结合起来。因为数轴这条以右边为正方向的直线是由无数个点组成的，所以每个实数都能在数轴上找到相对应的点。因为不等式的解集属于实数集，所以能通过数轴进行表达。这种数与形的转换是解决一些不等式问题的关键所在。在高中阶段学习不等式时，教师通过展示函数图像来帮助学生理解不等式的涵义。函数图像与不等式之间的关系，令学生对数形结合思想有了更深刻的理解和把握。[9]而在证明不等式时，又可以运用代数式的几何意义或借助函数的图像构造几何图形。如将不等式的两端构造成圆内的直径和一条非直径的弦、构造适当的函数并利用函数图象性质证明不等式等。[10]不难发现，数形结合思想使得不等式以更加形象的方式进行呈现，利于学生理解。

(三)数形结合思想融入一次函数

一次函数及其图像是初中代数的重要内容之一，也是函数入门的基础。在初学一次函数的知识内容时，学生往往会因为函数的抽象性而感到困难。因此教师大都采用数形结合的思想，使用“几何画板”等动态几何软件绘制函数图像来帮助学生理解概念，使得学生能从不同角度观察图形，更好地掌握一次函数的性质。[11]在通过一次函数的概念学习领悟数形结合的思想后，学生可以利用一次函数与不等式联系解决实际范围的应用问题，与二元一次方程联系解决方程的问题。[12]对于一次函数与二元一次方程组的关系，数形结合思想可以进行深度陈述。李正辉[13]以一节课堂实录进行了证明:以两个一次函数表达二元一次方程组中的方程，再在同一直角坐标系中作出图像，以形助数，两条直线的交点就是方程组的解。反之，遇到求直线交点坐标的题目，也可以通过求方程组的解来完成，实现以数解形。由此可见，在学习数学的过程中挖掘出数学思想并进行合理运用能起到事半功倍的效果。

四 讨论与建议

(一)培育数形结合思想研究的学术共同体

通过对近20 年数形结合思想研究合作图谱的分析，可以发现该领域的合作图谱分散程度高、连线较少，多为学者或机构的独立研究，缺少相互联系与合作关系，尚未形成核心作者群与高成果输出团队。其中，师范院校与中小学教师是研究的主力:师范院校的研究多以理论探究为主，缺少在实际教学中的具体调查，而中小学教师的研究多以实践教学为主，缺乏先进理论对于研究的指导。因而，对于数形结合思想的后续研究，应倡导培育中小学教师与高校研究者的学术共同体，使得双方能够优势互补，实现先进理论指导下的数形结合思想的实证研究，达到研究理论性与实践性的统一，从而提高数形结合思想研究的整体水平。具体而言，可由双方一同制定研究方案与具体测评框架，再在高校研究者的理论指导下由中小学教师完成实验研究与后续结果追踪，双方合著，共创共享研究成果。

(二)重视运用现代信息技术

关于数形结合的教学设计或策略研究大多包含着现代信息技术的运用，如利用动态几何软件展示动点运动规律、改变参数观察曲线变化、直接绘制函数图像、在数轴上表示不等式解集。这正是《课程标准(2022)》的课程理念之一:促进信息技术与数学课程融合。信息技术的高精准度与直观性对于培养学生的数形结合思想有着巨大的优势:信息技术所呈现的图形能够让学生对问题产生直观性的认识，教师再以代数的角度配合进行解释，帮助学生在数与形之间建立起联系。但是教师在应用信息技术时一定要以具体的学习目标为依据，找准解决问题的切入点，不必对新技术趋之若鹜，而是有选择性地运用信息技术优化课堂导入、讲授与评价环节。[14]只有正确发挥现代信息技术在教育中的作用、灵活使用多媒体辅助数学教学，才能使得教学活动更加情境化、生动化、时代化，从而起到提高学生对数学课堂的参与热情，降低学生对数学知识点的理解难度，培养学生对学习数学的兴趣的作用。只有让学生在直角坐标系或空间直角坐标系中体验到图形或物体的移动、变形等动态过程，才能够更高效地培养学生关于几何问题与代数问题之间转化所蕴含的数形结合思想。

(三)建立数形结合思想的评价体系

从关键词共现与聚类图谱中可以发现，一线教师与高校研究者对于数形结合思想在各学段的渗透以及应用解题的研究较多，但缺少一套合理的评价指标。评价具有导向、鉴定、改进、反馈、展示与激励、检查与监控等功能，科学的教育评价，可以为素质教育定标导航。[15]数形结合思想作为一种数学基本思想以及几何直观能力的表现形式之一，是内隐的，需要花费较大努力来设计一套行之有效的评价方案。由于教学是教与学的统一，所以评价的内容不仅要包括学生的发展情况，也应涉及教师的教育质量，从而及时调整教学内容、变换教学方式、提高教学效率。在设计学生的测试卷时，教师可对课堂例题进行变式，或结合多个知识点编制综合运用题，使得测试问题既体现以形助数，又考查以数解形；在评价教师时，则可对教师的数形结合相关素养、教学表现与活动成效进行价值判断。根据《课程标准(2022)》，初中阶段的评价可以采用划分等级与分数制相结合的方法，结合日常形成性评价与期末总结性评价。教师要更多地关注学生的进步，关注学生已有的学业水平与提升空间，为后续的教学提供参考。新课改已为教师带来全新的教学理念，只有建立起评价主体、评价标准多元化的数形结合思想评价体系，才能更好发挥出评价的多项功能，助力学生数形结合思想的发展。