气相爆轰波凹面反射过程尺度效应的实验研究

景天雨，林庚浩，李 健

（1.北京机电工程总体设计部，北京 100854；2.中国建筑科学研究院有限公司 北京构力科技有限公司，北京 100013；3.北京理工大学 爆炸科学与技术国家重点实验室，北京 100081）

0 引言

爆轰的能量释放速率快、热力循环效率高，在高性能航天推进领域具有很好的应用前景，其中旋转爆轰发动机（RDE）成为目前国内外研究的热点[1]。旋转爆轰发动机利用爆轰过程产生推力，通常采用环形燃烧室，其原理为爆轰波在2 个圆柱形腔室壁的限制下沿周向旋转自持传播[2]并高速向外排出燃烧产物，从而产生推力。为了实现环形燃烧室内爆轰波稳定自持传播，需要深入研究爆轰波沿环形管道的传播机理，而爆轰波的凹面反射过程是其中的基本问题之一[3]。

当爆轰波在凹面楔上传播并发生反射时，首先会出现马赫反射（MR）；随着爆轰波的传播，凹面楔的壁角会不断增大，当增大到一个临界值时，爆轰波的反射模式会从马赫反射向规则反射（RR）转变（即MR→RR）。相似的反射模式转变过程也存在于爆轰波的凸面反射，不同之处在于，随着爆轰波的传播，凸面楔的壁角不断减小，反射模式会从规则反射转变为马赫反射（即RR→MR）。目前对于爆轰波凹面反射的研究并不多见，而对于爆轰波凸面反射的研究已较为成熟，其理论和研究方法可以作为参考。此外，爆轰波反射的很多研究都借鉴了激波反射的相关理论和方法，因此针对激波凹面反射的研究理论和方法也具有参考价值。

Ben-Dor 对激波反射现象进行了综述，并把激波沿凹面反射的过程总结为4 个阶段[4]——直接马赫反射、稳定马赫反射、反向马赫反射和规则反射。Heilig[5]和Itoh 等[6]使用CCW 理论[7]计算了激波凹面反射过程中的三波点轨迹和MR→RR 临界壁面角度，其计算结果与Geva 等[8]的实验测量结果一致。Takayama 和Sasaki[9]对激波凹面反射MR→RR 的临界角度进行了更为详细的实验研究，发现凹面楔的曲率半径R是临界壁面角度的主要影响因子。

与惰性激波不同，爆轰波存在更多维的空间尺度，例如反应区厚度Δ和胞格尺寸λ，这进一步增加了问题的复杂性。Yuan 等[10]通过数值模拟详细分析了凹面楔上爆轰波的反射行为，并讨论了影响爆轰波楔面反射的因素，但是未考虑爆轰波空间尺度的影响。李健等[11]利用烟膜实验和数值模拟研究了凸面楔上爆轰波的反射问题并测量了不同条件下RR→MR 的临界角度，发现临界角度主要取决于爆轰波波阵面的特征尺度和凸面楔的曲率半径。此外，根据李健等[12-13]和景天雨等[14]关于楔面爆轰波马赫反射的研究发现，空间尺度效应对马赫反射过程有重要影响。当前，直楔面上的爆轰波反射已经成为许多实验和数值研究的热门课题，但关于凹面楔上爆轰波马赫反射行为和MR→RR 的研究仍较少；而凹面楔有助于更好地观察爆轰波马赫反射三波点轨迹以及MR→RR 过程。

本文针对爆轰波凹面反射问题中存在的尺度效应进行数值计算和实验研究，通过对不同初始压力和不同凹面楔曲率半径下的爆轰波凹面马赫反射的三波点轨迹以及MR→RR 过程进行对比，重点探索影响爆轰波凹面反射尺度效应的特征尺度。

1 实验设置

实验在矩形截面爆轰管道（长150 cm、高10 cm、宽1 cm）中进行，前端垂直焊接一圆形预爆轰管，整个实验装置如图1 所示。

图1 实验装置示意Fig.1 Schematic of the experimental apparatus

可燃预混气体通过高压电容放电产生的电火花起爆。预爆轰管中放入一段Shchelkin 螺旋，以促进爆轰波的快速形成。当使用低活性的混合气体时，需将少量的活性气体（2C2H2+ 5O2）同时注入到的预爆轰管以便于起爆。凹面楔块则安装在通道下游足够远的地方。实验中使用符合化学当量比的2H2+O2+2Ar 预混气体和3 种曲率半径的凹面楔（R=4、6、8 cm），并改变爆轰管道内部的初始压力（P0=15、20、30、40 kPa），实验初始温度T0=298 K。实验前使用分压法混合可燃气体混合物，并将其静止至少12 h 使之充分混合。实验中采用烟膜技术记录马赫反射中的胞格变化。实验后使用扫描仪获得高分辨率的烟膜图像，并用图像处理软件得到清晰的胞格结构。预混气体热力学和爆轰参数见表1，其中：MCJ为预混气体达到CJ 状态的马赫数；γ0、γf和γCJ分别为预混气反应前、反应后和CJ 状态下的比热比。

表1 预混气体热力学和爆轰参数Table 1 Thermodynamics and detonation parameters of premixed gases of 2H2+O2+2Ar

2 爆轰波/激波凹面反射理论模型

几何冲击动力学理论提供了一种简化的方法来处理激波的反射过程。CCW 关系是一种计算激波在变传播截面静止气体介质中传播时马赫数M和横截面积A之间关系的计算方法。在单波阵面模型的假设下，爆轰波可被视为具有能量释放的几何间断。本章根据几何关系，给出关于马赫杆高度Hm、壁面角度θw和马赫杆马赫数M0的微分形式控制方程。这个方程可以通过CCW 理论和反应CCW 理论进行求解，能够相应得到无反应激波和CJ 爆轰波的三波点轨迹线，也可以得到MR→RR的临界角度。

2.1 面积-马赫数关系

CCW 理论的基础是面积-马赫数关系A(M)，它是约束几何对波传播速度影响的量度。由爆轰波的A(M)首先得出

如果假定γf=γ0=γ，且q=0，则方程退化成激波的CCW 模型。方程(1)可以用数值方法进行求解。

2.2 凹面反射几何关系

假设马赫杆是直线并且垂直于凹面楔的切线，则马赫杆在任何给定时刻的强度在沿其自身所有点上都是相同的，通过图2 所示可以得到以下几何关系：

图2 爆轰波/激波凹面反射CCW 理论几何模型Fig.2 Theoretical geometry model of CCW of detonation wave/shock wave reflection on concave surface

其中：L为入射波在短时间间隔dt内传播的距离；a0为入射波波前当地声速；Hm为量纲为1 的马赫杆高度；θw为壁面角度；dHm和dθw为Hm和θw的增量。

A0和A1分别为M0和M1的函数。假设dHm和dθw远小于1，则忽略高阶小量，可以将式(5)整理为微分方程

利用2.1 节中的A(M)，可求出马赫杆的马赫数M0，进而得到马赫杆高度Hm和壁面角度θw的关系。

3 尺度效应

爆轰波本质为耦合了化学反应的强激波，存在多个特征尺度，具有很强的非线性特征。这导致基于激波和爆轰波的经典理论无法描述爆轰波凹面反射的完整过程和所有状态，因此需要更为详细的讨论。本章将利用第2 章介绍的经典理论计算方法，结合爆轰波凹面反射实验结果，从爆轰波自身尺度方面对反射过程的化学动力学机制进行讨论。

3.1 马赫反射胞格结构特征

在烟膜图上辨认马赫反射的三波点轨迹线有2 种方法，即观察烟膜上胞格尺寸和形状的变化或者观察横波轨迹线的曲率变化。马赫杆本质上是一个过驱动的爆轰波，而入射爆轰波依然为CJ 爆轰波，故马赫杆后的胞格尺寸要小于入射爆轰波后面的胞格尺寸；而且马赫杆后的胞格形状也会发生改变，不再是较为规则的菱形，而变为较为扭曲的形状。因此，通过比较胞格的尺寸和形状，大体可以获得马赫反射三波点的轨迹。此外，当入射波上的横波向下传播到马赫杆时，其轨迹将会沿着逆时针方向发生一定的偏转，而且该轨迹线的偏转角会随着楔角的增大而增大。因此，通过观察横波轨迹线的变化情况也可以得到一条三波点轨迹。

图3 为2H2+O2+2Ar 气体爆轰波在凹面上反射的烟膜图（P0=40 kPa,R=6 cm），图中的胞格形态和尺寸反映了不同马赫反射类型之间的过渡。

图3 2H2+O2+2Ar 爆轰波凹面马赫反射烟膜图（P0=40 kPa,R=6 cm）Fig.3 Mach reflection smoked foils of detonation wave on concave surface for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar(P0=40 kPa, R=6 cm)

从图3 可以观察到，凹面楔之前的胞格尺寸基本相同，说明爆轰波在传播到凹面楔顶点之前已形成稳定的CJ 爆轰波。当爆轰波刚传播到凹面楔上时，由于初始阶段对应的壁角相对较小，跨越边界的胞格尺寸变化不明显，所以需通过观察横波轨迹线来辨认三波点轨迹。实际上，对于小楔角的马赫反射问题，定义马赫反射的三波点比较困难，因为马赫杆是略微弯曲的，并不存在清晰的三波点来分割入射波、马赫杆和反射波。当爆轰波沿着凹面楔传播一段距离后，对应的壁角增大，跨越边界的胞格尺寸的变化和三波点轨迹的弯曲非常明显，因此可以结合胞格尺寸和横波轨迹线的变化来辨认马赫反射三波点的轨迹线。

图3 上面的虚线是通过上述方法在烟膜图上描出的三波点轨迹线。通过分析三波点轨迹线，可以研究爆轰波沿着凹面楔反射的全过程：当爆轰波传播到凹面楔顶点时，对应的壁角为0 并开始形成马赫反射，此时马赫反射模式为直接马赫反射，且马赫杆的强度随着壁角的增大而增大。本阶段马赫反射三波点的运动方向与马赫杆所在位置的壁面切线方向夹角为正，表明马赫杆后的流体有一个偏离凹面楔表面的方向。因此马赫杆强度会随着爆轰波的向前传播而增大。随着爆轰波的继续传播，凹面楔的壁角逐渐增大，导致马赫杆后面流体运动矢量方向逐渐向对应的壁面切线方向偏移；当流体运动矢量方向平行于对应的壁面切线方向时，马赫杆高度达到最大值，此时马赫反射模式为稳定马赫反射。然而，稳定马赫反射状态无法维持：随着爆轰波的继续传播，凹面楔壁角继续增大，马赫杆后面流体运动矢量方向与对应的壁面切线方向夹角立即转变为负值，马赫杆高度开始逐渐减小，此时马赫反射模式为反向马赫反射。当凹面楔壁角增大到一个临界值时，马赫杆高度减小为0，此时反射模式由马赫反射转变为规则反射。图4 展示了图3 获得的无量纲的三波点轨迹线，图中红色实线和虚线分别表示由CCW 理论（对应激波间断）和反应CCW 理论（对应CJ 爆轰波间断）获得的三波点轨迹线。对比发现，在直接马赫反射阶段，三波点轨迹线趋近于CCW 理论轨迹，直到马赫杆高度达到最大值，即稳定马赫反射时刻，三波点轨迹开始偏离 CCW 理论轨迹并向反应CCW 理论轨迹靠近，最终的MR→RR 临界点位于CCW 理论临界点和反应CCW 理论临界点之间，并且逼近反应CCW理论的结果。考虑到由于胞格不稳定性带来的临界点的散布，几乎可以认为MR→RR 发生的位置与反应CCW 理论值重合。从图中还可以看出，爆轰波的最大马赫杆高度（稳定马赫反射状态）接近CCW 理论结果而大于反应CCW 理论结果，同时，达到最大马赫杆高度（稳定马赫反射状态）时的壁角也小于CCW 理论结果和反应CCW 理论结果。这表明爆轰波在凹面楔上的马赫反射存在明显的尺度效应：壁角较小时，爆轰波的诱导宽度相对于壁角较大，爆轰波表现得更像是无反应的激波，马赫反射对应于冻结极限；而壁角较大时，爆轰波的诱导宽度相对于壁角较小，爆轰波表现得更像是爆轰间断，马赫反射对应于平衡极限。上述结论与爆轰波在楔面上的马赫反射类似，均存在尺度效应以及冻结、平衡2 个极限。

图4 2H2+O2+2Ar 爆轰波凹面马赫反射的三波点轨迹（R=6 cm, P0=40 kPa）Fig.4 Triple-point trajectory of Mach reflection of detonation wave on concave surface for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar (R=6 cm, P0=40 kPa )

3.2 三波点轨迹分析

图5～图7 为2H2+O2+2Ar 爆轰波在不同初始压力（P0=15、20、30、40 kPa）和不同凹面楔曲率半径（R=4、6、8 cm）条件下凹面反射的烟膜图。

图5 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=4 cm 凹面上传播的烟膜图Fig.5 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=4 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图6 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=6 cm 凹面上传播的烟膜图Fig.6 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=6 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图7 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=8 cm 凹面上传播的烟膜图Fig.7 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=8 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图8 显示了2H2+O2+2Ar 爆轰波在不同P0和R下的马赫反射三波点轨迹线变化特征，图中横、纵坐标分别为壁角θ和量纲为1 的Hm/R，目的是比较不同曲率半径条件下的三波点轨迹特征。从图中可以发现，在直接马赫反射阶段，所有条件下的三波点轨迹线均接近CCW 结果（对应激波理论轨迹），而不是反应CCW 结果（对应CJ 爆轰波理论轨迹），这体现了3.1 节所述的冻结极限。当越过稳定马赫反射状态进入反向马赫反射阶段后，三波点轨迹均不同程度地开始偏离CCW 结果并向反应CCW 结果接近。

图8 2H2+O2+2Ar 爆轰波三波点轨迹Fig.8 Triple-point trajectory of detonation wave for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

值得注意的是，曲率半径R越大、胞格尺寸λ越小（或初始压力越大）的情况下，三波点轨迹越早偏离CCW 结果，且更加接近反应CCW 结果。这是由于当爆轰波的宽度相对于马赫杆行程较小时，波后的流动特性使得马赫反射逐渐接近爆轰间断的马赫反射特征。据此可以推断，在反向马赫反射阶段，随着尺度比R/λ的减小，三波点轨迹接近于激波的理论结果；随着尺度比R/λ的增大，三波点轨迹更加接近于CJ 爆轰波的理论结果。即在凹面马赫反射问题中，存在2 个比较重要的尺度（R和λ）：λ相对于R越小，爆轰波表现得更像爆轰间断；反之则爆轰波表现得更像无反应的惰性激波。

为了进一步研究尺度比R/λ对爆轰波凹面反射的影响，选取3 组极限情况（分别对应小尺度比、中尺度比和大尺度比）进行分析。图9～图11 为2H2+O2+2Ar 爆轰波在3 种不同条件下（P0=15 kPa，R=4 cm；P0=30 kPa，R=6 cm；P0=45 kPa，R=8 cm）下反射的烟膜图，尺度比R/λ分别为3.5、12.5 和34.8，每种条件下重复3 次实验。

图9 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=4 cm 凹面上传播的烟膜图（P0=15 kPa）Fig.9 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=4 cm and P0=15 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图10 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=6 cm 凹面上传播的烟膜图（P0=30 kPa）Fig.10 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=6 cm and P0=30 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图11 2H2+O2+2Ar 爆轰波在R=8 cm 凹面上传播的烟膜图（P0=45 kPa）Fig.11 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=8 cm and P0=45 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图12 为烟膜图（图9～图11）对应的马赫反射三波点轨迹线。从图12 可以发现，在直接马赫反射阶段，三波点轨迹均贴近CCW 理论，与尺度比R/λ的大小几乎没有关联；但是在反向马赫反射阶段，小尺度比情况的三波点轨迹依然与CCW 理论结果保持一致，而大尺度比情况的三波点轨迹很快偏离CCW 理论结果，并在反向马赫反射阶段后期与反应CCW 理论结果一致，中尺度比情况的三波点轨迹介于两理论结果之间。

图12 胞格尺度对2H2+O2+2Ar 爆轰波的三波点轨迹的影响Fig.12 The influence of cellular scale on the triple-point trajectory of detonation wave for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

这些数据也反映出尺度比对数据散布的影响。小尺度比情况下三波点轨迹线差异较大，而大尺度比情况下三波点轨迹线几乎重叠。然而对胞格尺度进行归一化后发现，相同条件下的马赫反射三波点轨迹线基本吻合，数据的散布均发生在单个胞格范围以内。由于胞格不稳定性的存在，爆轰波波阵面会产生局部曲率变化，以至在三波点轨迹绘制和临界壁角统计中会存在一定的数据散布情况。这种数据散布在较小尺度比情况下的影响更为显著。

3.3 临界角度分析

图13 为爆轰波凹面反射临界壁角θtr统计。从图中可以看出，数据具有相对明显的发散，特别是胞格尺寸较大时。同时还可以发现，临界壁角随着凹面曲率半径的增大而减小，或随着初始压力的增大（或胞格尺寸的减小）而减小；当凹面曲率半径固定时，临界壁角随着胞格尺寸λ的增大而增大。因此，可以判断临界壁角随着尺度比R/λ的增大而相应减小。

图13 2H2+O2+2Ar 爆轰波凹面反射临界壁角Fig.13 Critical wall angle of detonation wave on concave surface reflection for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

图14 反映了临界壁角θtr与尺度比R/λ的关系，图中红色的直线和虚线分别表示凹面楔的CCW 理论结果和反应CCW 理论结果。对比发现，临界壁角均位于凹面楔的反应和无反应CCW 理论获得的临界壁角数值之间，而且尺度比存在2 个极限状态：当尺度比小于下临界值时，临界壁角接近CCW理论结果；当尺度比增大到上临界值时，临界壁角几乎稳定在一个数值，并从上方接近反应CCW 理论结果。

图14 尺度比R/λ 对应的临界壁角Fig.14 Critical wall angle corresponding to scale ratio R/λ

4 结论

本文从空间尺度理论出发，对爆轰波凹面反射过程进行了实验研究，重点关注了爆轰波凹面马赫反射的三波点轨迹和从马赫反射向规则反射转变的临界壁角，以及空间尺度对上述两过程的影响规律，并得到以下结论：

1）爆轰波在凹面楔的反射过程依次经历4 种反射模式——直接马赫反射、平稳马赫反射、反向马赫反射和规则反射。前3 种反射模式均属于马赫反射，分别对应马赫杆高度的增大过程、马赫杆最大高度的瞬时状态以及马赫杆高度的减小过程。

2）凹面楔的马赫反射过程主要取决于2 个长度尺度——爆轰波的胞格尺寸λ和凹面楔的曲率半径R。当尺度比R/λ较小时，爆轰波马赫反射三波点轨迹接近于激波马赫反射的结果；而随着尺度比的增大，三波点轨迹在传播过程中会更早地偏离激波的理论轨迹。

3）临界壁角随着尺度比R/λ的增大而减小，而且尺度比存在2 个临界值：当尺度比小于下临界值时，临界壁角接近CCW 理论预测值；当尺度比大于上临界值时，临界壁角接近反应CCW 理论预测值。