运算素养视角下高中数学解题教学策略研究——以某一圆锥曲线综合问题为例

陈 平

(福建省龙岩市永定区高陂中学,福建 龙岩 364101)

高中数学是培养学生数学素养的重要阶段,解题是数学学习的核心内容.运算素养是学生在解决实际问题时所需的数学技能和思维能力,能有效破解学生“会而不对、对而不全、全而不优”的困境[1].因此,基于运算素养视角的高中数学解题教学策略研究具有重要的理论和实践意义.圆锥曲线作为高考数学中的必考内容,涉及椭圆、双曲线和抛物线等曲线的性质和应用,在解题过程中,学生往往面临着数学式子繁琐复杂、计算量大的问题,导致学生难以得出正确结论.本文以2023全国甲卷的圆锥曲线综合问题为例,探究如何基于运算素养视角下,进行解题教学.

1 运算素养的涵义

运算素养是数学核心素养的六大要素之一,它是指在数学学习中,个体能够在明确运算对象的前提下,能够根据运算法则解决数学问题的能力和素养[2].它要求个体能够准确理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择合适的运算方法,进而求出准确的运算结果[3].运算对象是运算的基本要素,是数学运算素养的承载体;运算法则是指根据数学的逻辑和性质所确定的数学运算的准则和规范,可以帮助我们在运算过程中进行正确的计算,保证结果的唯一性;运算思路是指在进行数学运算时,个体根据问题的特点和要求,选择合适的思维方式和方法来解决问题的过程,它涉及个体对问题的分析、归纳、推理等思维活动,是数学运算的精髓之处;运算方法是运算法则的具体化,是指根据运算对象,所选取的合适的运算法则,进行可操作的运算过程.

2 例题呈现

(1)求p;

图1 例题图示

3 解法探究

处理圆锥曲线综合问题,通常有以下几个步骤,首先要明确解决的几何问题,然后选择合适的方法,将该几何问题转化为代数问题.接着对这些问题进行分析,找出各个关联量,解决代数问题,最后将代数问题回归至几何问题进行求解.

(1)p=2(过程略).

(2)本题是一道比较常规的圆锥曲线面积最值问题,几何关系的翻译比较常规,但是不管是采取联立或是不联立的方式都具有一定程度的计算量.需要通过对面积的代数表达通过消元结合几何基本不等式求取最值,或者利用三角函数换元、求导、二次函数等方式求取最值,考查运算的基本功.下面从运算视角进行解题的探究.

3.1 理解运算对象关系,为运算找出路

为运算找出路是指在解决数学问题时,通过合理的思考和分析,找到一条适合的解题路径和方法,打破求解的僵局.对于第(2)小问,有同学想到可以通过线段MN的长度和点F到MN的距离表示三角形的面积,进而求出答案.但在该解题中,学生可能存在未能正确理解运算对象间的关系,从而导致解题失败的情况.解法如下:

解法1设M点的坐标(x1,y1),N点的坐标(x2,y2),直线MN:x=ay+b.

图2 解法1图示

通过以上解法可以看出,善于找到不同运算对象之间的联系,可以帮助我们在求解数学问题时打破僵局,开拓思路,找到新的解题路径和方法.这种联系可以是数学对象之间的运算规律、代换规则、变换关系等.通过不断的训练和实践,我们可以逐渐提高对运算对象之间联系的敏感度和发现能力,从而在求解数学问题时能够更加灵活和高效地应用这些联系,找到新的视角和思考方式,帮助我们更深入地理解问题,发现问题的本质和规律.

3.2 调整运算思路,简化运算过程

对于目标对象,可能不仅仅只有一种求解方法.解法1通过线段MN的长度和点F到MN的距离表示三角形的面积,解法较为复杂,很容易在计算过程中出现计算错误,从而导致结论错误.针对有多种表示的目标对象,我们可以对运算思路进行调整,可以通过三角形的顶点坐标对三角形的面积进行表示,避免使用两点之间的距离和点到直线距离的公式,简化运算过程,具体解法如下所示:

3.3 转化运算对象,简化运算路径

要提升运算素养,需要重新审视整个数学体系,打破原有问题的背景和解决思路.通过转化运算对象,可以形成一种新的解题结构和新的运算方式[4].本题中的解法1和解法2都是以直线坐标系为运算对象,本质上都是通过设点联立方程进行求解,但存在运算量复杂的情况.此时,可以引导学生将运算视角转化至极坐标系.在极坐标系下,距离的计算可以更加直观,而且一些对称性质和周期性质在极坐标系下更容易利用.通过将问题转化到极坐标系中,可以简化问题的表达和求解过程,减少运算量.通过引导学生将运算视角转化至极坐标系,可以帮助他们更好地理解和应用极坐标系,提高解决问题的效率和准确性.此外,这也有助于培养学生的数学思维和运算素养,拓宽他们的数学视野,解法如下所示:

通过解法3可以看出,利用极坐标的形式,极大简化了运算过程.该策略的掌握,需要个体在解题过程中灵活运用数学思维和方法,深入理解问题的本质和要求,以及善于发现问题的规律和特点.这样,才能够更快地找到解题的其他突破口和关键点,从而更有效地解决数学问题,提升数学运算素养.

4 结束语

面对高考的压力,学生往往会将更多的精力放在寻找解题思路和方法上,希望通过掌握更多的解题技巧和方法来提高解题的效率和准确性.然而,这种做法忽略了解答数学问题最为基础的运算能力,导致学生在计算过程中频繁出现错误,尤其是面对计算量较大的数学压轴题,因运算素养不达标而导致失分的现象更为严重.因此,在教学过程中,教师要引导学生合理分配精力,既注重解题思路和方法的学习,又不忽视基本运算能力的训练.这样才能够在高考中更好地应对各种数学问题,避免在计算过程中出现错误而导致失分的情况.