2024年新高考数学模拟卷(二)

李春林

(甘肃省天水市第九中学,甘肃 天水 741020)

(河南、山西、江西、安徽、甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、宁夏、新疆、陕西)

第Ⅰ卷(选择题)

一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

A.{x|0

C.{x|1

2.已知复数-3+2i是方程2x2+12x+q=0的一个根,则实数q的值是( ).

A.0 B.8 C.24 D.26

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分又不必要条件

4.已知向量a,b满足(a-b)·b=2,且b=(-1,1),则向量a在向量b上的投影向量为( ).

A.(2,2) B.(-2,2) C.(1,1) D.(-1,1)

6.有三个数:a=20.5,b=sin1,c=log23,大小顺序正确的是( ).

A.c>a>bB.a>c>bC.a>b>cD.b>a>c

8.2023年杭州亚运会于9月23日至10月8日举办,组委会将甲、乙、丙、丁4名志愿者随机派往黄龙体育中心、杭州奥体中心、浙江大学紫金港校区三座体育馆工作,每座体育馆至少派1名志愿者,A表示事件“志愿者甲派往黄龙体育中心”;B表示事件“志愿者乙派往黄龙体育中心”;C表示事件“志愿者乙派往杭州奥体中心”,则( ).

A.事件A与B相互独立

B.事件A与C为互斥事件

二、多选题：本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.下列结论正确的有( ).

A.若随机变量ξ,η满足η=2ξ+1,则D(η)=2D(ξ)+1

C.若线性相关系数|r|越接近1,则两个变量的线性相关性越强

11.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),f(1)=2,f(3x+2)为奇函数,函数g(x)(x∈R)满足g(x)=-g(4-x),若y=f(x)与y=g(x)恰有2 023个交点(x1,y1),(x2,y2),…,(x2023,y2023),则下列说法正确的是( ).

A.f(2 023)=2 B.x=1为y=f(x)的对称轴

12.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,G为C1D1的中点,点P在线段B1C上运动,点Q在棱C1C上运动,M为空间中任意一点,则下列结论正确的有( ).

A.直线BD1⊥平面A1C1D

第Ⅱ卷(非选择题)

三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

14.已知(1-2x)n的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等,则展开式中含x的系数为____.

16.若两曲线y=x2-1与y=alnx-1存在公切线,则正实数a的取值范围是____.

四、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在数列{an}中,Sn为数列{an}的前n项和,且满足Sn+2=2an.

(1)求数列{an}的通项公式;

如图1所示,在△ABC中,∠ACB=45° ,BC=3,过点A作AD⊥BC,垂足D在线段BC上,沿AD将△ABD折起,使∠BDC=90° (如图2),点E,M分别为棱BC,AC的中点.

图1 第18题图(a)

(1)求证:CD⊥ME;

(2)已知____,试在棱CD上确定一点N,使得EN⊥BM,并求二面角M-BN-C的余弦值.

注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

(1)当a∥b时,求2cos2x-2sinx·cosx的值;

20.已知函数f(x)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.

(1)求函数f(x)的单调区间及极值;

(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求实数m的取值范围.

21.某地区举行专业技能考试,共有8 000人参加,分为初试和复试,初试通过后方可参加复试.为了解考生的考试情况,随机抽取了100名考生的初试成绩绘制成如图3所示的样本频率分布直方图.

图3 样本频率分布直方图

(1)根据频率分布直方图,估计样本的平均数;

(2)若所有考生的初试成绩近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ为样本平均数的估计值,σ≈9,试估计所有考生中初试成绩不低于80分的人数;

附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ

22.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(2,y0)是抛物线上一点,且|DF|=3.

(1)求抛物线C的方程;

(2)设直线l:2x-y+4=0,点B是l与y轴的交点,过点A(2,1)作与l平行的直线l1,过点A的动直线l2与抛物线C相交于P,Q两点,直线PB,QB分别交直线l1于点M,N,证明:|AM|=|AN|.

参考答案

1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.B

8.D 9.CD 10.ABD 11.BCD 12.ACD

17.(1)当n=1时,a1+2=2a1,解得a1=2.

得Sn-Sn-1=2(an-an-1).

即an=2(an-an-1),易知an-1≠0.

所以{an}是以a1=2为首项,以2为公比的等比数列.

故an=2n.

18.(1)因为CD⊥AD,CD⊥BD,AD∩BD=D,AD,BD⊂平面ABD,

所以CD⊥平面ABD.

因为AB⊂平面ABD,

所以CD⊥AB.

又M,E分别为AC,BC的中点,

所以ME∥AB.

所以CD⊥ME.

图4 第18题解析图

设AD=CD=x,在Rt△ABD中,

解得x=2,

所以BD=1.

因为EN⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,则n=(1,2,-1).

取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),则

又二面角M-BN-C的平面角为锐角,

设N(0,a,0),0≤a≤2 ,则

因为EN⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,则n=(1,2,-1).

取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),则

又二面角M-BN-C的平面角为锐角,

方案三:选③,设BD=x(0

因为AD⊥CD,∠ACD=45°,

所以△ADC为等腰直角三角形.

所以AD=CD=3-x.

在三棱锥A-BCD中,AD⊥DC,AD⊥BD,且BD∩DC=D,BD,DC⊂平面BCD,

所以AD⊥平面BCD.

化简,得(x-1)2(x-4)=0,

解得x=1或x=4(舍去).

设N(0,a,0),0≤a≤2 ,则

因为EN⊥BM,

令x=1,得y=2,z=-1 ,则n=(1,2,-1).

取平面BNC的一个法向量m=(0,0,1),

又二面角M-BN-C的平面角为锐角,

所以f(x)=(a+b)·b

所以x=1是f(x)的极大值点,无极小值点.

所以f(x)的极大值为f(1)=-1,无极小值.

(2)设h(x)=f(x)-g(x)=lnx-xex+x+m,x∈(0,+∞),则

因此,当00,即h′(x)>0,则h(x)单调递增;当x>x0时,t(x)<0,即h′(x)<0,则h(x)单调递减,故[h(x)]max=h(x0)=lnx0-x0ex0+x0+m=0-1+m≤0,解得m≤1.

所以当m≤1时,f(x)≤g(x)恒成立,即实数m的取值范围是(-∞,1].

21.(1)由题意得,样本平均数的估计值为

(40×0.010+50×0.020+60×0.030+70×0.024+80×0.012+90×0.004)×10=62.

(2)学生初试成绩X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ=62,σ≈9,则

μ+2σ=62+2×9=80.

所以估计初试成绩不低于80分的人数为0.022 75×8 000=182人.

图5 第22题第(1)问解析图

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)如图6,直线l:2x-y+4=0,令x=0得y=4,所以点B(0,4).

因为直线l1平行于直线l:2x-y+4=0,且过点A(2,1),所以直线l1:2x-y-3=0.

图6 第22题第(2)问解析图

设直线l2:x-2=t(y-1),

y2-4ty+4t-8=0.

所以△=16(t2-t+2)>0.

设点P(x1,y1),Q(x2,y2),

由韦达定理可得

y1+y2=4t,y1y2=4t-8.

因为xA=2,

所以xM+xN=2xA.

即A是线段MN的中点.

所以|AM|=|AN|.