重视基础与情境 培养素养与能力——对2022年高考数学甲卷的评析与思考

王昌林

(四川电影电视学院实验中学,四川 内江 611331)

高考是高中教育教学工作中十分重要的环节,是检验教育教学成果的重要手段.高考试题的命制受多种内在与外在因素的影响.对高考试卷进行系统分析研究, 可以充分把握试题的本质、认识试题的情景、理解试题的设问、拓宽试题的解法、加强试题的拓展, 同时还可以领悟高考命题动向, 把握命题规律, 从而减少复习的盲目性、随意性,使高考复习更加具有针对性.

1 试卷的特点

2022年高考数学甲卷的命题坚持以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导,贯彻党的教育方针,落实立德树人根本任务,充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用,构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系.依据高校人才选拔要求和国家课程标准,加强对关键能力和学科素养的考查,减少死记硬背和“机械刷题”;突出数学本质,重视数学思维,坚持素养导向与能力立意的命题原则;倡导理论与实际联系,学以致用,体现高考数学的科学选拔功能和育人导向作用.

试卷整体过渡平稳且勇于创新.试卷稳步推进改革,科学把握数学题型的开放性与数学思维的开放性,全面体现基础性、综合性、应用型以及创新性的考查要求.从试卷的结构来看,继续延续了近年来的模式;从试卷的难度来看,简单题注重基础知识的考查,中档题注重知识的运用,难题则注重方法技巧的掌握.

2 试卷分类评析

从考查的知识来看,考查的知识点与往年比无太大变化,例如解答题部分仍考查的是数列、概率与统计、立体几何、解析几何、函数与导数,选考部分仍是极坐标与参数方程、不等式选讲等六个板块,圆锥曲线与导函数仍然是最难的,具体分析如下.

2.1 文理难度区分,展现人文关怀

2022年高考数学甲卷无论是文科还是理科试卷都具有入手较为容易、入口较宽的特点,第1至6题考查的是数学的基本定义和基本运算,只需基本的数学知识与方法就能完成作答.其中理科第1题、第3题和文科的第1题、第3题位置相反,且理科较文科运算量大;试卷通过改变知识点的考查以及减少运算量等方式有意识地区别考查难度.

2.2 设置真实情境,满足树人要求

“立德树人,五育并举”是中共中央、国务院印发《关于深化教育教学改革全面提高义务教育质量的意见》中的重要内容,也是对解决“为谁培养人,培养什么人,怎样培养人”问题最坚定有力的回答.试题设置真实情境,命制具有教育意义的试题,发挥数学考试的教育功能和引导作用.

例3 (文科第19题)小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图1所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直.

图1 例3题图

(1)证明:EF∥平面ABCD;

(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度).

评注例3不再像以往为了考查立体几何知识而设置考题,而是加入了具体的现实生活背景.包装盒在日常生活中随处可见,精美的包装比比皆是,但并不是每一个人都会留意其内涵.正是例3中“△EAB,△FBC,△GCD,△HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直”这些特殊的图形与位置方才构建出如图1所示的几何之美.这是美育的渗透,引导考生善于用发现的眼光去发掘生活中的数学.

2.3 弘扬优秀文化,发挥育人功能

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课标》)指出,数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点,以及它们的形成和发展;还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义,以及与数学文化的人文活动[1].《课标》强调要将数学文化融入数学教学活动中.通过在教学中渗透数学文化,让学生了解数学的发展历程,认识数学在科学技术和人类社会发展中所起的重要作用,引导学生认识和感悟数学的文化价值,树立文化自信、提升人文素养以及数学核心素养.

图2 例4题图

评注沈括的《梦溪笔谈》是我国历史上重要的数学著作之一,英国科学史家李约瑟评价为“中国科学史上的里程碑”.绝大多数考生都知道“割圆术”,但对于“会圆术”却少有知晓.其实无论是《梦溪笔谈》还是《算经十书》,不仅是当时数学成就的体现,还深深地融入我们的生活之中,例4简明扼要,应用方便,代入计算即可得到弧长s的近似值,具有实际可操作性.

2.4 坚持适度开放,重视能力培养

结论开放型试题也称结构不良试题,与结构良好的试题相比,其条件不再是不多不少,需要解决的问题目标不再是明确的,因此其没有固定的思路和解法.结构不良问题初始状态、目标状态、中间状态至少有一个不确定,有利于引导学生在解决问题的过程中,根据具体情境,从多个角度分析,考虑多个可能,寻找不同路径,提出多种解决方法,以考查学生思维的系统性、灵活性、深刻性、创造性[2].

例6 (2021年全国甲卷理科第18题)已知数列{an}的各项均为正数,记Sn为{an}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件,证明另外一个成立.

评注例5与例6均是半开放的结构不良试题.全国甲卷连续两年坚持结构不良试题的命制是向新高考看齐,更是为了引导高中数学教育教学工作应当重视学生能力的培养.正如现实生活一样,我们遇到的问题多是结构不良型,在数学考试中设置结构不良问题,目的就是为了实现从能力立意到素养导向的转变.

2.5 注重素养导向,突出选拔目的

数学核心素养是学生在接受教育过程中,逐步形成的具备数学本质特征而适应个人终身发展和社会发展需要的关键能力与思维品质.《课标》将数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析作为数学学科六大核心素养,其目标是将以人为本的教育理念落地生根,实实在在地落实到人.在高考中,通过复杂情境的设计来增强题目的综合性,考量学生能否根据已知信息,从合理的角度思考问题,用合理的方法解决问题,充分展现学生对于推理和论证的确认、分析、评价、展示的全过程,从而突出选拔目的.

A.c>b>aB.b>a>c

C.a>b>cD.a>c>b

例8 (文科第12题)已知9m=10,a=10m-11,b=8m-9,则( ).

A.a>0>bB.a>b>0

C.b>a>0 D.b>0>a

2.6 聚焦学科本质,关注思维考查

《课标》指出:高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学定义、法则、结论的发生、发展过程和本质.在试题中对学生的数学思维进行考查,有利于检验学生的观察能力与分析能力;同时数学思维作为影响学生学习成果的潜在因素,无论是在学生的日常知识学习中,还是对身边事物的感知上,都具有一定的影响.

例9 (理科第20题)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点D(p,0),过F的直线交C于M,N两点.当直线MD垂直于x轴时,|MF|=3.

(1)求C的方程; (2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为α,β.当α-β取得最大值时,求直线AB的方程.

3 备考与教学思考

3.1 研读课标意见,强化主干知识

2019年国务院办公厅印发《关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》要求,各省(区、市)要结合推进高考综合改革,制定普通高中新课程实施方案,2022年前全面实施新课程、使用新教材.学业水平选择性考试与高等学校招生全国统一考试命题,要以普通高中课程标准和高校人才选拔要求为依据,实施普通高中新课程的省份不再制定考试大纲.

表1 2022年高考数学全国甲卷试题考查内容与题号、分值分布

从表1统计情况来看,2022年高考数学全国甲卷试题对于《课标》中的主干知识是考查的重点,因此,认真研读《课标》具有必要性,尤其是对于课标中的“冷门”点,如直线的法向量、正态分布、极差、标准差、向量的投影、方位角等.同时,认真研读《课标》对高考中各知识点的难度要求也可以有一个准确的认识,从而在复习中既可以避免遗漏一些重要考点,也避免做无用功.

3.2 关注思维逻辑,培养应用能力

2022年新高考全国Ⅰ卷被众多考生称为“史上最难”,数学试题是真的变难了吗?其实不然,2022年的高考数学试题较以往更加优化试题的呈现方式,以及加强对关键能力和学科素养的考查.从高考考试要求来看,高考数学的学科素养包括理性思维、数学应用、数学探索和数学文化,2022年还提出了主要考查逻辑思维能力、运算求解能力、空间想象能力、数学建模能力和创新能力这五个方面.显然,通过死记硬背和“机械刷题”获得高分的考生是缺乏素养与能力的.例如:2022年新高考全国Ⅰ卷第8题为外接球加最值问题的组合,考生若仅会套用外接球模型是不能求出正四棱锥体积取值范围的;全国乙卷第9题,考生若是没有较强的空间想象能力和分析问题能力,很难将问题转化为三次函数的最值问题,进而利用导数求解;甲卷理科第10题,采用设点的方式求解,其运算过程是复杂的,但若是将点P与椭圆右端点相连接,根据对称性并借助椭圆第三定义即可快速求解.

3.3 教学返璞归真,备考回归本质

数学知识是朴实的,其认识过程是真实的.高度的抽象性、逻辑的严谨性以及应用的广泛性是数学的三个最基本特征;统一性和简单性是抽象性的自然结果;精确性和确定性是数学逻辑严谨性的具体表现;而数学学科本质则是落实育人目标的数学育人方式.随着现代信息技术的发展,各种方便快捷的电子课件、白板的广泛使用,对传统课堂的板书内容大有取代之势.教师的板书越来越少,更有甚者还出现“零板书”的现象.板书作为辅助教学的一种基本手段,它既是对知识的再加工,又是对教学艺术的再创造,同时还是对教学过程以及逻辑关系的再现,因此,教学需要规范的返璞归真的板书,拒绝虚假热闹.除此以外,主干知识的教学与备考也应该回归本质,只有明白知识的发生过程与认识路径,才能在面对问题时快速探寻其本质,例如: 2022年全国甲卷理科第20题,根据题干已知条件以及直线MD,ND与椭圆C的另一个交点分别为点A与点B作出示意图后可以得出其命题背景为二次曲线中的蝴蝶定理;2022年全国乙卷理科第20题,根据直线PA、直线PB皆与椭圆E相切,可以得出点P与直线AB为椭圆E的一对极点和极线.

4 结束语

高中数学的学习是建立在扎实的基础知识上的,备考亦是如此.高考数学试题中定然不会出现“怪题”与“偏题”,所有试题皆是基于必备知识的,因此,应当注重对基本概念、定理和公式的理解和掌握,避免过于追求题目的难度,而忽视基础知识的巩固.在备考阶段,只有系统地复习了基础知识,重点关注了课本中的重要知识点、定理和公式的由来以及它们之间的联系,通过反复的练习和总结,巩固基础知识的掌握程度,才能真正做到以不变应万变.