基于核心素养的一道高考压轴题的多种解法

刘彦永

(大连市第二十四中学 ,辽宁 大连 116021)

从双基教学的产生到情感态度价值观、学生学科核心素养理念的提出、研究和实施,教育教学目标的实施逐步具体、明确、可操作[1].数学核心素养只有在解决问题中才能体现出来,没有具体的情境,就无法判断一个人的数学素养的高低.2022年高考全国甲卷理科第21题充分体现了数学的六大核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析),对深化课程改革、教材更新、引领数学教学等起到了积极的导向作用.

1 试题呈现

(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;

(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.

2 试题分析

本题已知条件简明扼要,问题却又内涵丰富.第(1)问是已知不等式恒成立求参数的范围,第(2)问本质是函数的极值点偏移问题.既考查学生的数形结合、分类讨论、函数方程和等价转化等数学思想,又考查学生分析问题和解决问题的能力.考查层次分明、区分度较高,能使学生充分展示理性思维的广度和深度,是一道综合考查核心素养的绝佳好题[2].

3 试题解答

3.1 第(1)问解析

所以函数的定义域是(0,+∞).

因为ex≥ex和lnx≤x-1,

解得a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

令f′(x)=0,得x=1,当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.

故f(x)≥f(1)=e+1-a≥0,

解得a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

令t=x-lnx且t∈[1,+∞),则有

et+t-a≥0.

记h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),

则h(t)单调递增.

故有[h(t)]min=h(1)=e+1-a≥0,解得a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

t+lnt-a≥0.

记h(t)=t+lnt-a,t∈[e,+∞),

则h(t)单调递增.

故有[h(t)]min=h(e)=e+1-a≥0,解得a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减;

当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)单调递增.

故[h(x)]min=h(1)=e+1,解得a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

即a的取值范围是(-∞,e+1].

h(x)=lnx-x+a,

[g(x)]min=g(1)=e,

[h(x)]max=h(1)=-1+a,

故有a≤e+1.

即a的取值范围是(-∞,e+1].

充分性:当a≤e+1时,

综上所述,a的取值范围是(-∞,e+1].

点评问题(1)的本质是含参不等式恒成立问题,破解策略主要有放缩法(解法1)、最值分析法(解法2)、换元法(解法3,4)、参数变量分离法(解法5)、数形结合法(解法6,7)、必要性探路法(解法8)、分类讨论法、基本不等式法、齐次化法、判别式法、构造函数法等.

3.2 第(2)问解析

由题(1)知,f(x)的一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设0

因为f(x2)=f(x1),

故h(x)在(0,1)上单调递增,且h(1)=0.

因为f(x2)=f(x1),

则结合ex≥ex知

故h(x)在(0,1)上单调递增,且h(1)=0.

从而x1x2<1.

因为f(x2)=f(x1),

g(x)在(0,1)上单调递减,且g(1)=0,故g(x)>0.

记h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),则h(t)单调递增.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等价于g(x)=x-lnx有两个不同零点x1,x2.

因为g(x)在(1,+∞)上单调递增,

因为g(x2)=g(x1),

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等价于g(x)=x-lnx有两个不同零点x1,x2.

要证x1x2<1,

因为g(x1)=g(x2),

故p(x2)

记h(t)=et+t-a,t∈[1,+∞),则h(t)单调递增.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

等价于g(x)=x-lnx有两个不同零点x1,x2.

构造函数g(x)=x-lnx的逼近函数

则q(x)=p(x)-g(x)

其中x∈(0,+∞),

故q(x)在(0,+∞)上单调递减.

因为q(1)=0,所以x∈(0,1)时,q(x)>0,x∈(1,+∞)时,q(x)<0,

>q(1)=0,

故ln2x2

即lnx2<-lnx1.

也就是lnx2+lnx1=lnx1x2<0.

所以x1x2<1.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

所以x1x2<1.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2,

即x2-x1=lnx2-lnx1.

故g(n)在(1,+∞)上单调递减.

因为g(1)=0,

从而x1x2<1.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2.

即x2-x1=lnx2-lnx1.

则g(n)在(1,+∞)上单调递减.

因为f(x)有两个零点x1,x2,所以h(t)=et+t-a有零点t0>1,且t0=x1-lnx1=x2-lnx2,

即x2-x1=lnx2-lnx1.

则g(n)在(0,+∞)上单调递增.

点评问题(2)的本质是极值点偏移问题,破解策略主要有构造函数法(解法1-6)、对数平均不等式法(解法7)、换元法(解法8-10).构造函数的技巧和方法非常多,基于不同的角度就可以构建不同的函数,限于篇幅,本文不再赘述.换元常用的策略是差值换元和比值换元,这都需要通过实战解题不断演练变熟练.

上述两个问题的解答都充分体现了数学核心素养对解题的思路引领.各个解法建立了对应的数学模型,通过逐步深入的逻辑推理和数据分析、数学运算简化问题,最后使问题得以顺利解决.

4 结束语

发展学生的数学核心素养,有利于学生学会用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界.“一题多解”正是提高数学核心素养的有效策略.在实际教学过程中,我们应抓住具有多解的好题,让学生去感受、体验、思考、总结和反思,进而体会到灵活应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉,培养学习的兴趣和提高数学核心素养.