掌握概率模型 准确求解概率

乐和顺

(湖北省随州市曾都区第一中学,湖北 随州 441300)

高中数学人教A版选择性必修第三册第七章《随机变量及其分布列》中新增了概率的乘法公式、全概率公式以及贝叶斯公式等内容,在章末复习题中还增加了概率与数列相结合的问题.与之前的教材相比,概率模型的种类增多了、难度相应也提升了.学生学习这部分知识时,不容易构建恰当的概率模型,导致对概率的求解出错.为让学生能够掌握好这部分知识,结合学生学习这部分内容时出现的问题,笔者在章节复习的教学中尝试从以下几个方面着手弥补,对学生掌握这部分内容起到较大帮助.

1 熟练掌握各种概率模型的使用场景

1.1 概率模型

①条件概率;②概率的乘法公式;③全概率公式;④贝叶斯公式;⑤二项分布;⑥超几何分布;⑦正态分布.

1.2 各种概率模型的实质及其适用的范围

①若事件A被几个两两互斥的事件(这几个事件的概率和必须等于1)所分割,需要求解事件A的概率就应用全概率公式,依据概率的乘法公式、加法公式求出事件A的概率[1];

③求两个事件的积的概率就可以用概率的乘法公式;

④通过实例(放回抽样、不放回抽样)引导学生分辨清楚二项分布与超几何分布的本质区别,避免学生错用概率模型导致求解概率出错.

例1 长时间玩手机可能影响视力.据调查,某校学生大约40%的人近视,而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1 h,这些人的近视率约为50%.现从每天玩手机不超过1 h的学生中任意调查一名学生,求他近视的概率.

又由全概率公式

2 培养学生的解题能力

有些概率题的题目较长,学生不能静下心来认真读题,对题目条件理解不准确导致求解出错;还有部分学生对题目的要求读不懂,理解不透,从而弄错概率模型.教师在平常的课堂教学中,要有意识地通过典例指导学生认真读题,抓住题干中的有效信息进行分析整合,构建合理的概率模型,准确求解事件的概率,不断提高学生收集信息、分析数据以及解决问题的能力.

例2 随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(00,a≠1,则函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率为( ).

A.0.375 0 B.0.300 0 C.0.250 0 D.0.200 0

分析很多学生对题干“已知a>0,a≠1,则函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率”没有真正领悟,不能理解“已知a>0,a≠1”的真正含义,忽略条件“已知a>0,a≠1”,直接依据“函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限”求解,错选答案D.本题实际上应是一个条件概率:在条件“a>0,a≠1” 发生下求函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限的概率.

解析记事件A:a>0,a≠1,事件B:函数y=ax+1-a的图象不经过第二象限.

因随机变量a服从正态分布N(1,σ2),且P(0

所以P(B)=0.5-P(1

故选C.

例3 第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口举办,为了普及冬奥知识,某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛,从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本,得到他们的分数统计如下:

分数段[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数1228331

我们规定60分以下为不及格;60分及以上至70分以下为及格;70分及以上至80分以下为良好;80分及以上为优秀.

(1)从这20名学生中随机抽取2名学生,恰好2名学生都是优秀的概率是多少?

(2)将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人,以X表示这2人中优秀人数,求X的分布列与期望.

分析本题第(2)问,很多学生会按超几何模型求解随机变量X的概率,其原因是对题目的条件“将上述样本统计中的频率视为概率,从全校学生中随机抽取2人”没能理解清楚,从全校学生中随机抽取X人其成绩为优秀的概率应通过“样本中的频率估计总体的概率”得到,此实验即为n重伯努利试验,即随机变量X应服从二项分布.

X 0 1 2 P 1625825125

3 指导学生掌握相关事件及其关系

学生对概率题感到困难的一大原因是没有弄清楚题干中的复杂事件的构成,不能合理地表示基本事件及其关系,从而无法确定采用哪个概率模型求解.教师在教学中要指导学生抓住情景设置中的问题,从问题入手,认真分析要求的概率对应的事件与题干中其他事件的关系,可以把要求的概率对应的事件设为基本事件,合理表示出与其他事件的关系.

例4 某卡车为乡村小学运送书籍,共装有10个纸箱,其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书.到目的地时发现丢失一箱,但不知丢失哪一箱.现从剩下9箱中任意打开两箱,结果都是英语书,则丢失的一箱也是英语书的概率为____.

分析因题中需求“丢失的一箱也是英语书”的概率,可把“丢失的一箱是英语书”记为基本事件B1,那么“丢失的一箱为数学书”就可记为B2,“丢失的一箱为语文书”可记为B3,又已知“从剩下9箱中任意打开两箱都是英语书”,可把此事件作为另一基本事件,记为A,则事件A被三个互斥事件B1,B2,B3所分割,事件A概率的求解就要用全概率公式,本题的难点得到突破[2].

解析用A表示“丢失一箱后任取两箱是英语书”,用B1表示“丢失的一箱为英语书”,用B2表示“丢失的一箱为数学书”,用B3表示“丢失的一箱为语文书”.因事件A被三个互斥事件B1,B2,B3所分割,则由全概率公式得

由贝叶斯公式得

4 结束语

概率是高中数学六大主干知识之一,教师要依据新课程标准落实好这部分的教学内容,指导学生立足课本基础知识,帮助学生真正理解各类概率模型,力求对教材内容融会贯通.同时,概率知识多以生产生活中的实际问题为背景,信息量大,有助于培养学生的阅读能力、逻辑推理能力以及数据分析等数学学科核心能力.教师在教学这部分内容时,可以通过具体的问题情境,启发学生积极思考,提高自身的阅读能力,善于从题干中获取有效信息进行数据分析整合,理解蕴含的数学知识本质,构建合适的数学概率模型,准确求解概率.作为教师,还要善于结合学生出现的问题,认真分析错因,寻求解决对策,帮助学生逐步提高分析问题与解决问题的能力,不断提升学生的数学素养.