对2022年高考物理辽宁卷第14题的深入分析

王伟民

(安徽省太和县宫集镇中心学校,安徽 太和 236652)

从一道与类抛体运动内容有关的高考题目说起.

图1 小球弹簧系统图示

求:(1)弹簧压缩至A点时的弹性势能;

(2)小球经过O点时的速度大小;

(3)小球过O点后运动的轨迹方程.

1 试题简评

这道题目是2022高考物理辽宁卷的第14题,也是整份试卷的倒数第二题,处于压轴题目的重要位置:人们通常把一份试卷中题目难度相对较大、所占分值比例相对较高的最后两三道题目称之为试卷的压轴题,它是拉开不同能力考生分数差距的题目,所以格外受到人们的关注.题目设置的物理情景是压缩的弹簧将带电小球以一定的速度推入匀强电场,之后在电场和重力场形成的复合场中运动,这样设置问题把力学和电学中的多个知识点有机结合,可以综合考查学生对电场力、能量守恒定律、动能定理、牛顿运动定律、平抛运动规律及其相关知识点的掌握情况,以及灵活应用物理知识解决复杂物理问题的能力[1].题目内容不长,只有二百多字符的内容,但却把与所求问题相关的物理情景交代得清楚明白,通读题目一遍,即可明晰对应的物理过程,不存在任何歧义或费解之处,体现了编者高超的原创题目的编拟水平.

2 试题解析

解析(1)因为水平地面AB是光滑的,所以,在小球与弹簧接触并受弹簧弹力而运动的整个过程中(包含小球刚要脱离弹簧的时刻),小球与弹簧组成系统的机械能守恒,

(3)因为复合场的方向水平向右,所以,小球于O点离开光滑圆弧轨道进入复合场所在的第一象限后,作类平抛运动,运动轨迹如图3所示.由图2可知,类平抛运动中方向水平向右的“类抛体重力加速度”大小与重力加速度大小相同,也为g,所以,小球的运动轨迹是顶点在坐标原点,开口向右的抛物线.以小球离开O点的时刻为0时刻,时间t后,小球在坐标系内的横、纵坐标分别为:

图3 小球运动轨迹示意图

两式结合,消去t可得到小球的运动轨迹方程为y2=6Rx.

3 试题变式

实际上,对于这道高考题目,在保持原来的物理情景(包含题设建立的物理模型)基本不变的情况下,适当改换题目条件,可以得到与这道高考题目考查知识点类似但难度更高的不同变式来.

图4 系统所在空间水平电场图

解析作出带电小球在电场中仅受重力和电场力的受力示意图,如图5所示.易知,这两个力的合力方向斜向下,与水平面成30°角,合力大小为F合力=2mg,所以,物体在复合场中的受力情形,可以等效为“等效重力场”中的受力情形,其“等效重力加速度”的方向即为图5中的合力方向,“等效重力加速度”大小为g′=2g.

(2)因为圆形轨道是光滑的,所以小球在B点离开弹簧,进入由重力场和电场组合而成的复合场之后,其机械能守恒(这里的“机械能守恒”指的是等效重力加速度为g′=2g的等效重力场中小球的机械能守恒,在“等效重力场”中物体的“等效重力势能”等于物体质量、物体的相对高度和“等效重力加速度”的乘积).过O点作垂直于“等效重力加速度”方向(即CP方向)的垂线ON交圆形轨道于N点,如图6所示(为避免无关线条的干扰,图6中水平向右的电场线没有画出),过B作BM⊥ON,垂足为M,显然,OM为等效重力场中的“等效水平面”.

由几何知识易知,△CON为等边三角形

所以,∠CNO=60°

所以,∠BCN=30°

因此,∠CNB=75°

所以,∠MNB=45°

所以,△BMN是等腰直角三角形.

小球于等效重力场内运动过程中,在B、O两点的等效机械能相等,故有:

图6 轨道添加辅助线图示

时间t后,小球在坐标平面中的横、纵坐标分别为:

两式结合消去t,得到小球运动的轨迹方程为:

该抛物线的顶点纵坐标为:

以x轴为等效重力场的零势能参考面.因为小球在复合场中运行过程中,相对复合场机械能守恒,而小球运行至抛物线的顶点Q处时,距离等效重力场的“水平面”——零势能参考面最远,所以,小球在Q点运行速度最小.由小球在O、Q两点机械能相等可得:,

将题目所给条件及以上推理相关结果代入可得:

(4)作抛物线在竖直方向上的切线DE(注:这里的“竖直方向”不是“等效重力场”中的竖直,而是真实重力场中的竖直),与抛物线的切点为D,显然,D点是水平向右的电场内小球离开O点在空间运行过程中最靠左边的点,所以,小球在D点的电势能最大.

应该说,我们上面通过联立方程组的方法进行推理得出结论的过程,虽然是可行的,但过于麻烦.还可以通过简单的逻辑推理,得出小球在刚离开圆弧形轨道时电势能最大的结论.因为小球是离开圆形轨道后在复合场中作抛物线轨迹运动的,所以抛物线与圆形轨道连接点O是两曲线相切的切点,因为圆形轨道在O点的切线是竖直的,所以抛物线轨迹在O点的切线也将是竖直的,而抛物线竖直的切线只有一条,所以O点是小球运动轨迹中水平向右电场内最靠左边的点,因此小球在O点的电势能最大.

4 结束语

2022高考物理的第14题,巧妙设置物理模型,将力学与电学中的多个知识点有机结合起来,可以综合考查学生对弹性势能、机械能守恒、抛体运动等公式的掌握情况,以及灵活应用物理知识解决复杂问题的能力[3].适当改换题设条件,可以得到与原高考题目材料背景相近,考查知识点类似的不同变式,通过对变式的解析,可以使学生对同类物理问题有更为深入的理解.