高中数学导数问题新高考题型及解题方法研究

赵晓燕

(上海市松江区第四中学,上海 201600)

高考是中国应试教育的核心所在,通过高考,学生能够凭借自身的努力到理想的大学深造,进入更高阶段的学习,得到更加广阔的成长空间.但是在高中教育阶段,要想在高考中取得好成绩,需要具备扎实的学科基础知识和解题技巧[1],尤其是对于数学科目,作为高考当中的主要考查科目,在高考分数中的占比较重,而数学唯有通过不断的练习才能逐渐掌握相应的考试技巧,在考试中快速正确地完成作答,取得高分,最终获得理想的成绩.数学压轴题,作为数学试卷中单题分数占比最高的题型,对数学成绩影响较大,因此有必要加强高考数学压轴题解题技巧方面的研究,助力高考学子的进步和成长.

1 解题技巧之虚设零点

虚设零点常用的解题技巧包括整体代换、反代消参以及降次留参三种.其中,整体代换是指通过在某一区间虚设零点,使零点和其他元素满足某种关系式,进而利用零点所满足的恒等关系式实现整体代入,将复杂的函数关系转化为普通式,解决问题[2].反代消参是指所要求解的问题与参数无关,此时则转变用参数表示零点的思路,反过来用零点表示参数,把极值函数变成关于零点的单一函数再进行求解.降次留参是指建立含参数的方程或不等式.

例1 设函数f(x)=e2x-alnx.

(1)讨论f(x)的导函数f′(x)的零点个数;

解析(1)当a>0时,f′(x)存在唯一零点;当a≤0时,f′(x)没有零点.

(2)本题实际上是求f(x)的最小值.要想求出f(x)的最小值,需要确定该导数的单调性,进而确定单调递减和单调递增区间,最终求出最小值.

由(1)可知,可将f′(x)在(0,+∞)的唯一零点设为x0,当x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0.故f(x)在(0,x0)单调递减,在(x0,+∞)单调递增,故[f(x)]min=f(x0).

综上所述,在导数问题中,通过虚设零点能够将复杂的问题简单化,进而快速地求解出问题的答案,帮助学生解决导数问题的同时,也能在考试中留出更多的时间用于自查或完成其他问题的解答.

2 解题技巧之分类讨论

在高中数学问题中,经常会碰到一些较难的数学问题,往往需要使用多个公式或方法才能解题.这时就需要将整个问题进行拆解,化整为零,分成若干个局部问题去求解,最终再将所有的答案进行整合,得出最终答案,这是分类讨论思想的主要思路.

例2已知函数f(x)=2x3-ax2+b.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.

解析(1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a),

②若a=0,则f(x)在(-∞,+∞)上单调递减.

(2)满足条件的a,b数值存在.

①当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)在区间[0,1]上,当x=0时,得出最小值为f(0)=b;当x=1时,得出最大值为f(1)=2-a+b.此时a和b满足题设条件,当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.

②当a≥3时,由(1)知f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)在区间[0,1]上,当x=0时,得出最大值为f(0)=b;当x=1时,得出最小值为f(1)=2-a+b.此时a和b满足题设条件,当且仅当b=1,2-a+b=-1,即a=4,b=1.

综上所述,当a=4,b=1或a=0,b=-1时,f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1.

由此可见,分类讨论思想在导数问题中十分适用,但比较注重考查学生理解题意和分析题干的能力.解题技巧虽然比较传统,但是普遍性较强,也能应用到其他试题类型中,是学生必须掌握的解题技巧之一.

3 解题技巧之构造函数

在众多的高考导数题型中,有一部分题型往往涉及超越方程,无法通过常规的导数解题方法.此时便需要通过构造合适的函数,利用问题的等价性从而寻找到解题的突破口.

(1)求a,b;

(2)证明:f(x)>1.

解析(1)设函数f(x)定义域为(0,+∞),

结合题意可知,f(1)=2,f′(1)=e.

故a=1,b=2.

设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx.

所以当x∈(0,1)时,J′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,J′(x)<0.故J(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.

因为g(x)的最小值与J(x)的最大值不在同一个点处取,所以g(x)>J(x).

所以当x>0时,g(x)>J(x),即f(x)>1.

综上所述,构造函数作为一种等价代换的解题技巧,看重的是学生转变思路和找准突破点的能力,掌握该方法有一定的门槛,需要学生多加练习,养成良好的题感,从而为快速解题寻找到切入口.

4 结束语

总而言之,在高中教育阶段,数学作为主要基础性学科且在高考中分数占比较重,数学成绩的高低将直接影响学生求学命运,因此有必要加强对于数学成绩的重视,让学生掌握更多地解题技巧,从而更有效率地答题,取得更高的分数,最终在求学的道路上获得更多的选择机会.本文主要从虚设零点、分类讨论、构造函数三个方面详细阐述了具体的应用和解题技巧,但关于导函数的解题技巧还有很多,无法一一列举和说明,仅为导函数的解题提供参考和借鉴,后期也将从其他方面加强学习和研究,不断丰富和补充.